Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Таким образом, рассматризаеь, емып перелет, по существу, соответствует только импульсам 1-й „„, пы и рассмотрен выше. Аналогичный результат получается та же и в случае перелета, соответствующего точке В на рпс Перейдем далее к рассмотрению перелетов, определяемых им пульсами 3-й и 4-й групп. В этом случае с помощью (7,226 (7.2.29) граничные условия (7.2.0) могут быть записаны ), форме и ) фУ ыг,-ь..
1,=О М уз|и 6 ~ Л'у'1, — Л„ 1=О усоз6 ~ ЛРА = — Л,. ) А=О (7.2.45) К этим уравнениям следует добавить одно из равенств (7.2.33), которое, с учетом первого из равенств (7.2.45), можно записать в виде а йп (7.2.46) Ф'*4*")) — '* 62, Аз |А=О (7.2.47) Из (7.2.24) и (7.2.25) следует, что при наличии пмпульсоз 3-й и 4-й групп должно выполняться неравенство !Ж 1~1' В силу этого и (7.2.47) можно сказать, что рассматриваемые пе релеты, как и перелеты, соответствующие импульсам 1-й и 2 и групп, существуют при выполнении условия (7.2.42). Таким об разом, этот класс перелетов, так же как и перелеты, состоял|из Четыре уравнения (7.2.45), (7.2.46) позволяют определить четыре неизвестных: т, А, 6 и У, ЛУА. Установим прежде всего А=О условия существования рассматриваемого перелета.
Возводя все равенства (7.2.45) в квадрат и складывая затем последние два из них, получим перглсты пюкду коз!Плхнлрныз!и ОРБптхып 283 з! Чтобы сравнить величину ЛРх 4 с величиной Лрх,, определенной выше для перелетов, соответствующих импульсам 1-й и 2-й групп (см, формулу (7.2.41) ), составим отношение ~аз В области существования рассматриваемых перелетов, которая определяется неравенством (7.2.42), отношение (7.2.49) изме'няется между 1 и 2. Таким образом, перелеты, определяемые импульсами 1-й и 2-й групп, являются более экономичными, чем перелеты, определяемые импульсами 3-й и 4-й групп. Полный анализ перелетов, соответствующих импульсам 3-й и 4-й групп, легко может быть проведен с помощью указанных вьппе соотношений.
Не останавливаясь на этом подробно из-за того, что Лрт 4)ЛУз!з, Укажем лишь, что пРи таких пеРелетах импульсы прикладываются в точках пересечения начальной и конечной орбит. 7.2.3. Иллюстрирующие примеры. а) Изменение фокального параметра р. В этом случае ср (7.2.50) выполняется неравенство (7.2.18) и, следовательно, орбиты не пересекаются. Начальная и конечная орбиты для этого случая изображены на рис. 7.2.3. Импульсы прикладываются в соответствии с равенством (7.2.14) — (7.2.17), которые с учетом (7.2.50) записываются в виде Р! Х Лрд — Ы ~ Л'г'д соз срз = О, ь=о !=о ~ Л)гд з!п !~ь — О. а=о (7.2.51) з импульсов 1-й и 2-й групп, относится к случаю пересекаю- ихся начальной и конечной орбит.
С тем чтобы определить, акое из двух указанных семейств изоэнергетических перелетов ежду пересекающимися орбитами требует меньшей характери,стической скорости, вычислим Л)'хз 4 — величину характери'стической скорости для перелетов, состоящих из импульсов 3-й и 4-й групп. Из (7.2.46) и (7.2.47) имеем хз,4 1 ~ ~ 4 (7.2.48) 264 ЗАДАчп 11АнеВРИРОВАння по ОколокРУГОВым ОРБнтлм У11 Чтобы удовлетворить этим равенствам, необходимо провести л капую линию длиной ~Ло~/2 с концом и началом в начале кое динат. Для этого необходимы по крайней мере два импуль Пользуясь геоыетричеокой интерпретацией системы уразяе ний (7.2.14), (7.2.15), указан ! ге Д! = 1 нетрудно получить сле у~~~ Ря дующие результаты: ДРΠ— лр! — 4 Ч!! = Ч'о л ( !.2.52) где еро произвольно.
В силу (7.2.16) при Лр ) О оба импульса являются разгоняющими, а прн 1!р ( Π— тормозящими. В соответствии с (7.2.17) величина характеристической СКОРОСТИ Л У'ер ДЛЯ ЭТОГО СЛУ- чая вычисляется по формуле Л'1 р =. —." . (7.2.53) 2г б) Изменение эксцент р поите та е. В этом случае Ло = О, Л, - —. — бесово~~, Л, = — Л е з!и е~„, (7.2.54) АЕНЕННЕН оранж Рис. 7.2.3. Ле Л)!Б, = —. е (7.2.55) Т~раектория двухиипульсного перелета, реализующего изменение эксцептриситета, показана на рис. 7.2.4.
в) Изменение наклона оси апсид. Рассмотрим задачу о повороте оси апсид начальной орбиты на угол бе~о. Из орбиты пересекаются и следует, воспользоваться перелетом, который состоит из импульсов 1-й и 2-й групп. В равенствах (7.2.54) Ле = енэ! — ео, а через !р обозначено угловое положение перицентра, одинаковое для обеих орбит. Начальная н конечная орбиты для рассматриваемого случая изображены на рис. 7.2.4. Разгоняющие импульсы прикладываются при !р = = ер,„= О, а тормозящие — при !р = гр, = я.
Величина Л!'ре потребной характеристической скорости для такого маневра, в соответствии с равенствами (7.2.54) и (7.2.41), определяется выражением 1221 285 пегелеты нежди !'Оз!!!ллнлгнызлн ОРнитлзп! (!ормул (7.2.4) имеем а о„, 7 а~р„1 лло = 0, йс = 2ее з1п — з1п (ср + — ), 1 асг„) Л = — — 2е з1п — "соз !ср + — "7!. ! л 0 2 1 л 2 /' ! (7.2.56) з этом случае пачальнан и конечная орбиты пересекаются и для >еализацни искомого маневра следует воспользоваться тем же тн!ом перелета, что и в предыдущем пункте.
Разгоняющие импульсы Тоаел!порол Лре= Уб' йаеапьеап орраепа лере,ееп!а Рис. 7.2.5. Рис. 7.".4. зрикладываются при ср = ср„„„, а тормозящие — при Выражения (7.2.5) для ср„,„и ср„ии имеют вид 8 с!!!лае — , н . ! сел л!ае л~, р.;. =- —., + — + ри(0:='Лри~2 ). (7.2.57) Величина потребной для такого маневра характеристической скорости ЛР„ в силу (7.2.56) и (7.2.41) определяется формулой ат„ Лувр — — ее з1п —,". (7.2.58) лтачальная н конечнан орбиты и траектория перелета для рассматриваемого случая при Лср = 90' п ср = 0 изображены на Рис. 7,2,5, Чтобы иметь возможность представить себе пределы применнкостн полученных результатов, сопоставим их с точным решением йлнхорошо изученного случая перелета между двумя круговыми зрбитамн (см. раздел 3.2.4, работы Романа [1], Райдера 1Ц ).
)(ля пего выражение (7.2.17), записанное в размерной форме, 2ЯЕ зАДАчп ыАНБВРЯРОБАния по ОколокРУговын ОРБИТАИ гл уп дает ! ~Ы) РБр 2г,р где Лг — разность радиусов конечной и начальной орбит, а г их полусумма. Точный расчет проведен с помощью формул веденных в работе Райдера ~Ц, записанных предварительно ч рез параметры Лг, г„и р㄄— значение круговой скорости дл„ лг/ и Д5 тл Ряс. Ь2.6.
г = г,„. Результаты точного расчета и расчета по линеаризованной теории приведены на рис. 7.2.6. Видно,чтопри0 ( Лг/гср ~ ( 0,5 совпадение практически полное. При ббльших значениях Лг/г„совпадение также достаточно удовлетворительное вплоть до значения Лг/г„= 1,0. При Лг/г„= 1,0 отношение радиусе~ орбит равняется 3. $7.3.
Исследование перелетов между блнзкиии околокруговыми некомпланарными орбитами 7.3.1. Исходные соотношения. В настоящем параграфе буде~ рассматриваться задача о перелетах между некомпланарными ор битами в линеаризованной постановке с оптимальным выбоРОИ моментов начала н окончания перелета. Движение будет иссле„ доваться в цилиндрической системе координат Ощя, в которои )ВЗ1 ПЕРЕЛЕТЫ ЗДЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМП ОРБИТАМИ 287 ргол ф отсчитывается от линии узлов. Угол между плоскостями ~рбит равен Лр и считается положительным, когда он отсчнты~ается против часовой стрелки, если смотреть со стороны линии ~ = О.
Используеман система координат и взаимное расположеше орбит изображены на рис. 7.3.1. Взаимное расположение ~рбит полностью определяется функциями Лг(ф) и Лг(ф)— Рвс. 7.33. ~езраздрерными расстояниями, отнесенными к г„. При отсчете тла ф от линии узлов выражения для этих функций в соответтвии с (6.3.33), (7.2.2) и (7.2.3) записываются в виде Лг(ф) = Лр+ Л,соя ф + Л, в1пф, Лг(ф) = Л,я1пф, (7.3.1) де Ря- ~ Ро , Л, =- е,сов ф„з — ед+1Ярпф„я+и ср е,в1пф„з — ел+~ я1пфз,и+и Лт = Л1.
Ло (7.3.2) Л,= Х я 2Х М' д= Л Х (Л~',дя1пфд+2Л~" д д=о д=з я ~~О„(ЛУ,А сов ррд — 2ЛУ,А в1п фд) = Л„ д=о и Ю Ъ; Л$",дв1пфд = О, ~", Лу,д д=а д=о соя фд) = — Л„ (7.3.3) соя фд — — Л, )се входящие в выражения для Лм Л. и Л. величины определязтся так же, как в плоской задаче, и были пояснены в начале ~редыдущего параграфа (см. формулы (7.2.1) — (7.2.4) ). Соотношения, обеспечивающие выполнение граничных услоий в рассматриваемой задаче, были выведены в з 6.3 и имеют ид (см. уравнения (6.3.11) ) С Учетом этих Равенств и Равенства (6.3.12) ДлЯ Л)Г2 функц„, Лагранжа записывается в виде н и Ь = ~1 )' Лрд+ Лрд+ Лрд+ Х1 ~ 2ЛУ д + д=о д=о + Хя ~~',1 (ЛР„А ядп 1рд + 2Л114д соя 1рд) — ', д=о + Хз,~~ (ЛУ„д соя 1рд — 2Л$;д в1п 1рд) + 4=о Д1 А1 + Х4 х4 ЛУ4дв1п1РА -,'— Аз ~ ЛУ:дсоЯ4Рд, (7.3.4) д=о д=О где Л1, Х2, ..., Лв — множители Лагранжа.
После дифференцирования Ь 21о ЛУ„, Лр,д, Лр,д и ср„)4 = О, 1, ..., 1у, и приравппвания производных нулю получаются уравнения: ЛУ,А — + Хд я1п 1рд + ).з соя 1рд — — О, ау, аутд ау + 2(Х1+ Хдсоа 1Рд — Х~Я1п4РА) = О, д;, ау„"' + Х4 в1п 1рд "т Х4 сов 1рд О Л)г,д(овсов 1рд — ) з яда 1рд) — 2Лй'т~ (Х вдп 1рд + + Хзсов1рд)+ ЛР.А(Х1соя1рд — Хдядпсрд) = О, 14 = О, 1, ..., И'.
(7.3.5) Здесь '1/Луз + Л~ 2 + Лр2 Уравнения (7.3.3) и (7.3.5) представляют собой систему из 5(11'+ 1) + 5 уравнений для такого же количества неизвестных и Л) 41 Лр*4~ Лрд 1рд1 )4 О 1 ° ° ° )у и А1. А2, ° ° ° Аб. Обозначим Х = Х1 и введем вместо А2, ..., ).в новые параметры у, б, ть е с помощью формул т = ф )'2 + АЗ~ 1/4+)2, совб =— сове =— 1,4 Ч Ч я!пб =— Х2 (7.3.6) ЯТПЕ = —, л, Ч' 2ЯЯ зАДАчи МАнеВРиРОБАнпя ИО ОколокРУГОвых1 ОРБитАм Юл ' . У11 пеРелеты мк«1'ду некомплАНАРпыэш ОРБИТАэп1 289 я 1.21 После этого спстома ( 7.3.5 ) записывается болео компактно: од — — у соя(трд — 6) = — О, дуз Д год — + 2 [Х вЂ” у'втп (орд — 6)] = О, дрд од — + т] соЯ(1РА — е) = О, 1о У [Л['„„втп (орд — 6) + 2ЛГ д сов (рд — 6)] + + т]Л$',дя1п(орд — е)] = — О, Й=О,1, ...,Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
