Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Такие выраже- ния удовлетворяют уравнениям (6.1.3) прн и, = 0 и могут быть запнсаны в следующем виде: з (ср) = а соя ср + () я1п ср, Р,(ср) = — ая1пср + рсоа ср, ~ ГдЕ У = =!Г„, Г, = У,!Ус„а И Р вЂ” ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСтОяННЫЕ. Полученные линеаризованные выражения будут использоваться в следующей главе при записи граничных условий. 4 6.4. Приближенное построение оптимальных перелетов для случая активных участков малой протяженности 6.4.1. Правило пересчета. Общий анализ этой задачи дан в гл. 1У.
Наличие для околокруговых перелетов явного решения сопря:кенной системы (6.1.9) позволяет в этом случае получить результаты более простым путем. Сосредоточим внимание на случаях, когда закон регулирования тягп пноет граничный характер. Такие случаи имеют место всегда при 6 Ф О. Они достаточно интересны и для особых управлений, так как при граничном законе регулирования тяги область существования перелетов с особыми управлениями оказывается наибольшей.
Будем предполагать, что протяженности активных участков являются малыми величинами. Обозначим через ~ря . сря и срь соответственно начало, середину и конец Й-го активного уча+ стка п упростим граничные условия, пользуясь малостью длин активных участков. Способ упрощения одинаков для любого из граничных условий, приведенных в 9 6.1. Поэтому вычисления можно выполнить для любого из них. Проведем их на примере уравнения (6.1.27). Исключая из этого равенства промежутки 25О теОРПЯ мАнеВРНРОВАния по ОколокРУГОВып ОРБР1ТАм ~ГЛ Г1 интегрирования, соответствующие пассивным участкам, мо .
ожем записать И ЕАЕ ) (2г„— 3$з,) —" пб =- Л,, (6.4.1) А=О Плесь Чо = 1ро 1ря = 1рк. Обозначим через ~($) подыптегральв выражение в этом равенстве и разложим рД) в ряд Тейлора в о1, Рестности $ = 1Ра,' 2! 1" (а А) Тогда е+ А 1аж= П А) Л„+ Л~.-- ... = )- «р„) ('>.1.2) =г'( )Л ' 0(Л 3) (баз) где Лара = <ра — 1рд, й = О, 1, ..., Х Обозначая индексом й внизу значения функций при 1р = 1ра, перепишем (6.4.1) в виде 8 аь ((2 — ",аа,— За,— ",аа„), 0( „ьао~ =а. (аае 'А Применение (6.4.3) к уравнению — - п с последующим пспольле дф зованием (6.1.7) позволяет получить следующие результаты; Лда = Л)га = пдЛ1ра + 0(пааахЛ1ра) ЛР1А = Л( а а ) а„'(6.
Ф.б й = О, 1, ..., Х; 1 = г, т, з. С учетоп этих равенств условие (6.4.4) можно переписать так: '((2ЛР„А — 31раЛ)Гха) + 0(па1ахЛ1раз)] — — О, (б 4 6) А=О Ясно, что Л)г„, Л)г,а, Л)г.-а представляют собой компоненты импульса, приложенного в средней точке Й-го активного участка. направленного по оптимальному направлению тяги в этой точке " имеющего величину, равную характеристической скорости, расхо дуемой на этом активном участке. При определенпи сзязп междУ параметрами импульса и параметрами активного участка гранич пое условие (6.4.6) лишь па члены 0(пм,-Л1ра) отличается от 1 ззл ПЕРЕЛЕТЫ ДЛЯ МАЛЫХ АКТИВНЫХ УЧАСТКОВ 251 аналогичного условия, получающегося при решении задачи в импульсной постановке.
Относительная погрешность составляет при 21 этом величину 0(Л~рд). Упростим далее уравнения, определяющие начала и концы активных участков. Ограничимся рассмотрением случая, когда начало и конец перелета выбираются оптимально и Н(ар) = О. В соовветсвзни с результатами з 6.1 в этом случае можно считать, что 6(эд — ) =6(р+) =0 (й =0,1, ..., Н). (6.4.7) Прид1орный вид зависимости д(у) в окрестности й-го активного участка изображен на рис. 6.4.1. Очевидно, что шахд(~р) при ~рд < ар~(ард представляет собой величину 0(Луд).
Соответственно площадь, ограниченная кривой д(ар) на активном участке, представляет собой величину 0 (Луд) Основываясь на этом, рассмотрим вопрос об определении зависимости ра(зз) в случае, когда я/р) Рис. 8.4.1. ограничивается тяга (в случае ограничения по тяговооруженности р, = — 1). Из уравнения (6.1.10) следует, что Рд = 1 + О (лзаахЛЧА)~ (6.4.8) т. е. импульс р, можно считать тождественно равным — 1 как при ограничении по тяговооруихенности, так и при ограничении по тяге, с той же точностью, с которой выполняются граничные условия при замене активного участка импульсом.
Из (6.4.7) и (6.4.8) следует, что г (чд ) = — г(~рдт) .=1. Разлагая левые части этих равенств в ряд в окрестности ~2 = ар„получим ад ад 2 з гд 2 Лц~д + Лфд + О (Лфд) = '1 8 (6.4.9) 'д ад 2 з гд —, — Лара+ — Л~~д+ 0(Лфд) .— 1. Из этих равенств следует,что гд — — 1+0(Л~рд~), гд = 0(Л~рд~), й = 0,1, ..., Л. (6.4.10) збв ткОРИЯ м»нкБРпРОВАпня по ОколоеРУГОВыз! ОРБ1г!'Ам >г,! !. Л>р» = — „ а>ах (1!.4.11) )с=-О,1, ..., (У.
г''сли же на активных участках ограничена тяга, то п = и „.;,аеа ' и уравнение для !> можно переписать так: »е е> аа>ах, а (>К4.12) » †! >р» при начальном условнид(>р» )= ХМ ! >=О д(гр» )+ Лг>», получим искомую формулу Интегрируя его от !р» до и учитывая, что д г,>р» ) = в виде АУ» ' — — а' Ау! — » 1 ~>аах,э (6.'О 13) 1=0,1, ...>">г.
Заметим, что исходное для формул (6.4.11) и (6.4.13) уравненпс >!д Не — =и является приближенным и применимо лишь для случа" околокруговых орбит. При точном решении задачи — = и,где >' — г ж отнесено к круговой скорости, а ! — к г„/Раа.
Поэтому (64'1() >[ервые члены этих равенств соответствуют решению задачи в в нм пульсной постановке. Таким образом, как граничные условия , так и соотношения для определения концов активных участков с о з! с относительной ошибкой 0(Ь>р») совпадают с аналогичными соотп отношениями, полученными при решении задачи в импульсной поста новке, которое будем считать известным. Из полученных выше результатов следует (см. раздел >гравило пересчета: 1) середины активных участков должны совпадать с момсвта .. и приложения импульсов; 2) направление тяги может быть выбрано постоянным па все„ а!Ргивном участке и совпадающим с направлением импульса; 3) величина характеристической скорости, расходуемой .
а еп!. тленом участке, равняется величине импульса. Получим далее формулы для определения угловой дальности активных участков. Такие формулы выводятся из уразпепнз »о дч — = п (см. (6.1.3) ) . В случае ограничения тяговооружепног. и пз активных участках п = п„,„и для Л>ра получается формула ЯГРВПБты для тгАлипс АБтиВных РЯАстнОВ 253 0граии«иииаи гаага г=г гр,ии -гд 00000 000гг 00 47 гг, град дУм -гд ~',.град 00 гд дгг,град 40 Рис.
6.4.2. 07 0 „, 0 гд 0 „, 00 00 гг,гРад Вмгьад З64 твогия манввгигования по околокггговым огвктам ггл у, и (6.4.13) следует рассматривать как точные формулы для и продолжительности активного участка и лишь как приближенны~ Р е для его угловой дальности.
При известном импульсном решении задачи найденные реву таты позволяют определить все параметры оптимального пере„ та. Абсолютная погрешность, возникающая из-за приближенно учета протяженностей активных участков, представляет собои в личину 0 (и гЬирц = 0 (~Мь|пвкгг)- В то же время абсолютная погрешность линеаризованных уравнений (6 1.3) представляет со бой величину 0(Л)гь). Поэтому приближенный учет протяжен ностей активных участков не будет увеличивать погрешностей ис ходных линеаРизованных УРавнений пРи л„гг ~ )0 (]'кМ'„), 6.4.2. Оценка точности. Точность указанных выше правил приближенного построения оптимальных перелетов оценивалась на примере перелетов между некомпланарными круговыми орбитамв.
Импульсное решение задачи для этого случая было взято вз ргриииигииии игигг3юр~мюикпк . 45 йлргр ир, кн гр р // lг /р // У,.' й р Рвс. 6.4.3. работы Райдера [1]. Параметры перелета с протяженными активнымп участками определялись с помощью результатов предыду щего раздела, а в качестве критерия точности рассматривались величины невязок в граничных условиях в конце перелета: Раз ность между фокалькым параметром р конечной орбиты и раЖУ сом Вг круговой орбиты, которая должна была получиться в коп це перелета (Лр = р — Вг [км]), зксцептриситет конечной орби ты е, погрешность в угле наклона плоскости конечной орбиты А' вМ ПЕРЕЛЕТЫ ДЛЯ МАЛЫХ АКТИВНЫХ УЧАСТКОВ 255 град1, смещение оси узлов г112 1град1, разность г1)г между скоостью в конечной точке перелета и скоростью движения по коечной круговой орбите.
Перелет рассчитывался по точным уравениям движения. Расчеты были проведены как для случая компанарных орбит, так и для достаточно больших углов поворота г ~плоскости орбиты и отношения В = Л1/Лс радиусов начальной 'и конечной орбит. В связи с этим для увеличения точности в случае немалых значений г и Л результаты раздела 6.4.1 были несколько модифицированы, 1. Угловая дальность активного участка измерялась в плоскости развертки линейчатой поверхности, описываемой радиусом- вектором центра масс летательного аппарата (см. работу Ю. М. Конкина (1) ). Такая модификация является естественным обобщением вышеизложенного на нелинейный случай, когда мгновенная орбитальная плоскость заметно изменяет свою ориентацию в пространстве.
2. Формулы (6.4.11) и (6.4.13) рассматривались как формулы, определяющие безразмерные продолжительности гтгя активных ргряягмяяпя гяяги зд~я Я„я Яд лг Лглг гг лгггг лллгг гЛ гг гг гг гл гг й й Ркс. 6.44. Участков, а угловая дальность их Лгу„в соответствии с уравнени- ~ яср ем —, =- —, определялась по формуле Л~р„= — гягю ср Значение г„полагалось равным радиусу той орбиты, в окрестНости которой прикладывается импульс, а значение )г„р определялось с учетом Л)г, — трансверсальной компоненты прикладыва- АУ„ емого импульса: Утгр = 1 + 2 твовия мгнвввивовлния по околоквуговым оввитвм ~тд Ограгаггееае гггггдагрдгееегггггг, р=lи е фер гд и .д дд П и гд дд -..— т— д~г, град 4д Iд дд Лг /0 дд Лг г'., град ! „град Рвс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
