Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Если какой- либо из параметров то Т задается заранее, то соответствующее ому условие трапсверсальпости должно быть исклгочено из рассмотрения. з 8.5. Оптимальные управления на прямой управления 8.5.1. Закон оптимального управления. Как уже указывалось вьппе, при наличии прямой управления исходная пространствоппая вариационпая задача становится одномерной — сводится к определению закона изменения вектора а(1), направленного вдоль прямой управления.
При помощи преобразований, аналогичных преобразованиям предыдущего параграфа, она может быть оппсапа следующими скалярными уравнениями: На — = 11(Т а з) атах Д) и — = Х (Т, $) птах($) и, — = птах($) и лб хза (8.5.1 ) а!о-о =- Р =о= р)„-=о — О, и/; — т Лг(Т), () !о —.т — ЛЧ(Т), (и! ~(1.
(8.5.2) Если параметры ть ..., т, Т и соответствшшо векторы дг н ЛЧ известпы, задача сводится к решению системы (8.4.18), Ес. ли же параметры ть ..., т„и Т пе заданы и должны быть выбра пы оптимально, то вместе с системой (8.4.18) пеобходимо рас сматривать соотношения, следующие из условий трансверсально сти. Эти условия будут написаны исходя из той формы, в которой они приведены в работе В. П. Апорова [11о Непосредственное применение формул этой работы становится возможным, ес ли уравнения движения (8.4.5) дополнить уравнениями а4т,.
ахТ во (8.4.20) Они позволягот рассматривать параметры та и Т как новые фазовые переменные. Непосредственное применение формул работы В. П. Анорова 111 к системе уравнепий (8.4.5), (8.4.20) с указанпыми выше граничными условиями позволяет преобразовать условия трансверсальпости к виду Э из] оптимлльнок гпглвлвннв нх пгямои гпглвлвния З4Ь Здесь а, р и р — новые неизвестные; а„.„(з) — заданная функция, ограничивающая значения модуля управляющего ускорения а(э); и = а(З)!а „(З) — новая управляющая функция, которая доюкна быть выбрана так, чтобы значение р] =.—.г было минимально.
Уравнения (8.5.1), граничные условия (8.5.2) и указанная задача об оптимальном определении функции и(1) являются стандартными для оптимизации с помощью принцнпа максимума Л. С. Понтрягина. Применение этого принципа позволяет получить следузощее правило для определения и(Г) з 1 прн [рзК(Т, с) —,— рзЕ(Т, с)] ) 1, и(с) = О пр [р К(Т, 5)+рэ5(Т, е)]<1, — 1 прп [р„К (Т, с) + ррЬ (Т, ~~)] < — 1, (8.5.3) где р„п рр — сопряженные переменные для функций сс и р. Уравнения (8.5.1) показывают, что обе онп — постоянные. Из условий трансвсрсальностп следует, что еслп при з — — Т какая-либо из функций а н [3 пе задана, то соответствующая ей сопряженная переменная равняется нулю (см.
э 8.3), т. е. в случае а), когда дано значение Ьг(Т), рр — — О и в случае б), когда задано значение ЛЧ(Т), постоянная р„= О. Остающиеся неизвестными сопряжеппые переменные должны быть определены нз граничных условий, которые палагаются на функции а и р при с = Т. Из равенств (8.5.2) следует, что расположение активных участков и направление управляющего ускорения зза прямой управления определяются характером зависимости функций влияния от з (О < э < Т). Из (8.1.8) и (8.1.9) видно, что К(Т~ ь)]зт=О, =! = — 1, — „~ ==О, ' НК ! ззК лб 4=т ' аР э=т ' ~ (854) Т,(Т, Ы],=,=-1, —,".'(,,=О, ",.', ! <О.
~ Из равенств (8.1.17), (8 1.18), (8.1.22) н графикон, приведенных пз рис. 8.1.1, следует, что прп ]бг ] (( 1 функции К(Т, з) и Т(Т,=) мало отличаютсясоответственно от функций э]п(Т вЂ” з) и соз(Т вЂ” $). Основываясь на этом и на соотношениях (8.5.4), можно заключить, что при О < $ < Т < я/2 функция К(Т, $)— монотонно убывающая функция от в, а Ь(Т, $) — монотонно возрастающая, причем это справедливо при произвольных значениях коэффициентов аь Установленный характер изменения функций влияния и равенства (8.5.3) позволяют заключить, что при Т < < я/2 в случае а), когда дано значение йг(Т), активный участок один и он располагается в промежутке О < $ < г„,„„, а в случае б), когда дано ЬЧ(Т), активный участок также один, но он располагается в конце траектории при г„„„= ~ < Т. Здесь 346 ОПТИМАЛЬНОС ЫАНИВГИГОВАНИК В ТОНКИХ СЛОЯХ ~гл " ° твп Г,„ка и 1.„л — подлежащие определению моменты выключения и включения двигателя соответственно.
Для их определения (8.5.1) и (8.5.2) получаются соотношения: в случае а) !выкл К (Т, 5) а ак (вь) ылвь = Ьг(Т); о (8.5.5) в случае б) Т (Т, 2) а ав (5) грь =- й'р'(Т). (8.5.6) ввкл (рр, '",«) =а, (8,5.7) откуда рв = О. При этом из равенств (8.4.17) следует, чтовекторы р„и Аг коллинеарны. Поэтому равенство (8.4.21) можно Несколько более сложным является доведение до конца реагенпя задачи в), когда известны и гаг(Т), и ЛЧ(Т), так как здесь искомые неизвестные — обе константы р и рв или связанные с ними моменты включения и выключения двигателя. В этом случае при Т < я/2 возможны два режима оптимального управления: режим с одним активным участком, расположенным в середине отрезка О < $ ( Т, и режим с двумя активныии участками, которые примыкают к концам этого отрезка, причем направления управляющего ускорения на них противоположны.
После того как расположепие активных участков установлено, можно, так же как и ранее, составить уравнения для определения момептов включения н выключения двигателя. Рассмотрим далее вопрос о нахождении оптимальных значений времени Т и параметров тн ..., т„ в задаче о попадании в заданную точку. На величину скорости в начале и в конце перелета условия не накладываются.
Эта задача может быть решена с помощью условий трапсверсальностн (8.4.21) и (8.4.22). В задаче с заданной зависимостью йг(Т, тк ..., т ) и пропзвольным рла' вектор а(а) коллинеарен ааг, его величина равна а „„(г), а активный участок располагается в начале перелета. Момент выключения двигателя ~,ы„л определяется из (8.5.5), где вектор Лг следует считать зависящим от параметров тн ..., т .
В силу произвольности рл а' можпо считать, что этот вектор гю <ю определяется параметрами тр , ...,т , от которых вектор авг не зависит. Для этих параметров уравнение (8.4.21) записывается так: О 8.5~ ОПТИМАЛЬНОВ УПРАВЛЕНИЕ НА ПРЯМОЙ УПРАВЛЕНИЯ 347 записать в одной из следующих форм: Так как р чь О, оптимальные значения параметров т, соответствуют стационарной точке функции Ы(Т, ти ..., т ). Кроме того, как видно из (8.5.5), наимепьшая длина активного участка будет при мннииально возможных значениях пг, которые могут достигаться и не только в стационарных точках.
Указанные своаства вектоРов Р„и Ро позволнют УпРостить Условие (8.4.22). Так как в рассматриваемой задаче а(Т) = О, то (8.4.22) поясно записать следующим образом: ылл о (8.5.9) 0'оо го(то) = гоо+Чоото г ят1 (то) =- гы+Чмт~+ Чо(то)= Чоо+ кто (8 5 1О) Ч(т,) = Ч„+ ятп (8.5.11) где через то и т1 обозначены времена движения от некоторых начальных состояний по начальной и конечпой орбитам, характеризующихся, соответственно, векторами гоо, Чоо и гю, Ч~о. Будем предполагать, что то = т~ = й Это условие эквивалентно специальпому выбору пачального состояния для одпой из орбит. При таком предположении выражения (8.1.21) для Лг(Т) и йЧ(Т) записываются в виде Лг(Т) = Лго + МАТ, ЬЧ(Т) = ЛЧо, (8.5.12) где Лго = гю — гоо, ЛЧо = Ч1о — Чоо С помощью этого уравнения можно найти стационарное значение Т, если оно существует. 8,5.2. Возможные случаи коллинеариости векторов конечного промаха.
Выясним далее, в каких случаях имеет место условие пг(Т) ~~ Ю(Т). Рассмотрим сначала двинсение в однородном поле тяготения. Будем считать, что до пачала и после окончаппя перелета движение происходит по орбитам, которые описываются формулами для свободного движения. В соответствии с (8.2.11) уравнения, описывающие движение по начальной и копечной орбитам, имеют вид Э«»>> ОПТПЗ>адыгея мл!пзоигевлгшв В Тенкпх СпеяХ >гл тц! Отсюда видно, что Лг(Т)>>ЛЧ(Т) либо при Лг» = О. »>иГ«~ и!ш ЛЧ» = О, либо при Лг»!~ЛЧ». Случай Лго = О соответствует иере ходу между орбитами, пересекающимися прн т=О, э случай ЛЧ» = О имеет место при переходе между орбитами. у которых при т = О совпадают векторы скорости. Лпалогичпые результаты могут быть получены н для более сложного движения в однородном цептралы>ом поле тшотения В этом случае формулы, описывающие свободное двия«сине ио пав;жопой и конечной орбитам, записываются так (см, формулы (8.1.!9)): , !»> „!»> Ч»(!) ' Ч»» и! + '»» (8,5.!3) г»(!) = >!»с~ >(!) тсЧ!»г! (!), » !О !!«!>> (8.5.!4) с (т) = с (!) = с (!), !»>(е) = Я>>> (!) = (!) (8.5.15) выполняются с достаточной точностью.
При таком предположении выражения (8.!.21) для векторов конечного промаха Лг(Т) и ЛЧ(Т) записываются в виде Лг(Т) =- Лг с(Т) -'; ЛЧ»«(Т), ЛЧ(Т)=ЛЧ,—",,') +Л.,— '„', ! где по-прежнему Лго — — г>о — гао, ЛЧ» —— Ч!» — Ч»». Условие ко;!- линеарности векторов Лг(Т) и ЛЧ(Т) моя«ет быть записано в виде равенства нулю векторного произведения: (Лг(Т), ЛЧ(Т) ] = О. (8.5.17) Подставляя сюда (8.5.16), это условие можем переписать ввиде (Лг(Т), ЛЧ(Т)! =~Лг«, ЛЧ (с(Т) — '~ — з(Т) —,~ 11 (8518) — „,! "' >>-тй Индексом «О» обозначена начальная орбита, а индексом «1»вЂ” конечная.
При ! = О этн орбиты характеризуются, соответственно, векторамн г!», Ч!» и г»», Ч»». Отмеченное индексами «0» и «!» различие в функциях с(Е) и з(!) связано с возможным отличием в малых члепахпорядка бг, которыевходятв выражения (8.1 13) для этих функций. В дальнейшем этим различием будем пренебрегать, предполагая, что равенства 349 лпнгавпэоваппов Ркгпгппп 4 вл! Вспоъппъзя, что фупкпш! с(Е) и г(!) являются частпымн реше- ~ нппмп уравнения (8.!.7) со спсцпальяымп начальными условиямп, нетрудно убедиться в справедливости тождества с (Т) — '~ — з(Т) — ~:1. (8.5.19) „! !!! !! С учетом этого тохгдества нз равенства (8.5.18) получаеь! следующий важный результат: (Лг(Т), ЛЧ(Т))) = — (Лго, Лу,'~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
