Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 64
Текст из файла (страница 64)
8.6.1). Угол и выберем так, чтобы линеаризованное рвоте ние было возможно более точным. Представим векторы тат и йЧ следующим образом: Аг=(дг, тю)тю+(Лг, )ю))ю, ЛЧ=(КЧ, тю)1ю+(ЛЧ,1ю)1ю (86.21) Первые слагаемые в формулах (8.6.21) коллинеарны между собой, и, соответственно, можно считать, что для таких векторов конечного промаха задача выбора оптимального управления ре шепа. Вторые слагаемые в формулах (8.6.21) будем рассматривать как возмущения: бттг =(Лг, )ю))ю, ЬЛЧ = (йЧ, )ю))ю. (8.6.22) Так как эти векторы ортогональны к вектору тю, то из уравнений (8.6.17), (8.6.22) следует: бр.
= 61. = О. (8.6.23) Можно доказать, что этот результат верен как для режима с одним активным участком, так и для режима с прямой управления, имеющего два активных участка. Таким образом, при возмущениях векторов конечного промаха типа (8.6.22) программа изменения величины тяги сохраняется. Влияние этих возмущений проявляется в изменении ориентации ВР л тяги — номинальныи режим с прямой управления переходит в вове мущенный режим с плоскостью у !р управления. Рвю. 8,63. Угол д = ~61) определяетсявы- ражением (8.6.20), где проекции возмущений (8.6.22) на направление вектора )ю с точностью до малых более высокого порядка, чем е, определяются формулами (см.
рис. 8.6.1) (бйг, )ю) = — Лгц, (6ЛЧ, )ю) = ЛУ(з — ц), (8.6 24) Для окончательного решения задачи следует определить уголц, задающий направление прямой управления в номинальном режиме. Выберем его таким образом, чтобы минимизировать величину членов, отброшенных при линеарнзации равенств (8.4.2), (8.4.3). Порядок этих членов в случае одного активного участка можно охарактеризовать интегралом 1аыкл,а 8= ) )Ь ) бюатлал15, гДе )Ью! =!Ратай + Рсю4 (8 Э.ВО) 1алл,а Выберем угол ц таким образом, чтобы этот интеграл был мини- ЛР(НЕАРИЗОВАННОЕ РЕШЕНИЕ 355 О 8.61 мален. Выражение (8.6.19) для О удобно записать в форме аК+ ОЬ (8.6.2 (ь,| где константы а и Ь, в соответствии с (8.6.28) и (8.6.24), удовлетворяют уравнениям 1)81<а + 1ЯЬ = — дгт), 1(<ь)а + 1(оь)Ь = ду (з — ц). (8.6.27) Подставляя выражение (8.6.26) для О в формулу (8.6.25) для Я и вспоминая выражения (8.6.16) для интегралов 1кк, 1ьь и 1кь <о) <о) <о) получим Я= а21Дк + 2аЫк)( + ЬО1ь(ь) = — айг)) + ЬД(1(8 — т)).
(8.6.28) Исключая отсюда а и Ь с помощью равенств (8.6.27), выражение для Я можно преобразовать к виду Ю = тот)8+ т))) + п)2, (8.6.29) где 1 Дг — 21кьДГДГ+1„, ДР (О) 6 <О) (0) 6 т 1<О) 1<0) (1(О) ) 2 кк (.(. ( А).) (1~<(ОЬ)Д6 — 1()0))< ДЕ ) 2ДР8 1()(0)) Д ГООО (0) (0) ( <0) 2 ' 6 (0) (0) (0) 2' 1кк1ьь (1кь) 1кк1ьь (1кь) Так как Я ) О, то зависимость (8.6.29) имеет минимум при Ж1 ЧОР< = (8600 —,„) ДР~~(1~0) „,,„,, )~ Д „,. (8 6.-6) Отсюда видно, что при Дг = О 6)„< = е, а при ДУ = О )<„< = О.
Таким образом, направление прямой управления, минимизирующее погрешностьлинеаризации, приизменении отношения Дг/1)У перемещается между векторами Дг и ь) )'. ГЛАБА 1Х НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО МАНЕВРИРОВАНИЯ В ТОНКИХ СЛОЯХ 5 9Л. Жесткая встреча 9ЛЛ. Постановка задачи. Основные соотношения. Рассмотрим задачу о встрече двух летательных аппаратов, маневрирующих в пустоте. Предполагается, что в момент встречи значения скоростей не подравниваются — отсюда название «жесткая» встреча. Прп такой встрече летательные аппараты в один и тот же момент времени 1 = Т пролетают через одну и ту же точку пространства, а затем разлетаются.
Эта задача соответствует ситуации, когда в конце перелета задан вектор конечного промаха по радиусу- вектору Лг(Т), а вектор конечного промаха по скорости ЛЧ(Т) произволен. Без углубления в детали эта задача рассматривалась в з 8.5. Было показано, что при таких граничных условиях вектор а(г) фиксирован в инерциальном пространстве, его направление совпадает с направлением вектора Лг(Т), величина этого вектора максимальна, а активный участок расположен в начале траектории при 0 =1( с,„ыы где момент выключения двигателя определяется уравнением ввывл К (Т, $) а,„($) с)$ = Лг (Т). 'о (9.1.1) Величина функционала определяется выражением ~вывл Т = ~ ашвх (ов) г(в о (9 1.2) и, очевидно, тем меньше, чем раныпе выключается двпгатель.
Заметим, что уравнение (9.1Л) справедливо при произвольных вариациях в величине управляющего ускорения и в силу этого может быть положено в основу системы управления, обеспечивающей оптимальный перелет в заданную точку пространства при наличии возмущений. Различные варианты в постановке и решении этой задачи связаны с различием в определении момента окончания перелета Т и в определении произвольных параметров, входящих в выра- 357 жвсткая Встгкчя 9 9Л] жение для Ьг(Т).
Напомним, что Ьг(Т) определяется выра- жением Ьт(Т) = (г1(Т) — гв(Т) (. (9Л.З) Входящая сюда вектор-функция г1 (Т) определяется законом движения летательного аппарата-цели, с которым происходит встреча, а через ге(Т) обозначена вектор-функция, описывающая свободное движение летательного аппарата, закон управления которым ищется. Рассмотрим сначала случай, когда в некоторый момент времени заданы координаты и скорости обоих летательных аппаратов и встреча должна произойти через вполне определенный промежуток времени Т. Если указанный момент времени принять за г = О, то необходимо построить движение на фиксированном интервале времени О ( 9 ( Т.
При таком задании граничных условий вектор Ьг(Т) полностью определен и ~для полного решения задачи необходимо только найти момент выключения двигателя х,„„, из уравнения (9Л.1). Проведем вычисления для случая, когда а „(а) = а„„= сопз1. (9Л.4) Рассмотрим сначала движение в однородном поле тяготения. Тогда К(Т, $)= Т вЂ” $, (9.1.5) и после несложных выкладок уравнение (9.1.1) записывается в виде 9вывл ) Сл (Г) ~вывл~ Т /— l а 91 ах (9.1.6) Левая часть этого равенства является монотонно возрастающей функцией г,„ал при г,„( Т.
Так как г, не должно бытьбольше Т, то из этого следует, что решение данной задачи существует при условии а тв Дг(Т)- Р . (9.1.7) 19 ах (9Л.З) Это условие имеет очевидную физическую интерпретацию. Решение рассматриваемой задачи может быть получено только в случаяд, когда величина вектора конечного промаха не превосходит расстояния, которое летательный аппарат проходит за время Т, двигаясь с постоянным ускорением а .
Из уравнения (9.1.6) может быть также получена формула для а, „. Физический смысл имеет решение этого уравнения, меньшее Т, 358 ЗАДАЧИ МАНЕВР??РОВАНИЯ В ТОНКИХ СЛОЯХ ?гл. ?х Получим далее аналогичную формулу для движения в очень тонком сферическом слое поля тяготения. В этом случае, в соот ветствии с (8.2.2), можно считать К(Т, $) = з)п(Т вЂ” $). (9Л.9) При таком виде функции К(Т, 9) интеграл в уравнении (9,1,1) вычислнется без особых затруднений, н это уравнение может быть преобразовано к форме выкв ° / ?выка '? Н" (Т) 2з)п — з?п(Т вЂ” ! = . (91 10) г 2 ) вшах При малых значениях Т и ?,„„, полученный результат переходят в равенство (9.1.6). Зависимость ?,„„в от ??г(Т))а„„, при различных значениях Т, рассчитанная с помощью уравнения (9.1ЛО), изображена на рис.
9.1.1. На этом рисунке видно, что с ростом ?нх /У /5 2г? 6(ак Ряс. 9.1Л. Лг(Т)/а продолжительность активного участка увеличивается до тех пор, пока он не становится равным Т. Этот момент определяет максимальные значения Р?г(Т))а, при которых решение существует. В соответствии со сказанным равенство (9.1.10) позволяет записать условие существования решения длн рассматриваемого случая в виде неравенства А Г (Т) ( 2ашах З?П (9ЛЛ1) Решение, когда функция влияния К(Т, 9) взята в виде (9.1.9), является исходным и при определении Г,„„в с учетом члепов по- жесткАя ВстРечА 9 о.Ц 359 рядка бг в выражении (8.1.17) для К(Т, 9). Перепишем уравнение (9ЛЛ), выделив в нем члены различного порядка относительно бг под знаком интеграла: 1»ыкл (К,(Т,9) + бг К,(Т, 9)) а~в»Д)<1$ = Лг(7). (9.1Л2) о Здесь Ко (Т») з1п (Т») К,(Т, ») = ~ и<(Т)г<(7 — $). (9Л.13) Будем искать момент времени Г,„„„в виде <о1 <О »вы»в = »выкл + бгт<выкв.
(9.1.14) <о> <выкк „„, 1 К,(ТД)а.„(2)Д. (9Л.16) <1> »выкл Уравнение (9.1.15) соответствует рассмотречному выше случаю <о1 движения при бг = О. После того, как величина 1»ыкв из него определена, величина <,ы,в вычисляется с помощью равенства <1) (9.1Л6). Уйазанная процедура определения моментов включения и выключения двигателя применима для решения широкого класса задач, за исключением некоторых особых случаев, связанных со стРемлением к бесконечности пРоизводной <(Г»ы»»/дбг„. 9Л.2.
Определение оптимального времени перелета. Решение задачи, полученное для фиксированного времени перелета Т, является исходным для решения значительно более важной задачи, в которой время перелета Т является варьируемым параметром. В этом случае все приведенные выше соотношения сохраняются, с тем лишь отличием, что время перелета должно быть определено оптимально. Вопрос об оптимальном определении времени перелета Т кратко обсуждался в з 8.5. Там для оптимального значения времени перелета было получено уравнение (8.5.9) . Подставляя это выражение в равенство (9ЛЛ2), последнее можно с погрешностью порядка (бг )о заменить следующими двумя равенствами: <о> <выкл К (7, с) ашах(»ь) 8$ = <»»г(7), (9Л.15) о ЗАдА'ги мАнввРПРОввпия в тонких слОях ~гл ~х Выведем это уравнение еще раз непосредственно из условия дЗвыкл '"„"" =- О.
(9.1.17) Продифференцируем уравнение (9.1.1) по Т: ~выкл дГГ а~1 ыкв дйг (У) < д — аыввп$+ К(Т, 1ввекл) аывв(~в„кк) дт — — - дг . (9.1.18) о Используя (9.1.17), получим искомое уравнение, которому должны удовлетворять параметры перелета при оптимальном значении Т: ~выел Р,ва);=",',~ '. (9.1.) 9) о ддд Выпишем выражение для —. Дифференцируя равенство (8.1 17), получим — — соз(Т вЂ” $) +0(б~,в). дГГ (9.1.20) Отсюда видно, что для 0 ( $ ( Т при условии, что Т меньше, чем —, на величину порядка бг имеет место неравенство д1à — ) О. дТ (9.1.21) Аналогичный результат получается и в однородном поле тяготения, где — =1. (9.1.22) Основываясь на (9.1.21), из (9.1.19) получаем, что при оптимальном значении Т (9.1.23) Таким образом, оптимальные значения Т лежат в интервале значений Т, на котором зависимость Ьг(Т) имеет монотонно возрастающий характер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
