Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 51
Текст из файла (страница 51)
МИНИМаЛЬНО необходимое значение характеристической скорости Л)гз, отнесенное к )~Лгз(1р5)+ Лзз(1рл), в зависимости от угловой дальности при некоторых фиксированных значениях ~ЛР(5ру)1Лз(1рл) ~ 279 злдхчп мхнввгигованиЯ по околокггговым огвнтхм гч л. тп представлено на рис. 7.1.10. Следует обратить внимание на что с увеличением «пространственности» перелета ( ) Лг (~9„) ) /Лз(9ь ) ( -+-0) и увеличением расстояния конечной точки щ ре„ та от исходной орбиты фйгз(~Р )+ Лзз(9ь,)) потребное значенц ЬР, возрастает. Поэтому в случае, когда положение конечно„" точки перелета относительно исходной орбиты паменяется, для снижения потребного значения ЛК, при выборе момента старта Рис. 7Л.9. необходимо учитывать это возрастание. Диаграмма распределения потребных значений Л'г',, отнесенныхк)'Лгз(ср„) + Лгз(<рэ), в зависимости от угла р наклона отрезка, соединяющего конечную точку перелета с точкой исходной орбиты при ~9 = ~ра,представлена на рис.
7.1 11. Видно, что наибольшее значение ЬУ~ достигается при боковых перелетах, когда р = 90'. При уменьшении угловой дальности перелета в диапазоне 0 ( гр,. — ~ус ('а величина потребной характеристической скорости увеличивается от значений, необходимых для перелетов с промежуточными импульсами, до значений, сравнимых с круговой скоростью. В то же время при ~рл — ~рс = и одноимпульсный перелет по экономичности не уступает многоимпульсным 272 3АДАчи МАНБВРиРОБАния по Околокррговым ОРБитАм П ч 'Л Уп перелетам (при прочих равных условиях). На практике обыч„ ычно желательны небольшие угловые дальности. В этом случае но ориентироваться на одноимпульсный перелет с угло овой дальностью суй — 1ро = и.
в 7.2. Перелеты между близкими околокруговымн компланарными орбитами 7.2 1. Исходные соотношения. Рассмотрим задачу оо опти мальных перелетах между эллиптическими орбитами, располо женными в близкой окрестности некоторой круговой орбиты В отличие от задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе угловые положения начала 1р = 1ра и концаперелета 1р = 1~„бу дем считать варьируемыми параметрами. Таким образом, целью настоящего параграфа будет нахождение перелетов, требующих пип ппп Л 1Г, по сравнению со всеми возможными перелетами между заданными орбитами. В случае задачи о перелете с орбиты в точку варьируемым параметром можно было бы считать угловое положение старта 1рс. В этом случае шшшшЛ1ГМ как это было показано выше, достигается при д1 — 1~о = а, где угол а опРеДелаетск величиной отношениЯ (Лг(гРУ)/Лз(1Ру) ~ (см.
рис. 7.1.8). В случае плоских перелетов угол сс равняется я. Все исследование, как и ранее, ведется с учетом лишь малых величин первого порядка. С этой точностью уравнения начальной и конечной орбит могут быть записаны в виде го (1Р) =- Рр гсрео сов ('Р 1Рзр) (7.2 1) Г11+1 (1Р) = Ри+1 1~ран р1 СОВ (1)1 1)1~ и ' 1), где р, е, 1р — фокальный параметр, эксцентриситет и угловое положение перицентра соответственно, индексом О обозначаются параметры начальной орбиты, а индексом )1'+ 1 — параметры конечной орбиты.
Все входящие в (7.2.1) величины размерны. Назовем разность бг(й=- ги+1(р) — Гр(р) относнтельньп| расстоянием между орбитами. С использованием (7.2.1) выражение для Лг(1р) можно записать в виде Лг (1Г) = Гср (Лр + Л~ сов 111 + Лд в!п 11) = .= г,р [Л, + 1Г Л~ + Л, сов (1р — 1рм„„)1, (7.2.3) Здесь рр1-~-~ Ро Л, = ер сов 1рзр — етгр1 сов 1ГА, х+1, 7 2 4) 'ср ер в1п 1Рер — ек, в1п 1Р ПЕРЕЛЕТЫ МГЖДУ БОЫПЛАНАРНЫМИ ОРВИТАЫИ 273 а Ь27 ОтНОСИтЕЛЬНОЕ раССтаяНИЕ Прн НЕКОтОрЫХ ср = Сри а И Ср = дьо достигает соответственно максимального и минимального значений.
Выражения, определяющие ~р,а и ср,„, имеют следующий вид: Ь с в7п ср —, соя ср 7,/А2, Л2' п~аи ~/Аз) Л2' (7.2.5) рсп1п — Срспах + 2 ~~"„ЛР',„= Л„ д=о ~ (ЛРс„д ядп срд -'„2ЛГ,д соя срд) а=о ~ (ЛР„д сов срд — 2ЛР',д я! и срд) д=о (7.2.6) = — Л, с Наличие этих трех условий является следствием того, что в рассматриваемой задаче в конце накладываются ограничения как на координату, так и на компоненты вектора скорости. Так же как и ранее, будем минимизировать характеристическую скорость ЛР'„которая определяется выражением (6.3.22), при наличии связей (7.2.6).
Тогда функция Лагранжа записывается в виде '77/ Лр д + Л) сд + )сд ~ 2Лр ~д + д=о ~,, ~ (Лу„дядпсрд+ 2Л)с,дсовсРА) + а=а к (Л)г„д сов срд — 2Л)г,д ядп срд) (7 2 7) тле Хь )ьд, Аа — множители ЛагРанжа. ВычислЯЯ частные пРоИзвоДные от Ь по ЛР'„, ЛРс,ь и сРИ )с = О, $,..., Лс, и пРиРавниваЯ 18 в. А. ильин, г. к. кгаиан Чтобы перейти к безразмерным переменным, достаточно, очевидно, в (7.2.3) отбросить сомножитель г„,. Соотношения, обеспечивающие выполнение граничных условий в задаче о переходе между орбитами, были получены в в 6.3 и для случая плоского движения записываются в виде (см.
формулы (6.3Л1) ) 274 ЗАДАчи ИАИИВРиРОВАния по околокРуговым ОРБптдм ~Г»1 ГЛ, дли их нулю, получим систему экстремальных уравнений А~ д — + Хдв»п1рд +)»Ясов»рд -- — — О, ~~ т» — + 2(11+ Хдсов 1рд — ).»в»п1рд) = О, пи Л Р»д () 2 сов 1рд — ) 2 Я1п 1рд) — 2Л К„» () 2 Я1п »рд + Хз СОЯ 1р» ) =- 0 6[1 у 6~2 + Ар2 й=0,1, ...,Л (7.2.8) Обозначим Х = Х1 и введем вместо Х2, Хв новые параметры 1' и 6 с помощью формул Р = ~I Хз+ Хз в»пб = — ', сов 6 = — ', (7.2,9) что позволяет записать (7.2.8) в более компактной форме: — "" + тсов(1рд — 6) =-О, АР,» —.'" + 2 [) — т в»и (1Р» — 6Ц = О, т [А1' гд Я1п (1р», — 6) + 2ЛУтд сов (1ру, — 6)] = О.
(7.2.10) тсов(1рд — 6)[4).— Зтв»п(1р» — 6)] =-О, й=О, 1, ...,Л'. (7.211) 7.2.2. Анализ оптимальных перелетов. Перейдем к решению полученных уравнений. При т = 0 равенство (7.2.11) удовлет воряется при произвольных значениях йи В этом случае экстр~ мальные уравнения не определяют моментов приложения ид' пульсов. Этот случай является простейшим и будет рассмотре" Для определения Х, о и 6 следует использовать граничные условия (7.2.6), с учетом которых общее число уравнений, равное (З]1'+ 6), будет равно числу неизвестных ЛР',д, ЛГ„, 1р» й = 0,1,..., У, ), Р и 6. Несмотря на зто, в исследуемой задаче, так же как и в рассмотренной выше, вообще говоря, возможно бесконечное количество решений.
В этом нетрудно убедиться с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые были приведены в начале предыдущего параграфа. Исключая из последнего нз равенств (7.2.10) ЛГ„И А[1,» с помощью двух предыдущих, будем иметь 4 1. 12! ПЕРЕЛЕТЫ 11Г КДУ КОМП.1АНАРНЫМИ ОРБИТАМП 275 в первую очередь. Очевидно, тогда ЛУ,.„— О, ЛУ„» = — 2) ЛУ», ЛУ„~ЛУ,„~, й —. О,1,..., Л',! (7.2.12) откуда следует, что все импульсы трансверсальные и имеют один н тот же знак, т, е. все импульсы либо разгоняющие, либо тормозящие. Из равенств (7.2.12) имеем Х -- — — в1»ПЛУ,„.
(7.2.13) 1 Л ЛУ»сов ср» = — ', 4Х ' »=а ЛУ» в1П ср» -= — '. 41 ' »=а (7.2.15) Так как ЛУ, ) О, 7с = О, 1,...,11', то из (7.2.14) влип ЛУ„= в!дп Л,, й = О, 1, ..., Л!, (7.2.16) 4Х ЛУ = —,"~ . (7.2.17) следует: Обратим внимание на то, что ЛУ» в рассматриваемом случае зависит только от разности. фокальиых параметров эллипсов Л, = Р Нт! Ра и пе зависит от Л, и Л,. ср Система уравнений (7.2.14), (7 2.15) допускает простую гео- !11 метрическую интерпретацию. Расаз смотрим на плоскости (рис.
7.2.1) Рис. 7.23. ломаную линию, состоящую из отРезков с длинами, равными ЛУа, ЛУ1, ..., ЛУУ, которые наклонеЯы к оси абсцисс соответственно под углами сра,..., сри. Тогда реп»ение системы (7.2.14), (7.2.15), очевидно, эквивалентно построеаию такой ломаной линии, что сумма длин всех отрезков равняется ( Ла(/2, сумма проекций всех отрезков на ось абсцисс !8» Воспользуемся далее граничными условиями (7.2.6), которые с учетом (7.2.12) и (7.2.13) можно переписать в виде »=а 27З ВАДАчн 1!АнкВРпРОВАнкя 1!О ОколокРгговып ОРБнтАп г.! т„ равняется Л,741, а сумма проекций всех отрезков на ось орд„н равняется Л,741.
Эти геометрические соображения целесооора„„ азно использовать для непосредственного решения системы урав! ний (7,2.14), (7.2.15) и построения оптимального перелета вр „ сматриваемом случае. Указанную ломаную линию можно постр„ ить лишь в случае, когда сумма длин ее отрезков ~Ло~!2 прев~„ ходит расстояние от начала координат до точки с координатазп, (Л,!4А, Л,!47!). Таким образом, условие существования оптнмаль ных перелетов в случае т = О имеет вид ~Л,~ > ~ 'Л', —,— Л'. (7.2.18) с д„ соз !р =- — — ', з!и !р Д0 0 дО. (7,2.19) Из сопоставления (7.2.19) и (7.2.3) следует, что Л!'(!ро) = О т. е.
импульс прикладывается в общей точке орбит. Этот результат является вполне очевидным в силу того, что рассматривается одноимпульсный перелет. В общем случае, когда начальная и конечная орбиты не имеют общих точек, из схемы, приведенной на рис. 7.2.1, следует, что для осуществления перелета необходимо по крайней мере два импульса. Перейдем к исследованию случая, когда т ) О.
Рассмотрим прежде всего уравнение (7.2.11), определяющее моменты пр" В случае, когда это неравенство выполняется, произвол в опре делении семейства изоэнергетических оптимальных перелетов оказывается ббльшим, чем в случае задачи, рассмотренной в 1 7,1, так как здесь в общем случае удается перераспределить не только приращения характеристической скорости между импульсами, как это было ранее, но возможно также произвольно выбирать моменты приложения импульсов и количество импульсов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
