Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 24
Текст из файла (страница 24)
При этом будед руководствоваться следующими соображениями. Во-первых, олре деленное для неоптимальной траектории решение солрнжонлой системы должно в случае оптимальной траектории переходить в соответствующее решение сопряженной системы для оптнчальной траектории. Во-вторых, решение сопряя1енной системы целе сообразно выбрать так, чтобы из 14 зависимых варпацпй бгь 67д, 61д и бгд+и бед+и 64.ы в концах й-го пассивного участка, входящих в вариацизо (2.3.8), исключить либо целиком векторы бг„, бг„зь либо векторы 6Чд, 6Ъ'д 1 ° Указанным двум требованиям мояано удовлетворить, если выбрать решение сопряженной системы (2.2.21), (2.2.22), реализующее в точках приложения импульсов на исходной Ж-1Ы1пульсной траектории условия (Лайон, Хэнделсмен 111) лу а(1д) =ад = —,д, й =1,2, ..., Дг, (2,3.36) исключив, таким образом, в (2.3.8) вариации бу~, й=1, ..., Х Определение (2.3.36) оставляет за вектором з, на неоптимальной траектории тот же смысл, что и на оптимальной траектории: вектор з„является единичным вектором импульса.
Задание векторов з„, ад~1 на концах й-й пассивной дуги )У-импульсной траектории полностью определяет решение сопряженной системы (2.2,21), (2.2.22). При этом (как и для оптимальной траектории) вектор з остается непрерывным (см. ниже). С учетом (2.3.36) пе репишем (2.3.8) в виде ба„, = 6ЛУ,— (зп 6У вЂ”,) — (р+, бг,) + и+61, + к — ! + Х (рд — рд, бгд) + (Пд — Пд ) 61д) + (зк, 6Уй) + +(р — „,6.„) — Нкбг„~-ббпр . (2 .
3,37) В рассматриваемом случае для вариации Ю по-прежпед У ет место соотношение (2.3.13), где 66» дается формулой (2 3 37)' эсй яа Подчеркнем еще раз что при отсутствии каких-либо свя' й ассивяог моменты времени и фазовые векторы в концах й-го пасс сь выюа~ участка вариации бгм бг„й = 1, 2, ..., Ж, как указывалось узглчшкняе неоптимальных пкгклетов 1а зал валяются свободными. Однако в общем случае в Формулах (2 3.13), (2.3.37) вариации Ьг„бг„й=1, 2, ..., У, могут удовлетворять некоторым связям. Вариации ЬЧ1 и ЬЧмлсвязаны с вариациями Иь ЬЛР1 н Ьгю ЬЛУ„, соответственно, условием принад„зжяости начальной и конечной точек траектории перелета некоторым заданным многообразиям.
Поэтому при анализе введения з исходную траекторию тех или иных вариаций необходимо учитывать згс возможные связи между ними. Рассмотрим несколько характерных задач оптимизации импульсных перелетов, считая для определенности гравитационное поле ньютоновским. 1'. Исходная траектория — двухимпульсная траектория перелета меягду двумя заданными ксплеровыми траекториями, начальный ц и конечный Гз моменты времени и, следовательно, г(Г1), Ч (й) и г(Гз), Ч+(Гз) заданы (Лайон, Хзнделсмен (1)). В этом случае, как зто видно нз (2.3.37), 66~=0 и согласно (2.3 13) (2.3.38) Вопрос о целесообразности перехода от двухимпульсной исходной траектории к трехимпульсной илн с большим числом импульсов решается точно так хсе, как и в общем случае, рассмотренном выше, в разделе 2.3.2.
То же выражение (2.3.38) для 66 получается при переходе ет У-импульсной траектории перелета между двумя кеплеровыми дугами к (У+1)-импульсной траектории, если заданы начальный й и конечный 1 моменты времени перелета, радиусы-векторы г, к моменты г, всех промежуточных импульсов. В этом случае также применим изложенный выше анализ вопроса о переходе от Ж-импульсной траектории к (У+1)-импульсной. В рассмотренном примере явно видна целесообразность выбора Решения сопряженной системы, удовлетворяющего условиям (2338).
Использование этого решения позволяет исключить из об1цего выражения 66„(2.3.8) вариации ЬЧ+, ЬЧ,, 1=1, 2,..., У, связанные с вариациями ЬЧ и ЬЧ+ в точке приложения дополнительного импульса. 2 Исходная траектория — У-импульсная траектория перелета вежду двумя заданными кеплеровыми дугами. Проанализируем зопРос о выборе момента г1 схода с исходной орбиты и момента г~ зы ~хода на конечную орбиту при условии, что радиусы-векторы г, з моменты приложения Г„промежуточных импульсов заданы.
В Рассматриваемом случае из (2.3.13), (2.3.37) получаем =- Ыл = — (з„ЬЧ, ) — (р7, Ьг,) + Л~~ Ьг, + (ал, ЬЧк~) + + (рл Ьгл) — Н» Ьгл. (2.3.39) 119 тси ппгнвв ш:оптпплльпых пггглатоз З.О1 яьсбирасс Мс, боя в соотиотстшш с правилом /ЙЯ зсппбсс =з(пп~ — ) 1 сСС )С,+О' / со) з16и 61 с = — ' з1оп с — ) (, сСс )сос — о' (2.3.51) (2.3.52) поясно умспьнсить функционал с". На рис. 2.3.5 показано два типичных примера для дзухимпульсной траектории перелета между заданными орбитами. В случае рис.
2.3.5, а ( ) ) О, бсс)0, т. е. для уменьшения функ(, лс )с,+о дионала целесообразно сход с начальной орбиты осуществить с, ~! а Ряс. 2.3.5. 05 позже; в случае рис. 2.3.5, б ~ — ) (О,бсо ( О, т. е. для умень- ~.с)п о шения функционала целесообразно произвести переход на конечную орбиту раньше. Если Сс ') ссс /с=с,+о =О и-о (2.3.53) то изменение Мс, 61сс в линейном приближении не затрагивает Функционал с": точка схода с начальной орбиты и точка выхода па конечную орбиту выбраны оптимально, и сдвиг их нецелесообРазен. Заметим, что соотношение (2.3,53), согласно (2.3.43) и (2 2.62), совпадает с условиями трансверсальности (2.2.126), (22.127), хотя рассматриваемая траектория неоптимальна.
3'. Исходная траектория — )У-импульсная траектория перелета между начальным и конечным многообразиями с заданными мо"ентаии г„й=1, 2, ..., ссс, и радиусами-векторами г„со=1, 2, ... с1с, приложепия импульсов. Проанализируем возможность Уменьшения функционала г' за счет малого изменения моментов о и Радиусов-векторов г„приложения только внутренних импуль- оптимлльнык иипульсныв пегвлвты !гл. и сов, без изменения количества импульсов (Минкофф, Лайоп ((1) Исходная и варьированная траектории удовлетворяют одпвп и к тем же краевым условиям, поэтому й, -.=бг, = бЧ, =- бГгг -бгл . буль 0 (о ' "') н из (2Л.37) получаем л — г 36 = ббл.--- ~', ( — (р»' — р,, бг„) -(- (Нл — Н» ) й»).
(2„'~,55) В рассматриваемом случае вариации й, и бг, можно считать независимыми, так как каждая кеплерова дуга, входящая в состав траектории, определяется заданием ее начальной и конечной то чек г»+бг„г„„1+бг»+~ и времени полета между ними г»+1+Я,ю — Г» — й,. Отметим, что использование решения сопряженной скстемы, удовлетворяющего условиям (2.3.36), позволило исключить из рассмотрения в вариации функционала 66 (2.3.8) зависимые вариации бЧ», й=2, ..., Лг — т, и представить 66 в виде (2.3.55) через независимые вариации й„, бг„.
На основании (2.3.55) имеем дС + — = Н» — Н» д㻠— = дгап6 = — 'гР» — Р» ). дС + дгл (г») (2.3.56) (2.3.57) Полагая з$яп й» = — з(бп (Нл — Нл ), бг 9Р» — Ру (2,3.58) (2.3.59) то моменты и радиусы-векторы приложения промежуточных х ия ия мопульсов выбраны оптимально, хотя сама исходная траектория жет и не быть локально оптимальной (например, вдоль трао аектории не выполнено условие (2.3,16) ).
при заданных )й») и )бг,) осуществим максимальное (в линейном приближении) уменьшение величины функционала 6. Заме тим, что, как и при выборе оптимального (У+1)-го импульса бп г в разделе 2.3.2, оптимальные величины ) й,) и (бг») в рамках ля неаризованного анализа не могут быть определены (66 монотонно уменьшается с ростом (йл~ и !бгл)). Если Нл+ = Нл )г = 2 3 " У 1 (2.3.60) (2.. ,З.бг) 11.и »л» ппкиик пкоптнплльных пггклвтов Ясли исходная»»'-н»»кульспая траектория локально оптимальа то условия (2.3.60), (2.3.61) на пей выполнены, поскольку зти 1словия содержатся среди необходимых условии оптимальности 1(си. разделы 2.2.1, 2.2.2).
Изложенные вьппо соображения могут быть положены з осноу построения алгоритмов улучшения неоптимальных траекторий з численного решения на ЭЦВМ задач оптимизации импульсных раекторий с использованном решений сопряженной системы (Яжевскн [1], Мипкофф, Лайон [1)). Для поиска оптимальной )уимпульспой траектории при»у = 1»л можно использовать градиентные методы пахоягдепия экстремума (см. Б. П. Демидович, и, А. Марок [11, С. И. Зуховицкий, Л. И. Авдеева [1), К»онци, Кролле [1), Ланс [Ц, Р. Ли [1), Н. Н. Моисеев [Ц, Моррей [1), розен [11, Томпкипс [11, Уайльд [1), Хедли [11). Рассмотрим для определенности задачу оптимизации )у-импульсной траектории перелета между заданными начальной и конечной орбитами. Поскольку таъая траектория полностью определяется заданием начального Г~ и конечного»», моментов времени, моментов времени з радиусов-векторов приложения промежуточных импульсов г„г», )»=2, 3, ..., »»' — 1, характеристическую скорость С такого перелетаможно записать в виде С=С(гп ~», г„г„), я=2, 3,..., У вЂ” 1, (2.3,62) Все переменные в (2.3.62) независимы, поэтому ГдС ды дп дн З вЂ” — й = — 2,3, ..., Х вЂ” 1...
(2.3.63) Зогласпо (2.3.49), (2.3.56) и (2.3.57) 1ааС=~ )АУ,)(,'),И+ И „— , - (». — р» ), — ) АУ„-) ~ ~— „,),„,), й = 2, 3, ...,.у — 1. (2.3.64) Знали яие величины огай С позволяет с помощью известных методов зайти точку ш(п С в пространстве (4)»' — 6) -мерных векторов (». »м»ю»л) А г», г„, ~„).
За аметим, что такая оптимизация может быть проведена непоРедственно в фазовом пРостРанстве (Гп Гм г„» ), без вычислеза решений сопряженной системы. Однако непосредственное выасле ение производных функционала (2.3.62) требует фактическоа я~строения варьированной )т'-импульспой траектории. Чтобы Редел д~лать соответствующие вычисления, необходимо для каждой епае Розой дуги, входящей в состав варьированной )у-импульсной оптямлльпыв пипул~ спыв пкгвлкты ~гл и траектории, решать задачу Ламберта определения трискторцп и ап парата по двум заданным его положениям и времспк порез (см. Бзттин 12], П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
