Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Следовательно, при решении внутренней задачи переход от МСВ к ММСВ не приводит к уменьшению точности расчета траектории. Таким образом, в целом переход от МСВ к ММСВ несколько снижает точность решения внутренней задачи вследствие «геометрической» ошибки порядка р,«/1« в условиях склейки кеплеровых траекторий на сфере влияния. Однако, как показывают проведенпые оцепки, максимальные возможные ошибки обоих методов имеют один и тот же порядок. Сравним теперь МСВ и ММСВ для траекторий полета в системе Земля — Лупа. Проводя такое же сопоставление, как н выше, и учитывая, что в этом случае ) р,~/Л 1 (см. табли- ЦУ 1.1.2), приходим к выводу: «геометрическая» ошибка в условиях склейки кеплеровых траекторий на сфере влияния Лупы "меет порядок ошибок в решении внутренней п внешней задач, обусловленных замепами уравнений (1.1.31), (1.1.32) уравнениями (1,1,38), (1.1.40) соответственно, т. е, и в этом случае, хотя переход от МСВ к ММСВ несколько уменьшает точность решения задачи, огяибки обоих методов оказываются одного порядка.
Мпогочисленпые сравнительные расчеты траекторий полета к "ланетам (см. гл. Х!1) и в системе Земли — Лупа (см. гл. Х1) 44 ПРОБЛБПЛ СППТЗЭЛ Н ОПТПЫПЗЛЦПП ТРЛВКТОРПН !ГЛ. 1 показали, что точность решения краевых задач астродинампкн с помощью ММСВ обеспечивает качествепну1о и количествепну!о близость решения к получаемому с помощью МСВ. Практически всегда решение по ММСВ является очень хорошим исходпым приближением для решения задачи МСВ, а во многих случаях возможен непосредственный переход к «точному» решению задачи, минуя ее решение МСВ. Все изложенное позволяет считать модифицированный метод сфер влияния наиболее приемлемым приближенным методом на этапе общего анализа траекторий КА, предварительного выбора оптимальных параметров, схем полета и траекторий полета к Луне и планетам.
Поэтому в основу дальнейших рассмотрений положен модифицированный метод сфер влияния. в 1.2. Задача оптимизации движения в ньютоновском поле тяготения (конечная тяга) (1.2.2) Далее в качестве основного будет рассматриваться случай, когда величина тяги ограничена: 0<Т<Т „. (1.2.5) Наряду с этим без существенных изменений может рассматриваться случай, когда управлением является не тяга Т, а ускорение от тяги (Г.
Е. Кузмак, А. 3. Брауде 1Ц ): т Т (1,2.6) с соответствующим ограпичением (1.2.7) 0<а<а „,. 1.2.1. Постановка вариационной задачи. В соответствии со сказанным в разделе 1.1.5, рассматриваем движение КА в ньютоновком поле тяготения. Скорость истечения газов из сопла химнческого ЖРД или ядерного ЖРД принимаем постоянной. Тогда с учетом (1.1.1) — (11.4), (1.1.13) и (1.117) уравнения движения аппарата можно записать в виде (1.2.1) лу и т — = — — г+ — е, «!! 1» т »! = д (го) лт т — = — е« (1.2.4) и« в! ОПТИМИЗЛППЯ В НЫОТОНОВСКОЪ! ПОЛЕ (КОНЕЧНЛЯ ТЯГЛ) 45 Приведем уравнения (1.2.1) — (1.2.3) к безразмерному виду, одя переменные — — — т г= —,У= —,г= *, = т Л* К я* ' 7 с — ч с= —, д==, $/ (1.2,8) где Вя,т я, ҄— некоторые характерные линейные размер, масса и тяга соответственно, У =У„(В)=у' ~ (1.2,9) — круговая скорость на расстоянии Ваот центра тяготения.
Опуская у безразмерных переменных черточки сверху, перепишем уравнения двия<ения КА (1.2.1) — (1.2.3) в виде а:=м (1.2.10) ач г т — = — — +и —, Л! Гз вт' (1.2.1 1) лд ПФ я ж Ф (1.2.12) где т„ и гятя (1.2.13) — некоторая характерная тяговооруженность аппарата, (1.2.14) Ля — гравитационное ускорение па расстоянии В' от центра тяготения. Уравнение (1.2.4) при переходе к безразмерпым переменным сохраняет свой вид.
Безразмерное ускорение от тяги Т Т а====е связано с размерным ускорением (1.2.63 и тягой соотношением а=6 и а=я„и„,=е. (1.2 16) Из (1.2.16) следует, что входящая в уравнение (1.2.11) величиНа п еТ/т представляет вектор тяговооруженности и (перегрузку) аппарата, модуль которого выражен в долях характерного цговзеыл сгштьзл ц оптпнизацгп1 тглвктогни юз. з гравитационного ускорения д„: т и = — = па— сс (1.2.1 ) Если Та= Т„,„„, го для безразмерной тяги Т ограничение (1.2.5) переходит в 0<Т<1. (1.2.1б) Ограничение па ускорение от тяги (1.2.7) переписывается в анде ограничения на тяговооруженностгя 0 <~ и ~ <яссах = (1.2.10)' В дальнейшем в качестве оптимизируемой величины буде с использоваться характеристическая скорость перелета КА.
Рз~ смотрим типичный случай перелета аппарата в поле тяготения Солнца нли основной планеты Р с некоторого начального многообразия (с, р, Ч, д = О); внутри сферы влияния планеты Р~ (» поле планеты Р) на некоторое конечное многообразие (8, р, внутри сферы влияния планеты Рз (в поле планеты Р). Примерами таких перелетов могут служить перелеты между орбитагп ИС планет, с поверхности одной планеты на орбиту ИС другой планеты и т.
и. В частном случае основная планета Р может сос— падать с одной из планет Р1 или Рз (например, Р1 — Земля, Рз— Луна). Если воспользоваться МСВ (см. раздел 1.1.4), то характеристическую скорость перелета вследствие (1.2.3) можно записать в виде чсф~ + чга + Чсфр (1.2.20) где д.„ь асса — характеристические скорости перехода между конечными многообразиями и соответствующими точками на сфера' влияния планет Р1 и Рз, ды — характеристическая скорость перелета в лоле основной планеты Р межнику сферами влияния план с Р1 и Рх, Если пересечение сферы влияния аппаратом пронов ь дит на активном участке, то соответствующую характеристическую скорость можно относить либо к осае либо к дм.
В дальнейшем для определенности отнесем ее к дм (см. раздел 12.2.1),?1ри заданном начальном многообразии (с, р, Ч, д =- О) характеристическая скорость д,с1 оптимального маневра перехода аппарата между этим многообразием и сферой влияяия будет аависеть от радиуса-вектора рмя и вектора скорости Ч„м аппарата на сферо влияния планеты: Чсф1 == Чсфр(гс~ Рсфц Чсф1). (1.2.2 !) При решении задачи оптимизации перелета с начального многообразия на конечное величины р а1 и Ч„м не задаются заранее, Оптиыпзсцпн в пыотоповскоз! пОле (конечпвн тягл! 47 определяются радиусом-вектором г! и вектором скорости Ч! Фжепия аппарата в поле планеты Р в момент пересечения траорией сферы влиянии планеты Р!.
Поэтому можно записать !7сф! = Дсф! (!с1 зп Ч!)~ (1.2.22) где !7,Ф! считаем днфферепцнруемой функцией своих аргументов. Если от МСВ псрейтп к ММСВ, то, в соответствии со сказанным в разделе 1.1.5, получнм дсф! = басф!(г! г„Ч)/р,ф!=з) ~1-,'-0~ ф Я~, (12 23) где г! — радиус-всптор планеты Р!, Ч/р,ф!=с — вектор скорости движения аппарата в поле планеты Р, вычисляемый в центре планеты Р!. Учитывая, что для внешней задачи ММСВ (в поле планеты Р) г! ПЧ!р,ф!-а являются начальными данными, и обозначая нх г, п Ч, соответственно, на основании (1.2.23) получим с точностью до ве:шч!ш 0 ~ — ) (, я !7,Ф! = Д)Р,(гс Г„Ч,).
Аналогично, с точностью до величин 0 ~— ( рсф,) Дсфз Л)Р! (Г! ! ! Ч!) 1 (1.2.25) где г, и Ч! — коночные радиус-вектор и вектор скорости аппарата во внешней задаче ММСВ (при движении в поле планеты Р) . Здесь для характеристических скоростей маневров, совершаемых в пределах начальной и конечной сфер влияния, введены обозначения ЛЧ! и ЛУ! соответственно. Из (1.2.23) и сказанного в разделе 1.1.5 следует, что величины Лр'! н ЛЧ! в (1.2.24) и (1.2.25) вычисляются с той же точностью, с которой определяется вся траектория аппарата в целом в рамках ММСВ. Если рассматривается задача о движении КА только в поле основной планеты Р, прп отсутствии планет Р! и Рм то (с!, ге Ч ) и (1!, г„Ч,) могут, вообще говоря, принадлежать некоторым многообразиям в поле планеты Р, например, аппарат может совершать перелет между двумя орбитами ИС планеты Р.
Учитывая все сказанное, для КА, движение которого описывается системой уравнений (1.2.10) — (1.2.12), (1.2.18) или (1.2.10) — (1,2,12), (!.2.17), (1,2.19), поставим следующую вариационную задачу Майера: требуется перевести КА с некоторого начального многообразия (г г, Ч, д = 0)! па некоторое конечное многообразие (г, г, Ч), но траектории, обеспечивающей минимум функционала 0 = ЛЧс(1е г<, Ч!) + Л)Р!(Гь гь Ч,) + д! =с- ш!и. (1.2.26) В (1.2.26) члены АГ1(11, гь 'и!) + АР,(Г„Т„Ч,), как показало выше, учитывают затраты массы аппарата (характеристической скорости) на совершение маневра в начальной и конечной точ- ках при применении ММСВ (см.
раздел 12.2 1). 1.2.2. Необходимые условия оптимальности. Для решения по- ставленной задачи может быть использована стандартная проце- дура принципа максимума Л. С. Понтрягина (В. Г. Болтянский [Ц, Винх [2), В. К. Исаев, Ю. М. Колпин [Ц, А. М. Летов [Ц, Медич [Ц, Н. Н. Моисеев [Ц, В. С. Новоселов [Ц, Л. С. Попт- рягин, В. Г.
Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко [Ц, Л. И. Розоноэр [Ц, В. А. Троицкий [3)). Все не~пользуемые в дальнейшем основные сведения, относящиеся к применению принципа максимума для анализа оптимальных траекторий динамических систем, заимствованы главным образом из работ А. М. Летова [Ц, Н. Н. Моисеева [Ц, В. С. Новоселова [Ц, В. А. Троицкого [3). Введем векторы сопряженных переменных: р для г, з для '11, сопряженную переменную р, для д — и составим функцию Га- мильтона (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
