Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 38
Текст из файла (страница 38)
что и р'пюе. Имеем (кпгсто (4.2.12) — (4.2.18) ) с учетол! (1 '-' 34) (4.1.44), (4.1.58), (4,2,7), (4.2.9), (4.2.11) в милой окрг"!и!5ст" О [шах(15, — 15, )1~! точки 1А е= [1„,,1110 выбнрж мой в !' и: 1ПГТ- ствшл с (4.1.40) пли (4.1.53), (з, О), ее(1)) (кс (1), е, (1„)): =: (е,11), е, (1„)) — ' О [шах(1А — 1' )'[ »И пгипл<ш<кнног <юстгокш<к 0<ггпмл,<ьнь!х и!<гел!г!<)с <ЗЗ - (з, (С»), е, (!»)) + (з! (<„), е, (<д)) (! — С„) + О (< — <„)» -'; + О [шах(<»' — <!, )!] - з, (<ь) + з! (<„) (< — <») + 0 [шел(<„— С„)',] =- з, (С») + з»(С<,) (С вЂ” <») + -)-0 [шах[<<! — Х! )<] -.: з,(<) + 0 [шах(<<» — <<, )'].
(4.2.55) рч, = — 1+ О [<пах(Е» — С„),] Ч! ен (Е<, <!), (4,2,56) на активном участке г (<) =. б (<) — р,(<) 1+ 0 [шах(<~~ — г» )<! У<~ [<<,„!»»<]. (4.2.57) Из (4.2.9), (4.2.55), (4.2.57) получаем па активном участке (см. (4.217), (4.2 18) ) з»(!) — 1+ 0 [<пах(<»" — й» )!], (4.2.58) (зз(<), е»(<)) = 1+ 0 [<пах(<д» вЂ” <» )!]. (4.2.59) Все остальныо рассуждения, результаты и оценки с очевидными изменениями переносятся па рассматриваемый случай. При этом мон<ет быть сформулировано правило пересчета, апалоп<чное правилу 77» Наряду с обратной задачей импульсной аппроксимации может быть поставлена п «прямая» задача о приближенном построении оптимальной импульсной траектории по известной оптимальной траектории с конечной тягой. Зта задача является предельной Для задачи 2,и па пее также с очовпдпымп изменениями распростравя<отся все полученные результаты.
Задачи оптимизации перелетов с конечной тягой содержат <естественный» малый параметр д, в качество которого можно и в / + Г -'- зять средню<с,~ (<ь — <ь )~дГплц максимальну<о птах(<!,' — !» ) <=.! длину активного участка, илп воличипу, обратную начальной тяговооружеппостк аппарата. Это позволяет искать рошепно задачи путем разложения его в ряд по степеням д.
Решением в нулевом пРиближении, или, что то же самое, при д — »О, является опти- Таким образом, для режима 2 во!оду на активном у нютке условие (1.2.34) выполняется с той х<е точностью, что и краевые условия длн фазовых координат. Для оптимального режима 1 с учетом оценок (2.2.98), (2.2.98) имеем: во<оду на траектории Оптимальные пегелнты с кОнечнОЙ тягои !90 ~гл „, мальный импульсный перелет.
Такой подход позволяет в прин инцн пе получить решение обратной задачи импульсной аппроксима ции, сколь угодно близкое к точному оптимальному рсшени, Относящиеся сюда вопросы с достаточной полнотой излон!ен, сны в монографии В. С. Новоселова [Ц . В основе разработанной те рии лежит метод Пуанкаре отыскания решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в виде ряда постеле ням малого параметра д (см. Коул [Ц, И. Г. Малкин [Ц). Спо мощью этого метода установлена связь между заданной степенью точности вычисления функционала и соответствующей степенью точности выполнения необходимых условий оптимальности. Об щая теория применяется для решения отдельных задач оптимиза ции перелетов, в частности между компланарпыми круговыми орбитами (см. раздел 3.2.4), между орбитами ИС двух планет (см, гл. ХП).
Рассматриваются также задачи оптимизации перелетов между орбитами с малым эксцентриситетом и малым взаимным наклонением (которые и принимаются в качестве малых параметров). Во всех случаях основное внимание уделяется аналнтпчсским аспектам решаемых задач: явному вычислению коэффициентов разложения решения в ряды по степеням д до членов порядка д' (включительно), качественному анализу влияния нз решение учета членов различното порядка,по д.
Приведенные решения показывают, что построение разложений с учетом членов порядка 1!з, нс говоря уже об учете членов более высокого порядка, связано с выполнением, как правило, громоздких и трудоемких выкладок. Аналогичный подход к решению обратной задачи импульсной аппроксимации развивается в работах Корнхаузсра, Лайона, Хззелрига [Ц, Хззелрига, Лайона [Ц, Эндраса [Ц, Энтони, Сазаки [2~.
Здесь в качестве малого параметра г! используется величина, обратная начальной тяговооруженности аппарата. В работах Корнхаузера, Лайона, Хэзелрига [Ц, Хэзелрига, Лайона [Ц основное внимание уделено получению соотношений, определя!ощих поправки к импульсному решению порядка д и дз. В работе Хэзеприга, Лайона [Ц рассматривается ограниченная (постоянная) тяговооруженность аппарата, а в работе Корнхаузера, Лайона, Хэзелрига [Ц вЂ” ограниченная (ностоянная) тяга.
Показано что в последнем случае надо использовать разложение решения" ряд по двум малым параметрам — д!, равному величине, обратной начальной тяговооруженности аппарата, и нм равному ве личине, обратной скорости истечения газов из сопла двигател". При )!!-э-О решение для конечной тяги стремится к импуль~ ному, а при дг-+ О решение для конечной тяги стремится к опт" мальному решению для случая ограничения тяговооружсннос ности аппарата. В каждой из этих работ приведены примеры расче~ четов оптимальных гелиоцентрических перелетов Земля — Марс дс- З з з~ пгивлпжкннов постгокшзв Оптпмлльных пега.п:тов щ — ~ = в,ез~' (Т = 1), (4.2.61) откуда для Й-го активного участка получаем (4.2.62) з Поскольку в соответствии с правилом Пз значения дь для траекторий с конечной и импульсной тягой одни и те же, соотноше"ия (4.2.62) и (4.1.40) позволяют приближенно найти длину, начало и конец Й-го активного участка.
В том случае, когда управлением является вектор тяговоору'кенности, с учетом (4.2.60) имеем Йч лс "' " г м монстрирующие эффективность и достаточную точность метода. В работе Энтони, Сазаки 12) получено решение задачи оптимизации плоского перелета с круговой орбиты ИС, обоспечивающего на бесконечности получение заданного вектора скорости Ч (см. раздел 10.1.1). Приведенное выше приближенное решение обратной задачи импульсной аппроксимации основано хотя и на близких, но в целом отличных от использованных в перечисленных работах соображениях. Характерной его особенностью является простота окончательного результата, сформулированного в виде правила пересчета. Вместе с тем, как показывает опыт его практическогопримеиения, оно приводит к,розультатам, хорошо согласующимся с точными оптимальными решениями соответствующих задач.
Примеры применения правила пересчета Пз для оптимизации перелетов с коночной тягой рассмотрены в з 6.4 для задач оптимизации перелетов в лннеаризованной постановке и в разделах 10.4.2, 10.4.3 для задач оптимизации перелетов в нелинейной постановке. В этих же разделах дана численная оценка точности правила пересчета Пь 4.2.2. Приближенное определение начальной или конечной точки активного участка. Если точка (начальная мли копчная), от которой начинается иптегрирование уравнений движения при приближенном построении оптимальной траектории в соответствии с правилом пересчета Пп задана, то достаточно определить лишь положение точек Гь, Гд Рассматривая безразмерные уравнения движения (см.
раздел 1.2.1), положим (4.2.60) гэмо Если управлением является вектор тяги, то на й-активном участке имеем 192 ОЯ1пмхлы1ын ЙБРБГ!Бты с конвчнои тяГОЙ !ГЛ 1г п для й-го активного участка !7! — Ч» = п„Л1». (4.2.64) Еслп начальная и (нлп) конечная точка выбираются оптималь но при старте с орбиты ИС и (илп) выходе па орбиту ИС и и„ чальпый н (пли) конечный моменты врс! ени не заданы, то „„ приближенном пострсолпп оптимальной траектории в соответст впп с прагплом Пг нужно найти пачальпу|о и (нлк) копсчпу|„ точку па Ор !птах ИС.
Рассмотрим для определенности старт с орбиты ИС в пиотс пов! Яох! Гр;. Я|таино|и!Ом поле. Вводе|! Пгпп!!!дрпчсску!о спс.!Гмг координат, плоскость Огср которой совпадает с плоскостью Орбиты !1С, углы !р отсчитываются в направлении движения по орбите, Обозначим через !1 = 0 п 1 покоить| соотвотствсп!ю па жла п копна ж;тйжюго участка, Л|1 = 1 — 1; — д.шпу зктивпого участка, 1! =(11 +1! )!2 — момент прн.!ожепня импульса (с!!. г просило П, пупкт 3 вместо с дополпспгсм). Пусть !р (.'; ) = — !г,, !р(1!) = !рп тогда углсвоо смсщевпс топ:и старта на орбвт ° 1Р' по отпоп!епщо и точке старта прп и зпульсвой тяге ганя;! б!р! = 1!" ! !!'! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
