Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Лойцянский, А. И. Лурье 11) ), вводится фундаментальное понятие импульса скорости, Мгновенное приращение вектора скорости КА (2.1.12) на бесконечно малом активном участке с конечным расходом массы (2.1.15) при неограниченном возрастании силы тяги (2.1.17) назовем импульсным приращением вектора скорости ггА или импульсом скорости. При наличии импульсов скорости тягу и траекторию КА будем называть соответственно импульсной тягой и импульсной траекторией. Заметим, что, согласно (2.1.11), радиус-вектор аппарата при сообщении КА импульса скорости остается неизменныд' (непрерывным) .
Проведенные рассуждения, как нетрудно видеть, остаются в силе для любого аакона изменения конечной тяги Т(г) на ак 69 пмпульсныз пвгвлвты зги явном участке. Существенно лишь, чтобы при стремлении длиельности активного участка к нулю (см. (2.1.8)) расход массы ппарата оставался конечным (см.
(2.1.15) ) . При указанных слозиях понятие импульса скорости вводится для любых траекУорий КА Уравнения движения КА на импульсной траектории во всех ~очках, кроме точек приложения импульсов, совпадают с уравнениями задачи двух тел: (2.1.18) (2.1.19) 0тметим, что,как видно из (2.1.12), Адй = А~ й~ (2.1.20) поэтому при решении задач оптимизации перелетов в импульсной постановке характеристическая скорость непосредственно выражается через импульсы вектора скорости Ч, в результате чего переменная д исключается из рассмотрения (см. раздел 2.2.2). Поскольку при условиях (1.1.18), (1.2.49) величина гравитационного ускорения д(г, С) ограничена сверху: (я(г, Е))(зир!я(г, Е)!, (2.1.21) (гл) и в случае произвольного гравитационного поля (см. раздел 1.2,4) возможен предельный переход от конечной тяги к импульсной тяге, при атом все соотношения (2.1.11) — (2.1.17), (2.1.20) остаются в силе.
Уравнения движения КА на импульсной траектории во всех точках, кроме точек приложения импульсов тяги, записываются в виде уравнений свободного движения материальной точки в рассматриваемом гравитационном поле: т (2.1.22) ,~~ = й (г~ г). (2.1.23) Поскольку между двумя соседними импульсами движение КА происходит по кеплеровой дуге, то, используя интегралы уравнений движения (см. раздел 1.3.1) и задавая в качестве неизвестных моменты времени Г„, радиусы-векторы г, и векторы импульсов АЧ„можно свести краевуюзадачуопределенияоптимального перелета к задаче на исследование условного экстремума функции многих переменных.
При этом следует иметь в виду, что из 14 величин, опРеДелЯюЩих моменты вРемени Ц, 1;„ьРациУсы-векторы гь г, ~ и векторы скорости Ч; и Ч,~ ~ в концах 1-й кеплеровой ДУги перелета, независимымн являются только 8. В самом деле, оптпггальныв пзшгльсныв ьвгвлзты 70 'гс и задавая, например, ~„гь Гг«„г,+г пли Гь г„уг Гыг, можно одно зпачно определить кеплерову дугу перелета. Эти «естественные„ условия необходимо учитывать с прочими условиями, наложен. ными на траекторию перелета.
Указанный подход к решенна, краевых задач оптимизации импульсных перелетов, который ус ловно назовем экстремальным подходом, нашел весьма широкое применение в астродннамике (см. К. Б. Алексеев, Г. Г. Бебенпсс, В. А. Ярошевский [1), Бэттин [21, Гобец, Долл [1), Ц В. Со. ловьев, Е. В. Тарасов [11, Эрике [5, 7, 8~, Эскобал [2] н 1 3 3 гл. У вЂ” УП, $$ 10.2, 10.3, 11.5, 12.3, 12.4).
При экстремальном подходе условия экстремума в совокуп . г стп с краевыми условиями, как правило, получаются весь« а сложными н громоздкими, что требует для решения задачи пспользования ЭЦВМ. Особенно сложным экстремальный подхо, оказывается прн рассмотрении многоимпульсных перелетов, пэскольку включение каждого нового импульса добавляет в зада гу в общем случае 7 новых неизвестных.
Поэтому экстремальны подход в основном применялся и применнется в астродинамике для нахождения оптимальных траекторий прн заданных а рггогйг схемах перелета (т. е. количестве и местах приложения импульсе~в скорости) с небольшим числои игвпульсов. Если же схему импульсного перелета заранее не задавать, т г более удобным оказывается вариационный ггодход к решению задачи. Вариационный подход сводится к рассмотрению уравнений для фазовых координат (2.1.18), (2.119) совместно с сопряженной системой уравнений (см. Приложение).
С помощью сопрянсенной системы можно сформулировать необходимые условия строгой локальной оптимальности импульсного перелета. Вариацнонный подход обладает важными преимуществами перед экстремальным. Во-первых, оптимальная схема перелета определяется в процессе решения задачи, а не задается заранее. Во-вторых, полученное решение фазовой и сопряжеш|ой систем может быть использовано в качестве исходного приближения прп решении вариационной задачи с конечной тягой. В-третьих, сопряженная система может быть эффективно использована для улучшения неоптимальных импульсных перелетов (см.
з 2.3) . Сопряженная система уравнений в ньютоновском гравптацвонном поле пожег быть в общем виде проинтегрирована (см з 3.1). Поэтому решение краевой задачи может быть, вообще говоря, получено на основе исследования и решения системы конечных соотношений, состоящей из интегралов фазовой и со пряженной систем на каждой кеплеровой дуге и заданных уело вий на траекторию перелета.
Порядок этой систеиы за счет неизвестных постоянных в интегралах сопряженной системы на бт больше, чем порядок соответствующей экстремальной за 71 импульсные пвгелвты 1З П да чи, где т — количество кеплеровых дуг в составе траектории. Ооскольку в общем случае интегралы сопряженной системы мают весьма сложную структуру, решение задачи оптимизации „ожет быть получено лишь численно с использованием ЭЦВМ. Ори этом возникают типичные для численного решения вариаяионных задач трудности, основной из которых являетсянеобходимость получения исходного приближения для построения итерационного процесса.
Эти трудности могут быть в значительной Иере преодолены, если предварительно с помощью экстремального подхода получить решение поставленной задачи для некоторых «рациональных» схем перелета. После этого целесообразно использовать сопряженную систему для построения траектории, удовлетворяющей необходимым условиям оптимальности. Таким образом, наиболее целесообразным методом решения вариациониых задач оптимизации импульсных перелетов представляется сочетание экстремального и вариационного подходов.
Б заключение этого раздела остановимся на оценке ошибок, к которым приводит аппроксимация траекторий конечной тяги импульсными траекториями. В качестве меры этих ошибок обычно используются гравитационные потери в характеристической скорости, обусловленные конечной длительностью активных участков. Как следует из (2.1.4), (2.1.5) при условии (2.1.8) (см. з 4.2), решение краевой задачи оптимизации перелета в импульсной постановке в общем случае отличается от решения той же задачи с конечной тягой на величину порядка 2з Л1ю Если положения начального и конечного импульсов не задаются, а выбираются оптимально или эти импульсы отсутствуют и расход массы аппарата в каждом импульсе не очень велик (см.
раздел 4.2.1), то соответствующая ошибка на порядок меньше, чем в общем случае, и представляет величину порядка ~ (Агд)'. Таким оба=~ разом, если суммарная длительность активных участков доста~~чно мала, то импульсная траектория является достаточно хорошим приближением к траектории с конечной тягой. Ряд числен~ь~х и аналитических оценок (см., например, Дарби [1], Мекель [8] Петре [1], Уонг [1]) показывает, что при скоростях исте- чениЯ газов из сопла химических и ядерных ЖРД с ~ 10 000 м/сек осн оконное влияние на величину гравитационных потерь оказывает т начальное ускорение в долях гравитационного ускорения и А'( и величина приращения характеристической скорости Лд. При эе 9~~10000 и/сев и и ) 1 величина гравитационных потерь Ана е превышает нескольких процентов (Мекель [3], Петре [1]).
налитическая оценка ошибок, обусловленных рассмотрением 72 оптпмхльныв пз«пульсныз пегелвты ггл и участков активного движения как импульсных, дана в книге В. С. Новоселова [1). 2Л.2. Современное состояние теории. Обстоятельный обзор истории и современного состояния теории импульсных перелетов включающий более 300 работ по импульсным траекториям, опуб ликованных в основном до 1968 г., дан Гобецом и Долло»«,[1) В связи с этим кратко остановимся только па некоторых основных вопросах теории оптимальных импульсных перелетов н ра ботах, связанных с рассмотренными в настоящей монографии вопросами.
В подавляющем большинстве исследований, начиная с классической работы Гомана [11 (1925 г.), рассматриваются заданные схемы перелета: количество и места приложения импульсов задаются из некоторых априорных соображений. Исследуются в основном перелеты с одним или двумя импульсами. При этом оптимизация перелета сводится к оптимальному выбору некоторых свободных параметров, число которых невелико.
Многочисленные примеры работ такого рода, часть из которых рассмотрена в гл. У и Х, приведены в указанном выше обзоре. Следует заметить, что отдельные попытки установить строго оптимальность тех или иных перелетов, как правило, простейших, без использования вариационного подхода приводили к громоздким рассмотрениям (см., например, Биллик, Рот [1), где, по-видимому, впервые была показана оптимальность гомановского перелета).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
