Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Кра совский [1], С. В. Дубовский [2], Г. Е. Кузмак [2, 4], Марек [1 — 4], Санномия, Нисикава [1], Эдельбаум [3] ) . В работах Г. Е. Кузмака, А. 3. Брауде [1], Макинтайра, Крокко [1, 2] лпнеаризация вместе с принципом максимума применяется для анализа оптимальных перелетов с конечной тягой. Общая теория оптимальных линеаризованных импульсных перелетов рассмотрена в гл.
У1. Примеры решения различных задач оптимизации импульсных перелетов с помощью этой теории прпведены в гл. 1111. Как следует из сказанного в разделе 2.1 1 и как будет показано ниже, решение задачи об оптимальных перелетах в импульсной постановке проще, чем при конечной тяге (см.
зз 2.2, 2.3, 3.3). В связи с близостью соответствующих траекторий с конечной и импульсной тягой возникает вопрос об использовании информации, доставляемой известным импульсным решением, для приближенного построения оптимальной траектории с конечной тягой. Такую задачу естественно назвать обратной задачей импульсной аппроксимации. В работе Пайпса [1] впервые, по-видимому, предложено при решении вариационных задач сопряженные переменные импульсного решения использовать для приближенного построения сопряженных переменных при конечной тяге. Впервые обратная задача рассмотрена, по-видимому, в работах Хэнделсмена [1] и Роббинса [1]. В работе Хэнделсмена [1] на примере расчетов ряда оптимальных траекторий перелетов Земля — Марс и Марс — Земля показано, что импульсные сопряженные переменные можно использовать в качестве начального приближения при численном решении задач оптимизации перелетов не только при большой, но и малой тяге.
В работе Роббинса [1] с помощью формулы Блисса (см. Блисс [1], формулы (П.22) я (П.50) Приложения) дано аналитическое сравнение траекторий с конечной и импульсной тягой. Изложен метод построения траектории конечной тяги при незаданной продолжительности перелета, близкой к оптимальной импульсной траектории. Постановка обратной задачи и ее полное решение для случая движения в малой окрестности круговой орбиты (при незаданной продолжительности перелета) даны Г. Е. Кузмаком, А. 3.
Брауде [1]. Этн результаты рассмотрены в гл. 11П. Обратная задача импульснои аппроксимации в нелинейной постановке подробно рассмотрена в гл. Ж. 77 неовходпмые услОВия оптимальности з ХЗ1 Е 2.2. Необходимые условия оптимальности и аналогичное ограничение в произвольном поле с заменой левой части неравенства (2.2.1) на неравенства (1.1Л8). Вектор фазовых координат КА (г, у') =(х, у, з, г'„, г'„, )г,), (2.2.2) согласно (2.1.11), (2.1.12), на импульсной траектории состоит из кусочно-непрерывного вектора )Х= ()„, Рп Р.,) (2.2.3) и непрерывного вектора г=(х,у,г).
(2.2.4) Рассмотрим )1'-импульснуго траекторию КА на некотором замкнутом промежутке времени 1~а: (71, Гь.), (2.2.5) где каждая из величин 11, г„может задаваться илп быть ной. В начальный момент времени аппарат находится па ром гладком многообразии М11 (гп г„р1) М,. В конечный момент времени аппарат должен выйти на Рое гладкое многообразие М,: (Г~, г, РЫ ~ 11ХЯ. В (226) свобод- некото- (2.2.6) некото- (2.2.7) у,— = р(г,— 0) (2.2.8) есть скорость КА до первого импульса, действием которого КА переводится с начального многообразия М1 на траекторию перелета. Аналогично, в (2.2.7) Ул =- У (гм+ (2.2.9) представляет собой сокорость КА после последнего У-го импульса переводящего КА па конечное многообразие М„-.
2.2Л. Прямой вывод необходимых условий оптимальности. Необходимые условия оптимальности как в ньютоновском, так и в произвольном гравитационном поле выводятся практически одинаково и имеют один н тот же вид. Движение рассматриваемой динамической системы — КА — на участках между импульсами описывается системой уравнений (2.1.22), (2.1.23).
В соответствии со сказанным в разделах 1.1.2, 1.2.3 наложим иа радиус-вектор аппарата в ньютоновском гравитационном поле ограничение 0(г„„„(г< г„„,. ( Оо (2.2.1) 78 ОПТИЗ1ЛЛЬНЫЕ П31ПУЛЬСНЫБ ПЕРЕЛЕТЫ ~гл и В некоторые, вообще говоря, неизвестные моменты времени 1ь, й = '1, 2, ..., 1Ч, скорость КА получает импульсное прираще ние (2.1.12): АУь = Уь~ — Чь,, й = 1,2,, ьУ. (22.10) Модуль вектора импульса (2.2.10) АУь= ~ Уз — У~ ~ = Гь (Ч т Уь,, Уь — Ч,; ) (2.2.11) на основании (2.1.20) совпадает с приращением характеристической скорости Адь в импульсе.
В случае импульсной траектории с учетом (2.1.11), (2Л.12), (2Л.20), (2.2.11) характеристическую скорость перелета — функппонал (1.2.26) можно записать в виде 6 = ЬР1(Г„У„Ч1 ) + Уь ~ Уь~ — Ч„~ + А$'1т(ГЕ, гь У~я) (2 2.12) Ьь=ь где члены А)'1(ьь, гь, Уь ) и Аь'л(ьн,ггь,Чьь) аналогичны членам А)гь (дь гь Ч,) и ьь'г"1(ь'„г„У1) в (1.2.26) соответственно и учитывают в рамках ММСВ характеристическую скорость (1.2.24), (1.2.25) внутрисферных импульсных маневров в начальной и конечной точках. Вариационную задачу оптимизации импульсного перелета сформулируем в форме, аналогичной задаче Майера: требуется так подобрать количество импульсов ьЧ, моменты их приложения 1ь, А=1, 2, ..., 1У, и векторы скорости У~, Чь, й= = 1, 2, ..., 1Ч, определяющие величины импульсов, при которых КА переводится с заданного начального многообразия Мь (2.2.6) на заданное конечное многообразие М (2.2.7), чтобы характеристической скорости — функционалу С (2.2Л2) доставлялся минимум.
Для вывода необходимых условий оптимальности )У-лыпульсного перелета воспользуемся методом вариаций. Для вариации величины импульса скорости 6А 'г'ь на основании (2.2Л1) имеем ььь, ь~ьь — ь, )=1 ', ьь, — ьь,ь). Ьь.ьль) з — д = ~ау ~ ь— С учетом (2.2.13) запишем вариацию 66 функционала (2.2.12): 66 = — 'Вь — '- ='бг,+ — '6У1 + гд —, 6Чь — 6У1, !+ д 6~ + д бгр'+," 6Ув. (2.2.14) дчл 79 (2.2.15) 1=1, бг. = 6габ ЛЧ,, (г~,' вариации бг„, ЬЧА — полные вариации в концах соответствующего пассивного участка, так называемые «вариации точки» (Ц, А. Троицкий [1]). Найдем связи между вариациями [бгд, ЬЧ»') = ]бг(ГА), ЬЧ(Г»+О)) (2.2.17) в концах й-й кеплеровой дуги при фиксированных значенпЪх 1», г,+ь Для этого воспользуемся основным свойством однородной системы уравнений в вариациях и сопряженной к ней системы (см.
соотношения (П.23) Приложения). Систома уравнений в вариациях для системы уравнений '(2.1.22), (2 1.23) записывается в виде дб;= ЬЧ, (2.2 19) лбу (дд «) дг '( дг (2.2.20) Для ньютоновского поля последнее соотношение имеет вид — „= — —, +(г, Ьг) —,. ЫЬЧ Ьг Зг (2.2.20а) Обозначим, как н в з 1.2, векторы сопряженных к г и Ч пеРеменных через р и з соответственно. Тогда сопряженная к (2.2.19), (2.2.20) система уравнений (см. соотношение (П.18) Приложения) запишется в виде (1.2.75), (1.2.76): и (г, г)) дг ~ ' дг р дг (2.2.22) Для ньютоновского поля уравнение (2.2.21) таково: др з Зг — = — — (з, г) —,. иг г» ' г» (2.2.21а) Сопряженная система по виду совпадает с аналогпчной системой для конечной тяги.
Это обстоятельство имеет важное 3десь дну,. дг. дау. дЧГ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ у =1, 1 = —: 7 = )Ч,1 =-+, (2.2.16) (бг»+м ЬЧАЬ») = [Ьг(ГА, ~), ЬЧ(ГА+,— О)) (2 2.18) Оптимальные ио|пульсные пегелетъ| 80 ~гл „ где р — (|д) = 1пп р(|), | 1д — о я — (|д) = 11ш я(|).
р+ (|д) =- 11ш р (|), ~- |»+о я+(|д) = 1(ш я(г), о- |о+о (2.2.24) (2.2.25) |- гд — о Вариации бг' (|д), 6У*(|д) при |д = сопят в (2.2.23) связаны с полными «вариациями точки» бгд (бган» = — бгд ), 6Уд" в функционале (2.2.14) соотношениями бгд* = — бг — '(|д) + У (|д) бод, (2.2.26) 6»7 ;†, = Л| (|д) + я (гд, гд) 6| . (2.2.27) Подставляя (2.2,26), (2.2.27) в (2.2.23), получим окончательно связь между полными вариациями фазового вектора в концах кеплеровой дуги: (р+(од), бгд)+ (я+(|д), бед) — Н' (|д) Ыд = = (р (1д+ )., бгд ю) + (я (4+|), бум+~) — Н (|д, |) 6|»ею 1« = 1, 2, ..., У вЂ” 1 (2,2.28) Здесь (2.2,29) Н (о) = (р, У) + (я, я (г, 1)) — функция Гадшльтона системы уравнений (2.1.22), (2.1.23) и Н='Пд) (р (|д), У|(гд))+(я (од), я(гд,гд)), )о =1,2,,Л.
(2.2.30) практическое значение, поскольку различие между решениям„ этих систем оказывается того же порядка, что и различие между соответствующими фазовыми траекториями при импульсной конечной тяге. Следовательно, при импульсной аппроксимации близость фазовой траектории к соответствующей траектории с конечной тягой обеспечивает близость соответствующих реже ний сопряженных систем. Поэтому при построении итеративных алгоритмов решения вариационных задач оптимизации перелетов с конечной тягой решение задачи в импульсной постановке является хорошим исходным приближением не только по фазовым, но и по сопряженным переменным (подробнее см.
разделы 3.3.2, 10.4.3). Па основании свойства сопряженных систем (соотношение (П.23) Приложения) имеем (р (|д), бг+(|д)) + (я~(гд), 6~|~(гд)) = = (р (гд |), бг (»д |))+(я — (|д,,), 6У (го+1)),й = 1,2, ..., Л| — 1, (2.2.23) нвовходиыыв условия оптимальности з 2.21 Необходимое условие оптимальности импульсной траектории сводится к условию стационарности функционала 66=0 (2.2.31) относительно системы из 10% (скалярных) вариаций (Ыю бгю бра, 6Уь'), й =1,2,...,Х. (2,2,32) ,лу, — (рь — р, бгз)+(Нь На ) йб) +бйрл+( — бул — бул ) + ( ~аул~' + (Рл, бгл) + (зл, бт7уу) — Нл 6Сд, (2.2.34) где 6М", =- — ' бг„+ — ' бг, + — ' б г',, дху, дау, „дм', дагк, датл даун 6ЛЪ'л -= Вл -'г ' бгл+ — бул (2 2 36) дз ~ дг, ду-~- — полные варлации членов 6$ ~(Гь гь т~ ) и Ьгм(ул, гл ул) в начальной и конечной точках соответственно (см.
(2.2.14)— ,(2.2.Ы) ), р„*===рр,—,0), зз =з(г„+О), Нь = — Н(~а+О), (2.2.37) (2.2.38) (2.2.39) А. илыш, Г. в. кузззв Система вариаций (2.2.32) несвободна. На вариации 6Гю бую бу,+,, бзь.~.„бгьь,, бр...ь, (2.2.33) в концах пассивной дуги между й-м и (й + 1) -м импульсами наложено 6 связей (2.2.19), (2.2.20). Таким образом, из каждых 14 скалярных величин (2.2.33) в общем случае независимы только 8. Кроме того, на вариации бть бги 6У~ и Мл, бгл, басф наложены связи, обусловленные принадлежностью векторов (Гь гь У~ ) и (гл, гл, уф начальному М1 (2.2.8) и конечному М, (2.2.7) многообразиям соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
