Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Дуги (2.2.177) являются в рассматриваемом поле аналогамз гипербол в ньютоновском поле, а дуги (2.2.178) — аналогами парабол. Однако в данном случае не удается установить соотноше. ния (2.2.150), справедливого для ньютоновского поля. ПоэтомУ для «точного» поля из полученных выше результатов, примеввтельпо к особенностям приложения оптимального импульса в бес конечно удаленной точке, остается в силе лишь установлеияь'в для параболической дуги результат, связанный с приложением яс„ чеэающе малого импульса на пассивной дуге, характерпзуемо' условием (2.2.178) .
Все полученные в настоящем разделе результаты основавя па соотношениях (2.2.138), (2.2.139), которые, в свою очеред»' следуют из ограниченности функции г(1) при»-«- о, г- о» (СМ. (2.2.136) ) для любой фазовой траектории, удовлетворяющей " ", сз~ нечных точках условиям строгой локалыюй оптимальности взять любую, не удовлетворяющую, вообще говоря, условиям тимальности траекторию импульсного перелета (см.
з 2.3) Я "Р положить для нее ограниченность функции з(г) при 39). г — ». Со, то для нее также получим соотношения (2.2.138), (2 .2.1 гст УЛУЧШЕНИЕ НЕОПТНЫЛЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ з еи й 2.3. Применение сопряженной системы для улучшения неоптимальных перелетов 23.1.
Вариация функционала при переходе от )Ч-импульсной ()у+1)-импульсной траектории. Рассмотрим функционал (2,2 12) — характеристическую скорость — для Ж-импульсной, вообще говоря, неоптимальной траектории в произвольном достаточно гладком гравитационном поле (см, раздел 2.2.1): о= АУ,(г„Ч,, г,)+ ~ )Ч вЂ” Ч (ь+ АУе(гк,'Ч~~, ге). (2.3,1) ь=! Ранее (см. раздел 2.2.1) вариация Ы рассматривалась при фиксированном число импульсов Х Предположим теперь, что вместе с )Ч-импульсной траекторией рассматривается близкая к ней возмущенная ()г'+1)-импульсная траектория, полученная лгг блм Р7!7 ч Ъ 1 Рвс. 2.3.Е вз исходной Ч-импульсной траектории приложением малого пмлульса в момент г=(г„с~~1) в точке г(г) =г(г) +бг, (2.3.
2) гДВ г(Г) у — радиус-вектор КА на исходной Х-импульсной траекто«ве, бг — вариация радиуса-вектора аппарата, 6АЧ .= Ч(г)е —,' бЧ+ — Ч (г)я — 6Ч = 6Ч~ — 6Ч, (2.3.3) Де 6Ч- и 6Ч' — вариации вектора скорости Ч(г) КА на исходной импульсной траектории при переходе к ()Ч+1)-импульсной тра- еторни слева и справа соответственно (рис. 2.3.1). Так как для 108 ОПТИМАЛЬНЫЕ ПД1ПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ ~ГЛ 1 любого импульса ЛУ 1ЛУ~ =~)У" — У- )=~/(УР— У вЂ”.У+ — Г).
(2.3 4) для его вариации имеем / ау 6! х7 — У ! = ~) ~Ау р 6У вЂ” 6У ). (2.3 5) где ,(Ау, + (,1 ау,р К вЂ” 1( АЧ +, и~и (( д ' ~~™+ ьм, ~~(ач ~ — 6Ч~ ) — (р„бг,) — (з1, 6Ч~ ) + е„, 6Уд ' — ' — ад —, 6Уд ~)— ~~ ау„~ АУ,, — и.— ) и.) —, (, амид — ьи, ), (,1АУЕ! — (р "' — рд, 61 ) + (Я + (рч, бгп) + (зк 6Ум) — Нл бгк+ ббуя, (2.3 ) Вариация 6Си соответствует исходной 1у-пмпульсно11 траекто рии при фиксированном числе пмпульсов и по своей форме с совпадает с вариацией (2.2.34). Заметим (см. раздел 2.1.1.), что система вариаций врсмепп .
й-го фа:зового вектоРа 61д, бг„бед и 6Ед.ь1, бгд.ь1, бед.и в конЦах С учетом (2.3.3) и (2.3.5) запишем вариацию С в виде ! пуд %=ЙИЩЕ,~ Х( — ",ЙЮà — ЬИ,)-16ИИ ~-~6И вЂ” БИ-~ (2.3.6) Вслп в (2.3.6) отбросить последний член, то 6С совпадет с рас.. смотрснной ранее в разделе 2.2.1 вариацией 6С для )и'-и 1пульспой траектории. Для приведения 6С к удобному виду воспользуемся сопрллиепной системой (2.2.21), (2.2.22), которая определяется только системой уравнений (2.2 19), (2.2.20) и пс зависит от того, является ли рассматриваемая фазовая траектория оптимальной или нет.
Вариации (2.3.2), (2.3.3) прикладываются во внутренней точке пассивпой дуги и представляют собой «вариации в точке» (см. соотношения (2.2.26), (2.2.27)). Поэтому для них вместо соотношений (2.2.28) Имеем соотношения вида (2.2.74), (2,2.75). Учитывая связи (2.2.28), (2.2.74), (2.2.75) на участках траектории между л1обыми двумя последовательными импульсами (11'+1)-ид1пульспой траектории, перепишем (2.3.6) в виде, аналогичном (2.2.76): 6С=бСи+~6УР— 67 ~ — (з', 67 )+(з-, 67-) — (р' — р-, бг), (2.3.7) УЛУЧШЕНИЕ НЕОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ 1О (2.3.9) р+ (г) = р- (г), + (г) = — з — (г), Нь(с) =Н Я (2.3.10) Ъ'С «:".= (Сд, ГА У.«). (2.3.11) О учетом (2.3.10) запишем !6У+ — 6У ) — (з(1),6У вЂ” 6Ч ) =(66Ч)(1 — (з(«), ~ . )].
(2.3.12) -'«одставляя (2.3.9) и (2.3.12) в (2.3.7), получаем окончательно 66 =-ббм+ /6«АЧ/ ~1 — (е(Е), ) —,()~. (2 313) 4ассивпого участка, расположенного между й-м и (й+1)-м имзульсами, пе может быть независимой даже при отсутствии казах-либо дополнительных связей па величины гм гз,Чи «А+и гА+и В самом деле, задавая й„бг„и И,~«, бг,т«, можно опредезять пассивную варьированную траекторию между й-м и (й+1)-м еипульсами и, следовательно, 6Ч и 6УА««. Таким образом, из 14 скалярных вариаций йм бг„6ЧА, 6«д н бгА.РН 6Уа~ в общем случае независимы только 8. Это обстоятельство необходимо учитывать при выборе решения сопряженной системы: целесообразно выбирать решение сопряженной системы так, чтобы в правой части (2.3.8) оставались независимые вариации в концах ««-го пассивного участка (см.
раздел 2.3.3). Что касается вариаций 6««, бг«, рЧ«и 6«е, бгн, 6УЕ, то эти вариации необходимо вычислять сучемпринадлежностивекторов (««,г«, У~ ) и («е, ге, Уй)заданным чальпому и конечному многообразиям (см. пример 2' в раздев 2.3.3). Входящие в (2.3.7), (2.3.8) векторы сопряженных переменных и з представляют некоторое решение системы (2.2.21), (2.2.22) а исходной «У-импульсной траектории, которая, вообще говоря, е является оптимальной. Конкретный вид решения сопряженной истемы будем определять, задавая некоторые условия в начальой и конечной точках траектории и в точках приложения имульсов.
Выбором тех или иных условий в этих точках можно ридавать вариации 6С различные формы и получатьуазличпые еобходимые условия для выбора вариаций бг„бг,бУА, 6Ч-, бсм ри которых 66 ( О, т. е. обеспечивается уменьшение функцио«нала С. При указанном выборе условий для определения решения сопряженной системы (2.2.21), (2.2.22) векторы р, з и гамильтониан Н будут непрерывны па каждой кеплеровой дуге траектории Между двумя соседними импульсами.
В частности, оптимлльные язшульснык !!вг!'латы !Гл (2.3Л4) и вариация характеристической скорости (2.3.13) записывается в виде, идентичном (2.2.78): ба = ~ 6 ф — (. ( ), —,"„)~. (2.3Л5) Проведем, используя соотношение (2.3.15), анализ оптимальности количества импульсов Х Если на исходной д!-импульсной траектории а(Г)(1 УЮ~(г!, Сз) Ц(~з, ~з), Ц '''Ц(~в-!, Гл), (2.3.16) то она строго локально оптимальна (рис. 2.3,2, а) (см.
раздел 2.2.1, условие 7'). Этот же результат непосредственно следует и из (2.3.15): при условии (2.3.16) и любом импульсе 6ЬУ~О всегда Ы)0 (2.3Л7) и переход от исходной д!-импульсной траектории к любой близкой (д!+1)-импульсной может привести только к увеличению характеристической скорости перелета. Пусть теперь на некотором участке й! (рис. 2.3.2, б) (2.3,18) а(!) )1, ге-:М, и исходная д!-импульсная траектория заведомо неоптимальна. Тогда из (2.3.15) следует, что приложением (д!+1)-го импуль~~ Рассмотрим ряд тияичных задач оптимизации и укажез! д.
д:!а них способы выбора решений сопряженной системы. Подчорк!!е что приводимые виже результаты справедливы не только дл ' дла траекторий, все точки которых конечны, но, с очевидным~ нзм пениями,и для траекторий, проходящих через бесконечно удалел ную точку, если в последнем случае потребовать ограпичеппоств функции з(!) при г †~, ! — ~-со (см. замечание в конце разд~ ла 2.2.4).
2.3.2. Исходная !т'-импульсная траектория удовлетворяет пе. обходимым условиям оптимальности. Пусть исходная Д!-импу!!ьс пая траектория и сопряженная система удовлетворяют в началь. ной и конечной точках и в точках приложоаия импульсов необхо димым условиям оптизшльности 1' — 6' раздела 2.2.'1. Поскольку в этом случае в начальной и конечной точках выполнены условия трансверсальности (2.2.61) — (2.2.63), а в точках приложения импульсов выполнены условия непрерывности векторов р, а и гамильтопиана, то вектор а, совпадает с единичным вектором импульса (см. (2.2.44) — (2.2.47), (2.2.59), (2.2.60) ), на исходной д!-импульсной траектории выполняется условие ее стацпо- нарности УЛУЧШЕНИЕ НЕОПТИМАЛЬНЫХ ПГРЕЛЕТОВ любой точке на траектории, где з(г) )О, можно добиться, чтобы ЛО 66<0, (2.3.19) таким образом, улучшить функционал.
При заданной величине (66Ч( (гЧ+ 1)-го импульса шш66 1 ( гач| дзостигастся, очевидно, при следующих условиях: 1'. Точка приложения (гЧ+1)-го импульса Гаазу должна соответствовать точке шах) з~: 1~аау- шаха(Г). (2.3.20) 2'. В этой точке векторы 66Ч и з должны быть параллельны: 66Ч(г) ~~з(з). (2.3.21) При этом оптимальная величина ~бггЧ( в рамках линейного но функционалу анализа (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
