Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Функция г(г) и функция переключения д (2.2.109) в начальной и (или) конечной точке ве дут себя аналогично поведению этих функций в точках внутрен них импульсов (рис. 2.2.4). Условия трансверсальности НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ 2 2.2] (р, бр) ),, + (в, бр)~,. = О. (2.2.130) Сравнивая (2.2.130) с гамильтонианом (1.2.27) для оптимального перелета в начальной точке Н(Г;) =- ~(Р, Р) — (в, Р ) + ии — 01,, (2.2 131) с учетом (2.2.123), (2.2.124) и условия (1.2.47) получим Н(22) = и — 0(2;) = О.
(2.2.132) Аналогичный результат получается н в конечной точке при оптимальном выходе на орбиту ИС. Поскольку величина тяги Т связана с функцией переключения соотношениями (1.2.36), из (2.2.132) следует, что при оптимальном старте с орбиты ИС или выходе на орбиту ИС функция переключения (1.2.35) удовлетворяет неравенствам (2.2.133) (2.2.134) 0(са) <<~ О, 0(2) < О, Таким образом, если начальный 2, или конечный 0 моменты времени не заданы, а выбираются оптимально, то движение КА начинается или кончается пассивным участком либо оптимальные Рис. 2.2.6. зкачепия Г„ 0 являются нулями функции переключения 0 (Рис. 2.2,6) . Прн этом остается в силе данная выше геометРкческая интерпретация структуры оптимальной траектории чРЕ условии (2.2 128). В А. Ильин, Г. Е.
Куала» него имеет место соотношение ( 2. 2. 5 1 ) . Поскольку все построеБие справедливо для УГсн) 0», в пределе прн Ген — «21» с учетом непрерывности а(г) и р(2) получаем (2.2.126). Проведенный выше анализ справедлив и в случае оптимальных перелетов с конечной тягой. Прн старте из оптимальной точки орбиты ИС, аналогично (2.2.121), имеем условие трансверсальности (см. (1.2.40) ), откуда для функционала 6 = да зв оптимлльныж импульсньге пегелвты ~гл и Основываясь па данной выше геометрической интерпретаци структуры оптимальной траектории при оптимальном выборе па чальной и (или) конечной точек на орбитах ИС при незадапнои продолжительности перелета, назовем полученный результат принципом онаймления.
Для отдельных задач плоских импульсных перелетов соот ношения (2,2.126), (2.2.127) получены С. В. Дубовским [1] Данная выше геометрическая интерпретация позволяет ут верждать, что принцип окаймления в более широком поннма нии справедлив для определенного класса задач оптимизации траекторий динамических систем.
Рассмотрим динамическузо си стему, которую надо перевести с некоторого начального мпогообразия на некоторое конечное многообразие при незаданном времени перехода, доставляя экстремум некоторому функционалу. Начальная и конечная точки выбиразотся оптимально. Пусть начальпое и (или) копечпое многообразия представляют траектории пассивного двизкепия системы, а рассматриваемая система такова, что опа может двигаться по этим многообразиям неограниченно долго без затраты ресурсов управления.
В этом случае справедлива данная выше геометрическая интерпретация принципа окаймлелия. В результате для систем с непрерывными фазовыми коордипатамн структура оптимальной траектории и решения сопряженной системы в крайних точках траектории оказываются аналогичными структуре оптимальной траектории и решению сопряженной системы в начале и конце внутреннего «активного» участка, а для систем с разрывными фазовыми координатами — в точке внутреннего скачка фазовых координат. В частности, для сиетем, линейных по управлению, свойства функции переключепия в концах внутренних активных участков и выбираемых оптимально начальной и конечной точках траектории долинины быть одинаковыми. На практике припцип окаймления может быть эффективно использован при записи и анализе условий оптимальности, в частности условий трансверсальности, для указанного выше класса аадач оптимизации траекторий динамических систем.
Пристыко" вывание начального и (или) конечного пассивных участков к траектории с оптимально выбираемыми начальной и (или) конечной точками может быть использовано при численном решении задачи оптимизации с помощью градиентных методов для свела ния задачи со свободными концами к задаче с фиксированными концами (О'Мэхони, Беннет, Зскридж 111).
2.2.4. 'Граектории, проходящие через бесконечно удалениу'о точку. Рассмотрим случай, когда оптимальная траектория в нью топовском гравитационном поле проходит через бесконечно Уда ленную точну. Поскольку все полученные ниже результаты спр и аведливы для любой параболической или гиперболической ду гя 99 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ 2 2.21 дян из концов которой находится в бесконечности, будем, без ограничения общности, считать, что на траектории имеется лишь сдяа бесконечно удаленная точка, т. е. траектория перелета начиается или кончается в бесконечности.
Будем для определенности ~слагать, что аппарат удаляется от центра тяготения в бесконечость, т. е. что одновременно '(2.2.135)' Обращая движение по траектории, можно перенести все полученБые ниже результаты и на случай начала движения аппарата иа бесконечно удаленной точки. Из (2.2.135) следует, что оптимальные поролеты, проходящие через бесконечно удаленную точку, яогут, очевидно, возникать только в задачах оптимизации с незаданной продолжительностью перелета. Поскольку для фазовых координат на неплеровой дуге условие (2.2.135) не приводит к каним-либо особенностям (см. разделы 1.1.1, 1.'1.2), рассмотрим особенности, возникающие при этом в решении сопряженной системы уравнений (2.2.21а), (2.2.22).
Предположим, что соответствующая фазовая траектория во всех конечных точках удовлетворяет условиям строгой локальной оптимальности (см. раздел 2.2.1). Для любой фазовой траектории, удовлетворяющей этому предположению, модуль сопряженного вектора з(2) должен быть ограничен при 2-~- со, г-» сс: г(2) = ~з(2) ~ ~ М( сс У2,=» Т, '(2.2136)' где Т вЂ” заданное положительное сколь угодно большое число, М вЂ” некоторая положительная постоянная.
В самом деле, если (2.2.136) не имеет места, то существует конечное значение 8зтавое, что (2.2.137) з(сз) ) 1, т е. рассматриваемая траектория не может, вопреки сделанному вредположению, быть строго локально оптимальной. Покангем, что из ограниченности з(2) при 2-» ос и уравнений (2.2.21а), (2.2.22) следует, что существуют 11ш р (2) = О, Пшв(2) = з .
(2.2.139) Ри условии (2.2.136) для достаточно больших г из (2.2.21а) слеДует: $ — Р ! = 0 ~ —,), г-+ со. (2.2.140) 3дес десь и далее символ 0(х ), сс ) О, означает, что соответетвуюЦая бесконечно малая величина стремится к нулю не медленнее, ОПТИМАЛЬНЫЕ НМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ ~гл „ чем х" при х-~ О. Поскольку при достаточно больших 1' для пара болической дуги Г = 0(гз12), е = 1, (2.2. (41 и для гиперболической дуги ) 2 = 0(г), е ) 1, (2.2. ~121) из (2.2.140) — (2.2.142) для достаточно больших 1 получаем 1 (") /1~ 9 2) для параболы, (1922) Н ~ р ~ ~ ~ ~~ ~ 9 1 2 ~ ~ ~~ ~ 0 ( — ) для шшерболы. 112) Интегрируя (2.2.21а) с учетом (2.2.143), имеем при достаточно больших 1 0 / — 1 для параболы, (1П2) р(2) = р„+ гтз 0 у) для гиперболы, (2.2.! 43) где р — некоторый постоянный вектор. Подставляя (2.2.144) в уравнение (2.2.22) и интегрируя по 2, получаем при достаточно больших 2 0 ( — ) для параболы, гтт ~1М2) (2.2.145) / $ 0 ( — ) для гиперболы, в(з) = з — р„г+ где з — некоторый постоянный вектор.
Но из (2.2.145) следует, что для ограниченности з(2) прн з -ь- оо, г -э оо должно быть р =О. (2,2,146) то функция з(1) при Г-+- со стремится к з„— '— 1, оставаясь мень ше 1. В этом случае для достаточно больших г ) Т з = шах г(2), (1>т) На основании (2.2.144) — (2.2.146) получаем (2.2.138), (2.2.139). Поскольку во всех конечных точках рассматриваемои фазовой траектории выполняется условие (2.2.87), вектор з„удовлетворя ет условию )з„) =г <1. (2,2,147) Если з =1, (2.2Л48) 1О2 НКОВХОДИМЫК УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ 2 2.Я гд де Т вЂ” некоторое заданное достаточно большое положительное число такое, что на промежутке (Т, со) нет импульсов. Более точно предельная величина з (для ньютоновского гра.
витационного поля) будет указана в разделе 3.2.3. В частности, ам будет показано (см. соотношение (3.2.60) ), что для параболической дуги всегда з =О. (2.2 150) (2.2 151) на последней кеплеровой дуге, уходящей в бесконечность, всегда, в отличие от (1.2.68), (1.2.69), р (2) ен Сз(2У, ), З(2) Е=СЗ(гл, со), где 2„— момент прилоягения импульса в находящейся на конечном расстоянии точке этой кеплеровой дуги.
Перейдем теперь к обобщению на рассматриваемый класс траекторий необходимых условий оптимальности импульсного перелета. Из (2.2.138), (2.2.139) и существования предельных значений фазовых переменных при г-~- оо на основании (2.2.29) получаем, что Н =1паН= 11ш)(р, Ч) — (з, — 21~ =О, т ~~ ь (2.2 154) к из условия непрерывности гамильтониана всюду на траектории, включая и точку г = оо, получаем всюду на траектории Н = 0 (см. (2,2,70)), Допустим теперь, что рассматривается фазовая траектория, во всех конечных точках которой выполняются условия строгой ло"альной оптимальности и, следовательно, имеют место соотношелил (2.2.138), (2.2,139) и в бесконечно удаленной точке которой приложен импульс ЬЧ„.
Проведенныи анализ поведения решения сопряженной систе- мы при г-+. СО, 2-+. Со позволяет обобщить все полученные ранее в разделе 1.2.3 и в предыдущих разделах гл. 11 результаты на слу- чай импульсных траекторий, проходящих через бесконечно уда- ленную точку и удовлетворяющих во всех конечных точках усло- виям строгой локальной оптимальности. Из существования при г-+-оо предельных значений р„и з и непрерывности функций р и з в точке г =- оо следует, что всюду на такой траектории функции р(2) и з(2) обладают такой же степенью гладкости, что и установленная в разделе 1.2.3 (см. соотношения (1.2.68), (1.2.69)). Более того, поскольку даже при наличии разрыва век- тора скорости аппарата в бесконечно удаленной точке (см. ниже) согласно (1.2.53) существует л2р Ф-~С 11ш —," = О, оптимьльныж импульсные пегелеты 102 !гл „ Фазовое состояние аппарата в бесконечно удаленной точке перболической дуги характеризуется его вектором скорости дзе жения по асимптоте гиперболы до импульса Ч и после импуль~а т+.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
