Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 58
Текст из файла (страница 58)
нных ага~ ПКРКЛКТЫ ЫКН1ДУ НККОЫПЛАНАРНЫЫП ОРБИТАМИ 315 1 дерелетах. 11рп о~(=з1п1р, „- оптимальными явля1отся переле~~з 1 КЫ С ИМПУЛЬСаМИ В УЗЛаХ, а ПРИ О)~=З1П1Р аа ВЫрождЕППЫО р'з ерелеты. Зависимости отношения от о, рассчитаппыо с ~~Ухорс Л~ омощью формул (7.3.38) и (7.3.65) для 0 ( <р „(90', изобраены на,рис. 7.3.12. Штриховой линией на этом рисунке изобраена граница, па которой происходит переход от перелетов а .1 Рлс. 7.332.
с импульсами в узлах к вырожденным перелетам. Зависимости лиа моментов приложения импульсов н отношений — ' от о при ПУК 1р „. = 90' изображены на рис. 7.3.13. В качестве последнего примера рассмотрим перелеты между некомпланарнымп орбитами, отличающимися только значениями эксцентриситета.
От первого примера этот случай отличается тем, что линия узлов пе совпадает с линией апсид. Тогда из (7.3.2) и (7.3.9) при еае1 ) ее для х, о и 1р,а имеем аа -Р1 ао """=0 о= ттаа.=%с+я (7383) Из сопоставления (7.3.82) и (7.3.83) видно, что случай, когда изменяется зксцентриситет орбиты, отличается от предыдущего случая лишь значениями о и 1ры ° Поэтому, как и ранее, при МаЛЫХ О Л У'а „, ДОСтИГаЕтСЯ НРИ ПЕРЕЛЕтаХ СИМПУЛЬСаМИ В УЗЛаХ, а при больших о — при вырожденных перелетах.
Для расчета этого элементарного маневра можно воспользоваться графиками, изображенными на рис. 7.3.12 и 7.3.13. СопоставимЛУа оптимальных перелетовс ЛУа неоптимальных рациональных перелетов для трех случаев, Сначала рассмотрим 313 злдлчп млнввгпговлнпя по околокгтговым огвнтлм (гл т1г случай, когда орбиты пересекаются в узле гр = 480', Прд переход между ороитами можно осуществить с помощью о1 Рв етом импульса, прикладываемого при ~р = 180'.
При о( — з;и, уЗ 'пса" лк Рпс. 7.3.13. одноимпульсный перелет являетсяоптимальным, а при бблыпихо оптимальным становится двухимпульсный вырожденный перелет. Однако в силу простоты при о ~ = згп ~рс,л, однопмпульсный Уз а 1 ~ 45 кФ Рпс. 7.3.14. перелет можно рассматривать как рациональный перелет. Соко ставим ЛУхт — характеристическую скорость одноимпульсно 00 ого перелета — с ЛУ„,, На рис. 7.3Л4 представлены результа™ пягвлстг! мю1оду нвкомплэнл1'ныз|н Огвнтлын 317 Д1.11) расчетов отношения з . Особенно невыгоден одпопмпульс- Д гав! «ый перелет при цз „, = 90' и к = О. Зависимости моментов при«ожения импульсов !ро и !р! для оптимальных перелетов от о в этом случае изображены на рис. 7.3.13.
Видно, как при увеличении о одноимпульспый перелет с импульсами при ор = 180' превращается в вырожденный двухимпульспый перелет. Расщепле«ием импульсов объясняется получающийся выигрыш в Л)з . В качестве второго примера рационального перелета рассмотрим трехимпульспый перелет.
Первый импульс используется для совиещения плоскостей орбит, а последующие два — для оптимального плоского перехода (см. Г. Е. Кузмак 111). Характеристическая скорость Лз'в этого перелета определяется формулами 1зз р дз . дз Лз+ при к(1, 2 при к) 1. Лу<з> (7.3.84) Сопоставим Лз'х с М'о„, при Л, = О. В этом случае !зз з д 3 Лзз+ ( — ') при х(1, з До Л1з+ ( 2') при х ) 1. (7.3.85) Лгхаэ! = Из (7.3.84) н (7.3.85) видно, что Лозхы и Лоззоро при Л. = 0 находятся между собой в таком же соотношении, как сумма катетов прямоугольного треугольника с длинами Лз и Лм2 (или Доз — с его гипотенузой. 2 ~ В качестве третьего примера рационального перелета рассмотрим условно экстремальный двухимпульсный перелет с импульсами в узлах с выражением Л)з = Лз'зз, определяемым формулой (7.3.44) .
Сопоставим Л'о''з с ЛУ„оо для случая, когда !р .. = 90'. Результаты расчетов отношения Лагг!Лунар! в зависимости от к для ряда значений о представлены на рис. 7.3.15. При ма- 1 лых и и и) = ЛУх,рз равняется Лрз вырожденного перелета, Уз а пРи больших к Лого„, достигаетсЯ пРи пеРелетах с импУльсами по одну сторону от линни узлов. Штрихами на рис. 7.3.15 изображена линия, на которой при увеличении х происходит пеРеход от вырожденных перелетов к перелетам с импульсами по одну сторону от линии узлов. Особенно невыгоден условно 313 ЗАДАЧИ МАНЕВРИРОВАНИЯ ПО ОКОЛОКРУГОВБ1М 01'БИТАР1 ~Г У11 аа 'а Рис. 7.3.15.
аа' аа' аааи а 7а' т,и' и 3 3ас РР .а а Ф" ." х и 31 а аа' ааРВ Рис. 7.336. ~ ьз! пвгвлкты ыкжду нвкоыплхнлгныып огвитлми зя кстремальныйперелетсимпульсамивузлахпри Л1-эО. Прп а = = сс и х = 1 Лаху/ЛУхою = 2,24. Однако при больших х уел~овне экстремальный перелет с импульсами в узлах близок к оп~т имальгюму. Это также видно из графиков, приведенных на рис. 7.3.3 и 7.3.4, где представлены результаты расчетов момендов приложения импульсов для перелета с импульсамн по одну сторону от линии узлов.
Прн увеличении и моменты приложения импульсов приближаются к узловым точкам. В заключение сопоставим результаты расчета ЛКз по лннеаизовапной теории с результатами расчетов по методике Райдера : 1] для случая перелетов между пекомпланарными круговыми ззрбитами. По теории Райдера при малых Л1 и Лг оптимальный перелет осуществляется с помощью двух пространственных им,пульсов, прикладываемых в узловых точках, Это совпадает с выводами линеаризованной теории.
Результаты расчетов ЛУ, по линеаризовапной теории и по методике Райдера представлены на рис. 7.3.16. При определении ЛР, — безразмерной характеристической скорости — по методике Райдера она относилась к круговой скорости, определенной для гсе равного полусумме радиусов начальной и конечной орбит. Видно„ что при Лг/г„ ( 0,6 и Л1 - 30' погрешность пе превышает бело. ГЛАВА ХП1 ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО МАНЕВРИРОВАНИЯ В ТОНКИХ СФЕРИЧЕСКИХ СЛОЯХ 'с 8.1. Постановка задачи. Основные уравнения 8ЛЛ. Вводные замечания. Цель этой п следующей глав — рассмотрение задач околопланетного маневрирования с ограниченными угловыми дальностями, что характерно для впеатмосферпых участков траектории при выведении и спуске КА.
В таких задачах можно считать, что угловая дальность перелета пе про восходит я~2. Для Земли это соответствует траекториям с дальззостями пе более 10000 км. Для этого класса задач характерна значительная протяжеппость активных участков, что делает невозможным использование импульсных схем перелетов н существенно усложняет расчет оптимальных траекторий. Непосредственное применение принципа максимума Л. С. Понтрягина к таким задачам позволяет довольно просто исследовать качествоппый характер оптимального управления, однако доведение задачи до конца требует преодоления довольно серьезных вычислительных трудностей. Установление связи между законом оптимального управления и граничными условиями сводится к краевой задаче для нелинейной системы дифференциальных уравнений, длз решения которой нет достаточно эффективных методов.
Поэтому для да|шого класса задач важным является развитие эффективных прпближепных методов, учитывающих их специфические особенности. Основной особенностью рассматриваемого класса задач является то, что при околопланетном маневрировании выведение п спуск КА происходит в сферическом слое, толщину которого можно считать малой по сравнению с расстоянием до центра притяжения. Однако, вотличие от изложенпой выше ляпсаризовапной теории, в задачах выведения и спуска пе выполняется предположение о близости величины скорости полета к величине круговой скорости. Величина скоростиможет изменяться оточепь малых значений в начале выведения до значений, заметпо превышающих первую космическую скорость в копце траектории выведения.
Поэтому результаты предыдущих двух глав, вообще говоря, неприменимы для решения задач выведения п сну~к~ и необходимо развитие теории, основанной на единственном пред положении о тонкости слоя. В«,Н постАноВНА ЗАдлчп. ОснОВные уРАВнеппя зз! Рассмотрепи!о такой теории, основные положения которой изложены в статьях Г. Е. Кузмака (5, 6, 7] и Г. Е. Кузмака, ф 3. Брауде (2), посвящены настоящая и следующая главы. 8 1.2. Основные уравнения и вариационная задача. Итак, будем рассматривать задачу об оптимальном управлении двнженния материальной точки в пустоте в топком сферическом слое ньютоновского поля тяготения. Толщипа слоя (бг„~ предполагается малой по сравпению со средним радиусом слоя гср Точное уравнепие движения в декартовой системе координат Охуг с началом в центре притянсения, записаппое в векторной форме, имеет внд —,, + — г =- а (!).
ссг, и («) н1'-' « (8.1.1) Здесь ! — время, г — радиус-вектор точки, д(г) = р/г' — ускорение силы тяжести, где 11 = сопз1 — гравитационная постоянная, а(!) — вектор ускорения от силы тяги. Б силу тонкости слоя функция л(г)/г близка к постоянной величине р/г,р, а ее изменение с достаточной точностью можно учесть, сохранив в разложении по степеням бг = г — г„ линейный член: (8.1.2) где 1 !! с ( ср) ~ ! «Р ( ср) «ср ср ( ср Г г Всюду далее линейные величины будем относить к гсм скорости — к !'„Р(г„) (круговой скорости для средней точки слоя), ускорение а(!) — к д(г„), а время — к интервалу, равному 1/т = гср/ «р (г„) = 1/2я от периода обращения спутника по круговой орбите с радиусом г,„.
Сохраняя старые обозначения для безразмерных величин, уравнение (8.1.1) с учетом (8.1.2) с относительной погрешностью порядка (бг)т можно записать в виде —., + (1 — Збг) г = а (!) . (8.1.3) Поскольку второй член в круглых скобках много меньше еди'ницы, зависимость его от ! можно определить приближенно, основываясь на краевых условиях, которым должна удовлетворять тРаектоРиЯ. ПРи 1 = О обычно известны г = гс и РаДиальнал компонента скорости !', = с!г/Ж = с!бг/с!« = р.с В конечный момепт времени 1 = Т в задачах выведения в заданное положение изве'стно г=г!. Если же прн 1= Т задается вектор скорости, то в этот момент известно также значение ««« = !',!. Этим условиям 'можно удовлетворить, если аппроксимировать зависимость бг(!) «1 В. А. Ил«в«, Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
