Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Поэтому далее будем предполагать,что одновременно с неравенством (9.2.12) выполняется также нер венство (9.2.15). Перепишем уравнение (9.2.14) в следующе виде: (аыах К ) А~а + 2(КЧо я) Лоа опара = О. (9 2.16) Прп а „) д уравнение (9.2.16) имеет один неотрицательный корепьл — (ЬЧо, 2) +)' (ЬЧо, пп) + Ауо (птах Хо) Л~а— поах Лко ~ ) 1 — (ХФпопах)~ п1п (АЧо, Я) — (Уlппоах) соа (а Чо, К) 1 ~.
(9.2.17) ппоах 1 — (Х!апоах)а Отметим два предельных случая. Пусть сначала а,.-~ и — . '6. Из полученной формулы видно, что в этом случае Лг,-+. со. Далее пусть а -о- оо. Тогда Пш Лха = а оп1ах о' поах з7з изменение векторл скоРостп ри 90' = 1р ( 180' предельное значение (9.2.18) практически остигается при —" ) 10.
(9.2.19) Г Тогда сила тяжести способствует изменению вектора скорости в нужную сторону. В основу исследования, так же как и ранее, положим уравнение (9.2.11). Однако в рассматриваемом случае при наличии неравенства (9.2.20) правая часть равенства (9.2 11) не является монотонно возрастающей функцией Т, как зто было ранее, а имеет при некотором Т = Тмв минимальное значение. 06ОЗНаЧНМ ЧЕРЕЗ Л1~о СООтзстотзуЮщЕЕ МИНИМаЛЬНОЕ ЗпаЧЕ- (ор1) нве Л1,. Если Лго ( Тор1 <орИ (9.2.21) то зто значение Т, очевидно, является искомым оптимальным значением времени перелета.
Ясно, что тогда оптимальное решение задачи имеет пассивный участок, на котором изменение вектора скорости в нужную сторону происходит под воздействием силы тяжести. Если же Л1~оРЮ ~ Т а ар1 ~ (9.2.22) в интервале значений Т, имеющих физический смысл, правая часть равенства (9.2 11) является монотонно возрастающей функцпей Т п следует положить М, = Т. В етом случае для определения Л1, получается уравнение (9.2.16). Физический смысл, очевидно, имеет наименьший неотрицательный корень етого уравнения. Прн а „(д у уравнения (9.2.16) может быть два таких корня. Проведем необходимые вычисления.
Из (9.2.11) для Т.,1 и Лго получаем <орп Т,р, — — — соз(ЛУ„й), ~О1а 1 (9.2.23) (9.2.24) ри увеличении угла 1р продолжительность активного участка ,увеличивается. Этот результат является следствием того, что при увелнченни ар в интервале от 90' до 180' действие силы тяжести является тем более вредным, чем больше значение 1(1.
Перейдем далее к исследованию случая, когда выполняется неравенство, противоположное неравенству (9.2.12): (ЛЧ., я)~0. 374 ЗАДАЧИ МАНЕВРИРОВАНИЯ В ТОНКИХ СЛОЯХ шл. ух Неравенство (9.2.21) выполняется при условии — М(ЛЧа 9)<1 (0<ар~( — 1 (9.2.25) птах а'-~-3 Таким образом, решение рассматриваемой задачи содержит пас сивный участок при малых значениях угла аР и больших значе ниях отношения а „/д. Отметим, что согласно (9.2.24) йг 1э з 0 (9.2 26) В этом случае изменение вектора скорости происходит только за счет благоприятного действия силы тяжести, без каких-либо затрат характеристической скорости.
Если неравенство (9.2.25) не выполняется, то в соответствии со сказанным выше М, находится из уравнения (9.216). При а „) д это уравнение имеет только один неотрицательный корень, который определяется формулой (9.2.17). В рассматрпваемом случае, когда соэа)~ ) О, эту формулу целесообразно переписать в виде ~/1 — (фатах)азхпа (ЬЧа, й) + (фазах) соа (АЧа й) Отсюда видно, что, в отличие от ранее рассмотренного случая, Ы, имеет конечный предел при а „/д-~1+ 0: ~~~ аэппаах ' — "-+О х (9.2.28) — э(п (ИЧ„й) ( 1.
тах (9.2.29) Таким образом, в случаях, когда сила притяжения способствует изменению вектора скорости в нужную сторону, в отличие от ранее рассмотренного случая, решение задачи существует для некоторого интервала значений а,„/д, меньших чем единица. Результаты расчетов по полученным формулам для М, в указанных выше областях их применимости приведены на рис. 9.2.1. Прямые линии на этом рисунке, как это следует из формулы При а (д и условии (9.2.20), как уже указывалось, (9.2.16) имеет два положительных корня.
Однако наименьший нз нпх по-прежнему дается формулой (9.2.17) или (9.2.27). В этом случае решение существует для таких значений отношения а „!б, при которых подкоренное выражение в указанных формулах положительно. Условие существования решения, как это видно пз (9.2.27), представляет собой неравенство юз измкнензш Вектогл скогости 375 9.2.24), соответствуют случаям, когда оптимальное решение заачи содержит пассивный участок.
9.2.3. Иллюстрирующий пример. Рассмотрим задачу, в которой ачальное и конечное значения вектора скорости горизонтальны. этом случае вектор ЬЧз также горизонтален и, соответственно, имеет место равенство (9.2.31) Вычислим величину вертикальной составляющей управляющего ускорения. В рассматриваемом случае Т = Л~, и, в соответствии с полученными выше результатами и условием (9.2.30), вектор управляющего ускорения определяется формулой ау,— яи, л = лтпах 1'тэ7;ъ7' (9.2.32) Умножая обе части этого равенства скалярно на вектор — д/д, получим вертикальную компоненту управляющего ускорения а,: (ач,, к) — (а,— ") а~, 'р,~,тз ) за~з Используя условие (9.2.30), перепишем это выражение в виде апьччгма а„= У ат, '+ азу', Подставляя сюда Л~, из (9.2.31), после несложных преобразова- ний получим а, = д.
(9.2.35) Отсюда следует важный результат: если вектор КЧз расположен и горизонтальной плоскости, то и вся оптимальная траектория располагается в горизонтальной плоскости, содержащей векторы начальной и конечной скорости. Ясно также, что горизонтальная компонента управляющего ускорения направлена по вектору ЛЧо, а ее величина равняется )Гаю, — я'. Решение данной задачи, очевидно, возможно только в случаях, когда пшик ) а (ЛЧ, и) = О.
(9.2.30) ~Из (9.2.25) следует, что при таком условии режим с пассивным участком при конечных значениях а „отсутствует и решение задачи дается формулой (9.2.27). При условии (9.2.30) она записывается в виде Зб ЗЗДлЧП З)ЗНКВГНГОВЛННЯ В тснких Споил )гл, )х ЛЧ11) + ЛЧ(2) ЛЧ (9.2.38) 11з форму))ы (9.2.31) видно, что для каждого маневра характеристическая скорость пропорциональна величине изменения вектора скорости. Дополнительное рассмотрение зада*ш об изменения вектора скорости дано в работе А. 3. Брауде, Г. Е. Кузмака (1]. 9 9.3.
Синтез оптимального управления в случае коллинеарных векторов конечного промаха при а =соней 9.3.2. Решение для однородного поля. Рассмотрим далее на)пболее сложный случай из числа тех, в которых существует щ ямая управления, а именно случай, когда одновременно задаю)ю) оба вектора Лг(Т) и ЛЧ(Т), однако предполагается, что они ко)- линеарны. Основное упрощающее предположение, которое будет использоваться в настоящем параграфе, выражается равенством а „(г) = сопзь.
(9.3.)) Б настоящем разделе рассмотрим зту задачу для однородного поля. Тогда вектор управляющего ускорения, удовлетворяющий ограничению ) а(2) ) ( а „(1), должен обеспечить выполнеи "о равенств ~ а(ь)(Т вЂ” $)2$ = Лг(Т), ) а(9))29 = ЛЧ(Т) о о (1) и н минимизировать величину характеристической скорости. В 3 8.5 было показано, что направление вектора а параллельно коллинеарным векторам Лг(Т) и ЛЧ(Т). Закон же изменения величины вектора а(9) определяется формулами (8.5.3).
При Отметим, далее, что когда изменение вектора скорости состоит из разворота его и разгона, то из формулы (9.2.3'() следует. что выгоднее это делать одновременно, а не последовательно, Пояс ппн зто с помощью схемы, изоора жепной на рис. 9.2.2. На этом рисуя ко через Чзо и Ч), так псе ьак н ранее, обозначены начальное н конеч У аоо значения вектора скорости. 12е 11) рез ЛЧз обозначено приращепие Рис.
9.2.2. вектора скорости, необходимое длц разворота вектора Чоо, а через ЛЧ, — приращение, связанное с изменением его длины. По- 12) скольку векторы ЛЧо, ЛЧз и ЛЧс ооразуют треугольник, то 11) аэ з.з1 коллинеАРные вектоРы кОнечнОГО пРОИАхА зтг (Т, е) = Т вЂ” $ и Ь(Т, $) = 1 из этих формул следует, что возожны два режима оптимального управления: а) с одним активным участком внутри отрезка О < 1 ( Т; б) с двумя активными участками, примыкающими к копцам трезва О = Г ( Т, на которых направления управляющего ускоения противоположны. Таким образом, вектор аД) располагается на прямой управ- 'ленин и в процессе движения возмовлно изменение направления этого вектора на противоположное. В качестве положительного направления на прямой управлевпя выберем направление управляющего ускорения а(ч) на первом по времени активном участке.
Соответственно скалярные величины Лт(Т) и ЛИ(Т) будем считать положительными, если направлепия соответствующих им векторов Лг(Т) и Ла)(Т) совпадают с направлением вектора а(З) на первом активном участке, и отрицательными в противном случае. Рассмотрим сначала режим оптимального управления с одним активным участком.
Для этого режима граничные условия (9.3.2) после вычисления интегралов могут быть записаны в виде Л~а(Т-Гаса) = 1»ах Ау (т) с»ах (9.3.3) (9.3.4) Ла )О, лс, ~а „,+ —,аТ,! (9 3.5) выражающим собой факт существования активного участка внут- ри отрезка О ~ а ( Т. Из уравнений (9.3.3) и (9.3.4) получают- ся следуаощие формулы для Лг„.и г„а: Лаа = АР (т) ~асах Ьс (г)/» а ср АР (ту» (9 3.6) Через Лг„ здесь обозначена продолжительность активного участка, а через 8,„— положение его середины.
Решение атой системы уравнений, имеющее физический смысл, должно удовлетворять условиям 378 задачи млнквгиговлния в тонких слоях и'л. зх с использованием которых условия существования режима с од ним активным участком (9.3.5) могут быть переписаны в вид — ))О, шах (9.3.7) Первое и последнее из неравенств (9.3.7) позволяют заключить, что режим управления с одним активным участком возможен лишь при положительных значениях ЕР(Т) и Кг(Т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
