Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 18
Текст из файла (страница 18)
с помощью такого импульса характеристическую скорость перелета можно уменьшить. Итак, если на исходной 1Ч-импульсной траектории имеет место (2.2.80), то зта траектория заведомо пе является локально оптимальной, несмотря на выполнение на ней необходимых условий оптимальности 1' — 6'. Наконец, если в некоторой точке исходной траекторип, отличной от точки приложения импульса, достигается шах г(2) =1, (2.2.83) (ьял(2ьзз~ 1)) о прнкладыван в атой точке произвольный малый импульс 6ЛЧ, '(2.2.34), получим бг", = бб,. + ~бЧ~ — 6Ч ) — (з+(2), 6Ч+) + +(з (2), 6Ч-) — (р+(2) — р (2), бг), (2.2.76)' где 6Сз определяется выражением (2.2.34).
Поскольку исходная У-импульсная траектория удовлетворяет необходимым условиям оптимальности 1' — 8', то ббз = О, а векторы р(2), з(2) и гамильтониан Н(2) непрерывны всюду на траектории. В результате для вариации Ы из (2.2.76) получаем соотношение 6Ч ~ — (з(2) 6Ч' — 6Ч ), (2.2.77) которое с учетом (2.2.72) перепишем в виде ОПТ1ГМВЛЬНЪ|Е НЗ1ПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ Г:1. 1, получим на основании (2.2.78), (2.2.83) Ы>0, (2.2.84) причем знак равенства в (2.2.84) достигается только при выпол ненин условия ЬЛЩЗ(1).
(2.2.85)' Следовательно, если в некоторой точке траектории имеет место (2.2.83), то импульс скорости, удовлетворяющий условии> (2.2.85), не нарушает ее стационарностн (т. е. равенства 61" = О). Заметим, что условия (2.2.83), (2.2.85) аналогичны ус ловиям (2.2.46), (2.2.59), (2.2.60). Проведенные рассуждении обобщаются на случай варьирования исходной 1т'-импульсной траектории, если ввести любое фиксированное количество малых импульсов и применить неравенство (2.2.80) на нескольких участках траектории (подробнее см.
з 2.3). Поскольку на основании (2.2.46), (2.2.59), (2.2.60) в точках приложения импульсов г(Ц) =1, й=1, 2, ..., Л1, (2.2.86) и на основании (2.2.51) функция г(2) в точках приложения И) г с Я1'41 "Л,5~:; '-.'. 1п и д 1,', з(с„) лз .1 Уз 1з(св) Рис. 2.23. Рпс. 2.2.2. внутренних импульсов достигает зкстремума, с учетом неравенства (2.2.79) н соотношений (2.2.83) — (2.2.85) получаем следующее условие строгой локальной оптимальности импульсного перелета (рис.
2.2 1): 7'. Всюду на оптимальной импульсной траектории модуль вектора з(1) удовлетворяет неравенству а(1) = (з(г) ! с 1 уг е= 111, 1 ). (2.2.87) НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ 89 В моменты приложения импульсов Г„й = 1, 2,..., 1Ч, функция з(Г) достигает максимума; з (1,) = 1, й = 1, 2,..., 1Ч. (2.2.88) Всюду на пассивных дугах оптимальной траектории должно выполняться неравенство И вЂ” 1 з(~)(1 ЕГЬА 0 (Гю~ -»1). (2.2. 89) »=1 Условия (2.2.87) — (2.2.89) означают, что годограф вектора я(Г) = (г„(1), з„(1), з,(1) ) (рис. 2.2.2) представляет гладкую кривую (г(Г) э= С»(11, Е,1), заключенную внутри сферы единпчного радиуса.
В моменты приложения внутренних оптимальных импульсов годограф касается сферы. Если импульсы прикладываются в начальной и (или) конечной точках перелета, то годограф г(1) начинается и (нли) кончается на единичной сфере, вообще говоря, не касаясь сферы в точках подхода к ней (см. раздел 2.2.3). Отметим зодносторонпий» характер полученного критерия, позволяющего судить о неоптимальности исходной )Ч-импульсной траектории и целесообразности перехода к траектории с большим количеством импульсов. Эта особенность полученного критерия определяется существом дела.
Действительно, чтобы судить о целесообразности уменьшения количества импульсов на траектории, надо в одной из точек приложения импульса с помощью вариации вектора скорости справа и слева уменьшить величину этого импульса и оценить влияние этой вариации на функционал С. В результате придем к очевидному результату— любая вариация импульса, удовлетворяющего необходимому условию оптимальности, не может привести к уменьшению функционала 6. Следовательно, уменыпения функционала можно достичь, рассматривая вариации скорости аппарата только на пассивньгх участках, т. е.
сравнивая исходную траекторию с траекторией с большим количеством импульсов. Полученные условия 1' — 7' представляют полную совокупность необходимых условий строгой локальной оптимальности импульсных перелетов. Заметим, что условия 2' (2.2.44) . (2.2.43), 3 (2.2.48), б' (2.2.89), (2.2.89), 7' (2.2.87), (2.2.88), (2.2.89) идентичны соответствующим условиям Лоудена, полуЧенным для введенного им вектора и, и (см. раздел 2.1.2).
Проведенное выше рассмотрение относится к определенному выбору фазовых координат аппарата: радиус-вектор г и вектор скорости Ч заданы своими проекциями на оси некоторой инерциальяой прямоугольной декартовой системы координат. По"ажем теперь, что оно справедливо для широкого класса систем Координат, в которых вектор скорости аппарата в каждой точке оптпмлльныв пмпхльсныв пвгклкты ~гл ц траектории задается своими проекциями па три взаимно орт ц пальпых направления.
Тройка фазовых координат, определжо щпх радиус-вектор аппарата, может быть достаточно произво,п, на и должна удовлетворять обычным требованиям, накладызае мым на связи этих координат с декартовыми прямоугольными координатами (взаимная однозначность и непрерывная диффе репцпруемость, см. Л. Д. Кудрявцев [1), т.П). 11 такому классу систем координат относятся, в частности, цилиндрическая, сфе рнческая и естественная системы координат, т.
е. все основные системы координат, используемые в механике. Для указанного класса систем функционал (2.2.12) сохраняет свою структуру для внутренних импульсов он зависит лишьотпроекцнйразпости + векторовЧь — Чь и не содержит фазовыхкоординат,определяющях положение аппарата. Обозначим, как и ранее, векторы, сопря женные с г и Ч, через р и з. Основываясь на указанной специальной структуре функционала (2.2 12), можно аналогично тому, как это сделано выше, показать, что для векторов р и з и соответствующего гамильтониана Н сохраняются условия 2' (2.2.44), (2.2.15) и 4'а (2.2.47) непрерывности р, з и Н в точках приложения внутренних импульсов, геометрическая интерпретация вектора з в момент приложения импульса 3' (2.2.46), 5' (2.2.59), (2.2.60), соотношение (2.2.78) и следующие из него условия 7' (2.2.87)— (2.2.89) строгой локальной оптимальности импульсной траектопз ршь Если выбранная система координат такова, что вектор — „ остается непрерывным при переходе через импульс, то из (2.2.87), (2.2.88) следует, что в момент приложения внутренних импульсов выполняется условие 4'в (2.2.51).
Изложенная выше схема вывода необходимых условий оптимальности в основном соответствует использованной в работе С. В. Дубовского [1]. Приведенные выше условия 1' — 5' содержатся в этой работе. Дополнительно к полученным там результатам вьппе подробно рассмотрены условия трансверсальпостя в рамках ММСВ (условие 6') и дан корректный анализ поведения функции з(Г) на оптимальной импульсной траектории (условие .7'). 2.2.2. Вывод необходимых условий оптимальности из условий оптимальности переплетов с конечной тягой. Рассмотрим оптимальную траекторию КА для конечной тяги с )Ч активными участками.
Положим на )г-м активном участке в соответствии с (2 1.16), (2.1.17) 9 =1,2,...,Х, (2.2 90) т(~) М,' и получим соотношения, определяющие оптимальную траекто рию при шах А1,-+ О. «с нвовходппыв ь словпя оптимальности зггС Обозначим начальньш и конечньш моменты времени через С, н С,. Рассмотрим 1с-й активный участок )Сь, Сь]~ расположенный внутри промежутка [С,, С,], считая длительность активного участка (2.2.91) ЛС„= С, — Сь Малой величиной. На рис.
2.2.3, а показал один из возможных видов функции переключения (1.2.35) для траектории с двумя актпвнымя участками. Из условия 6(С„] =6[С;,) =9 (2.2.92) й из рассмотрения, проведенного в разделе 1.2.3, следует, что на активном участке оптимальной траектории д(С) ен С [Сь, Сь ] и д(С) = 6 [ЛСь] при С е= [Ср,, Сь ]. (2.2.93) Подставляя (2.2.90) и (2.2.93) в (1.2.38), получаем ЛР— ч =0(ЛСь) прп С е= [Сь, Сь ]. (2.2.94) Если 1-й п С)С-й активные участки примыкают к началу я концу траектории, то в общем случае 6(С) =0(ЛС,) для ген ~Сс=С,,С+], 6(С) = 0(ЛСгг) ДлЯ СЕ= [Ссг, Сг— = Сл] и соответственно зг дч — — — 0(1), С ~ [Сг, Сс~! [) [Ся, Сс]. (2.2.97) (2.2.95) (2,2.96) Рассмотрим предельньш переход прп гпах йС,-~ 0 в уразне(гиях (1.2.75). (1.2.76) и (1.2.38) для р, а и р,. Поскольку,какследуетиз (2.1.11), с -и ген се[с„сД, а правые часты урав- ,-'Г лений (1.2.75) и (1.2.76) при уело- ас, виях (2.2Л), которые предполагают- г) .ся выполненными, пе содержат никаких особенностей, связанных с предельным переходом, уравнения с, =д (1.2.75) и (1.2.76) сохраняют свой внд и в импульсном случае (см.
уело вне 1' в разделе 2.2.1). Из условий Вейерштрасса — Эрдмана (1.2.42), Рвс. 2.2.3 (1 2.43) и сказанного следует, что для импульсных перелетов р я С1[С„С,], з ен Сг[С„С,1 (см. отношеИва (1.2.68), (1.2.69) раздела 1.2.3). Из соотношений (2.2.94) н ОПТПЗ1АЛЬНЫЕ ПМПУЛЬСПЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ 92 ШЛ. 1, (2.2.97) с учетом (1.2.41) вытекает ОС вЂ” 1 р,= — 1+О(Л2,)+О(Л2 )+ ~' О(Лг,'-] о=2 откуда при Л~,— 0 р, -= — 1 У2 е (21, 2,]. (2.2.98) (2.2.99) имеем Н~с = Н(С~1+ 0) = [(Р У)+(в й(г Г)) ]с+ +о (2.2.105) Ни =-Н(ГП вЂ” 0) = [(р, У)+ (в й(г,г))11„— о. (22,106) С учетом (2.2.101) и (2.2Л05), (2.2.106) получаем Н(с) = (р, У) ]-(в, й(г,2)) Уг ~ (21,22], (2,2.107) причем па основании условия Вейерштрасса — Эрдмана (1.245) гамильтоннан Н(г) непрерывен всюду на траектории, в частности (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
