Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Его положительное решение записывается в виде — 1 .= а + )Газ + 1, (7.3.51) где э 2глэ'рэ з ~ а При известном ц!т можно найти У с помощью (7.3.50), угол 6 — с помощью (7.3.48), грь, и ~р»,— с помощью (7.3.26), Р и В— с помощью (7.3.30) и (7.3.51). По данным и, Р, 6 и У из (7.3.46) определяем гъУА — — ЛУ1+ ЛУМ гъУ1 и ЬУг в следующем виде: "[" (-")'1 ' где 2 .
° l У2 а = — — гг 1 — — 1яб. 4 Компоненты импульсов находим из (7.3.7). С учетом (7.3.86) и первого из равенств (7.3.30) эти уравнения могут быть записаны так: 7гг —— - 0,1,..., Йг,; )гэ = 0,1,..., Х,. Йгг + Йг. = — Дг — 1. Из этих равенств видно, что все импульсы, моменты приложения которых отличаются на целое число периодов, одинаково направлены, так же как и в случае перелетов с импульсами в узлах. ЛУ~ и ЛУз могут быть произвольно распределены па части М'А„)г1 = О, 1,..., гУВ и ЛУА, 7гг = О, 1,..., Дгп 4 1 21 пеРелеты мен'ду некомплАИАРныъп1 ОРБитАми зо1 Минимально необходимое количество импульсов не превосходит двух.
Зависимости моментов приложения импульсов гоо и го1 /Р Е и Рис. 7.3РЬ от О построены прн различных х и 1р„„, = 90' и 30' на рис. 7.3.3 и 7.3.4. Определим область существования рассматриваемых перелетов. Равенства (7.3.50) позволяют доказать тождества Ьз о (7.3.55) Д вЂ”" Ь в „г д Г Л~ А'=и ЕР! -.о Рг Рис. 7.3.4. Из (7.3.51) и (7.3.30) имеем т~ ) 0 и у ) О. При выполнении (7 3Л6) из (7.3.55) сразу следует ( У( ( 2. Чтобы равенство (7.3.30) для т всегда давало действительный результат, правая 3О2 ЗЛДЛЧП МАНЕВРИРОВАНПЯ ПО ОКОЛОКРУГОВЫЗ! ОРБНТЛМ 1гл У 11 часть его должна быть неотрицательной. Это всегда имеет нес~~ так как минимальное значение правой части второгонз равевс (7.3.30) достигается при У = 2 и 21/т = 0 и положительно, Н этому н все остальные параметры перелета действительны.
Осталось проверить неравенства 22У1 ~ )0 и 121'2 ) О. Для пх выполнения достаточно, чтобы ~с2) ( 1. Из (7.3.16), (7.3.48) (7.3.53) следует, что для того, чтобы было )а) ( 1, должпо вы полпяться неравенство ас (7.3.56) Из (7.3.56) с помощью (7.3.55) получим (7.3.57) Используя второе из равенств (7.3.50), преобразуем (7.3.57) к виду а2 а2 ае1а ( О. (7.3.58) — + — т Ь + Отсюда с учетом (7.3.16) н условий т ) 0 и в ) 0 видно, что рассматриваемый перелет существует при 12, ( 122 илн при сов 1р„,„( к. Эта область дополняет область существования перелета с импульсами в узлах.
Докажем, что перелет, в котором е = 6+ я, при условии (7.3.16) не существует. Формулы для этого случая получаются из приведенных выше путем изменения знака перед 12,. Выражения (7.3.55) и (7.3.57) после изменения знака перед 12, записываются в виде а~+— (7 3.59) Из условия ~ У~ ( 2 следует, что 12, ) 12м Но при этом в ле вой части неравенства (7.3.59) все слагаемые положительны, и оно не выполняется, что и доказывает требуемое утверждение з 7,3~ ПЕРЕЛЕТЫ МЮКДУ НЕКОМПЛАНАРНЫЫИ ОРБИТАМН зоз Область сущестования перелета, в котором з = б, совпадает с областью существования условно экстремального перелета с импульсами в узлах, Л)го которого определяется равенством (7.344).
Вследствие этого удобно при проведении расчетов относить Л о'ро — характеристическую скорость перелета с импульсами Ч Р 77 и гу -чФ ч др ° 48 до 4Р х Рт р Рис. 7.3.5. — 4 ~ =2а- оо, У- 1'„р, 1 — 2Ьо Ао ЛУ'т ж '"(-")з ' (7.3.60) Последнее из этих равенств показывает, что в етом случае рассматриваемый перелет переходит в оптимальный плоский Перелет, существующий в случае пересекающихся орбит (см.
Г. Е. Кузмак (11). При к = 1, несмотря на то что т)/у-о-0 при Л,-+.О, для предельного значения Лро получает- сЯ такой же РезУльтат. Если же соз оРаао ( н < 1, то можно показать, что предельное значение Лро совпадает с Лро экстремального плоского перелета с импульсами в точках пресечения орбит. по одну сторону от линии узлов — к Лрхт — характеристической скорости условно экстремального перелета с импульсами в узлах. Зависимости отношения Л)гто!Ло'зт от а при ор, „= 90о и 30' и различных и соз ор,о построены на рис. 7.3.5. Исследуем предельные свойства перелета, в котором е = б, при Л,-о 0 (а-о-со).
Из (7.3.51) видно, что необходимо рассмотреть три случая: х ) 1, х = 1 и сов гр„„( и ( 1. При оо ) 1 из (7.3.30), (7.3.50) — (7.3.54) при Л.— о-0 последовательно получим: пвгвлвты мюкду нвкозшллнлгнымп огвптлми ЗО6 к т с помощью (7.3.33). При известных у~/т и г характеристиче- ская скорость ДР, дается формулой Дух = — РГ~Д, + — Д,) + Д, . (7.3. 64) Для расчета перелета, в котором з = 6 — — ', в уравнениях 2' '(7.3.61) — (7.3.64) необходимо изменить знаки перед Д,. Зависиость — от — ) 0 н ~ а ~ для перелетов, в которых з = 6— а О дг а / лг йх га/Ла Ркс.
7.3.6. гау'га изображена на рис. 7.3.6. Физический смысл имеют те части графиков, для которых выполняются условия существования перелетов (7,3,47). Исследование етого вопроса было проведено с помощью массовых численных расчетов. Было выяснено, что перелет, в котором з = 6+ 2 и — ))1, существует при всех значен Ч ниах о, х и ср „из области (7.3.16). Перелет, в котором в= 6+ —" и ч л у~(1, существует при и < сов ср „. Перелет, в котором з=б — —, уе в.
л. илаан, г. к. куамаа ЗОЗ задачи млнввгпговлния по околокглговым огвптдд1 ~гт !гл, т, Остальные уравнения системы (7.3.45) определяют величины им- пульсов Л'н'д и моменты их приложения ~рд = и, + 6 и могут быть преобразованы к виду ~Р Лн'д =1, ~ Лн'дсов2ид = а, д=о д=о Я ~ Л Уд в1п 2ид — — ~, д=о (7.3.66) И '~~ Л и'д я1п ид = й, д=о 4Л, яго 6 '= ~/ЗЛРв 4Л, соя 6 а= — — * — 1, РЗЛР (7.3,67) л, о Лу д 2ЛУ' ЛУ' Построим в плоскости Оар (рис. 7.3.7) ломаную линию нз отрезков Л)гд, й = О, 1,..., 1н', составляющих с осью абсцисс углы 2и,.
В силу первых трех уравнений системы (7.3.66) сумма длин отрезков ломаной равняется единице, а суммы проекций их па ось абсцисс и на ось ординат равняются а и р. Решение зтнх уравнений можно построить только в том случае, когда длина существует при х » )соя~рщм От параметра о области сущест ствования этих перелетов пе зависят. Части графнлов па рис, 736 имеющие физический смысл, раси ' 4Гаф~ лагаются вьппе штрихованных кри вых и обозначены бУквами А В н С онн Уа' Соответствующие А, В, С областнсу шествования перелетов построены на рис.
7.3.6 и в полярных координатах ! Ох<р ., 7.3.7. Вырожденные перелеты. Па Ь' раметры вырожденных перелетов определяются уравнениями (7.3.7), (7.3.35) и (7.3.45). Как и ранее, при ведем результаты вычислений для Рис. 7.3.7. случая, когда выполняются неравен- ства (7.3.16) и равенство 6 = е. Из уравнений (7.3.45) с учетом (7.3.35) сразу могут быть получены выра:кения для ЛИд и 6: ~/ л, '+ (л, + ~/з л,)' ЛИв = 2 (7.3.65) (л +Узл,), л, соя 6 =- ' ', в1пб = —, 2ЛР ~ЛГ,' ) у13~ пеРелеты э|ежду некомпллнлРными ОРвнтлми 307 ломаной пе меньше расстояния от ее конца до начала координат: ~/'сдг ага ( 1 (7.3.68) ио которой получим в1п ид+ р, + рз соя 2ид+ рзядп2ид — — О, соя ид — 2р, я1п 2ид + 2рз соя 2ид — — О, й = 0,1, ..., 1"11. (7.3.70) Если рз+ рай+О, то эта система преобразуется к виду (7.3.20) 3 ври следующих значениях У, Х и р: У=, Х= (7.3.71) сов 2р = Р"-, в1п2р = Исследование, проведенноев разделе 7.3.3, показало, что система (7.3.20) при 0 ( и, ( 2л может иметь либо одно, либо два решения, а также бесчисленное множество решений, отличающихся от этих решений на числа, кратные 2я.
Рассмотрим сначала случай, когда при 0 ( ид ( 2я может быть одно решение; тогда из (7.3.66) при 61 = 1 получим ЛУ1 = 1, СОВ 2ид — — а, Я1П 2ид = К йт»з = 1/ т:~; г 2 (7.3.72) 20» При этом условии указанную ломаную линию можно построить бесчисленным количеством способов. Для каждого из нвх М можно вычислить ~', 1ЛУ1,ядпид и определить наибольшее зиад=о чение этой величины. Обозначим его через й,, Если й ) й „, то система (7.3.66) решений не имеет. Определим й „. Для этого величины 1ЛУ„Й = О, 1,..., Л1, и и, будем рассматривать как варьируемые параметры, удовлетворяющие связям — первым трем фравнениям системы (7.3.66), и определим условный максимум К г»УЛ вдп ид.
Составид1 функцию Лагранжа ~д=о Ж М Д1 ' Ь = чз. 11УЛ я! и ид + р, ~ АУЛ + р, "~ 11УЛ сов 2ид + д=о д=о 1=О Л1 + р, ~ АУЛ в1п 2ид, (7.3.69) д=о ЗОВ ЗАДАЧ11 МАнвВРИРОВАНИЯ ПО ОКОЛОКРУГОВЫМ ОРвнтА11 гг. ГЛ. У11 при Лг = 1 необходимо должно быть а + Р~ = 1. Два реще„ при 0 < и, < 2я у системы (7.3.20) могут быть в случаях а — 0" (г = 90' и У = О.
Рассмотрим первый из них. Прн р = 0 из (7.3.20) следует иг = я — ио. С учетом уращ ний (7.3.66) получается ЛУо+ ЛУ1= 1, соя 2ио = сг, (го,— гоз. г,=г, г .,—.,— )Г'=," ~ (7.3.73) Если р = 90' и У = О, анализ аналогичен, и для Ь „, получается такое же выражение, как и выше. Если же р г + р з = О, то (7.3.70) принимают вид я1п иь + р„= О, соя и„= О. Отсюда видно, что при 0 < и, < 2я эти уравнения удовлетворяются только одним значением и,. Следовательно, в этом случае для Ь„,„, такхге получится выражение (7.3.72).
Таким образом,во ог всех случаях максимум ~чз ~Лаз ягп иь достигается на ломаной о=о линии, состоящей не более чем из двух отрезков, и определяется формулой (7.3.72). При Ь ) Ь„„„как уже указывалось, вырожденные перелеты не существуют. Чтобы получить условие существования перелета, необходимо убедиться, что при 0 < Ь < Ь ., всегда можно построить решение системы (7.3.66).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
