Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 7
Текст из файла (страница 7)
гн Перепишем (1.1.17) в виде '1 г, — г г, — г ) ~ 1'11г,— гр 1г.— г1'( (1.1.21) (1.1.22) Из (1.1.22) следует, что:для всех г, для которых '„~ )>)", (1,1,23) влияние гравитационного поля планеты Рг на движение аппарата мало. Влияние гравитационного поля планеты Рз становится существенным лишь в некоторой, малой сравнительно с )г1 — гг(, окрестности планеты Рь С другой стороны, всегда можно выделить такую малую окрестность планеты Рг, где, в свою очередь, влияние гравнтациопного поля планеты Р, на движение аппарата оказывается малым по сравнению с влиянием гравитационного поля плапеты Рь Таким образом, если имеет место (1.1.21), то можно считать, что: (а) Во всем пространстве, за исключением малой по отногпению к ~г1 — гз~ окрестности планеты Рм движение КА в основном определяется гравитационным полем планеты Р11 я (г, г) = 11, ' ,>,.
(1.1.24) (б) В указанной малой окрестности планеты Рз движение КА з основном определяется гравитациопным полем планеты Рзс1 й( ~)=р.~,". (1.1.25) 1 1.3. Приближенные модели гравитационных полей. Метод сращивания аснмптотических разложений. В основе всех приближенных моделей гравитационных полей лежат характерные особенности Солнечной системы и системы Земля — Луна: (1) масса каждой планеты т; намного меньше массы Солнца лг1;1(см. таблицу 1.1.1): 1 347 10 — з (1 1.19) пгл т 28 ПРОБЛЕМА СННТЕЗА П ОПТИЫИЭАЦЬП1 ТРАЕКТОРИИ 1гл. 1 (в) Существует некоторая переходная область, размеры которой имеют тот же порядок, что и размеры окрестности (б),где влияние гравитационных полей планет Р1 н Рз на движение аппарата сравнимо по величине.
В области (а) уравнения (1.1.1), (1.1.2) содержат малый параметр, и здесь применимы регулярные методы теории возмущений — построение асимптотических разложений (Коул [1), И. Г. Малкин [1!). Движение КА в первом приближении является кеплеровым в гравитационном поле планеты Р1, влияние планеты Рз дает возмущения порядка е (Лагорстрем, Кеворкян [1)). Однако регулярные методы неприменимы, когда траектория аппарата проходит вблизи планеты Рп на расстоянии порядка )lе~г,— гх[, Здесь необходимо применять специальные методы теории возмущений, учитывающие прохождение траектории вблизи особой точки (Коул [1) ). Назовем задачу определения траектории в поле планеты Р1 с учетом влияния планеты Рз внешней задачей, а задачу определения траектории в поле планеты Рз с учетом влияния планеты Р1 внутренней задачей. Соответствующие асимптотические разложения назовем внешним и внутренним.
Метод построения внешнего и внутреннего разложений и сращивания их был разработан в работе Лагерстрема и Кеворкяна [11. С точностью до членов первого порядка внешнее разложение описывает кеплерово движение КА, влияние планеты Рз дает поправку порндка з. С точностью до членов порядка ез впутренпес разложение описывает кеплерово движение КА по гиперболе относительно планеты Рг. Метод сращивания асимптотическнх разложений до последнего времени пе нашел широкого применения в астродинамико. В настоящее время с его помощью рассмотрены некоторые задачк определения траекторий КА в системе Земля — Луна (Кеворкяп, Брэчет [1]; Лагерстрем, Кеворкян [1 — 41; Ланкастер, Кеворкнп [1); Ланкастер, Уокер, Манн [1); Ланкастер [1)) н траекторий перелета Земля — планета — Земля (Брейкуэлл, Перно [1); Перно [1) ).
Некоторые соображения в связи с этим будут рассмотрены в конце раздела !.1.4. 1.1.4. Метод сфер влияния — МСВ (метод сращивания кеплеровых траекторий). Если во внешнем разложении пренебречь члспамн поря~дна е (влиянием планеты Рз), то во внешней задаче будем иметь кеплерово движение. В этом случае вместо сращивания аспмптотическнх разложений необходимо сращивать две кеплеровы траектории относительно планет Р1 и Р, соответственно. Чтобы провести такое сращивание, необходимо указать некоторую грапнчпу1о поверхность в окрестности планеты Рэ, где происходит переход от движения в поле планеты Р, и движешпо з! 1) пеивлия'енныв ывтоды Рлссыотгвнпя телектогпп 29 в поле планеты Рг. В связи с этим в астродинамике вводится фундаментальное понятие гравитоз)ионное) сферы, или сферьь влияяия планеты Рг в иоле тяготения планеты Ро В настоящее время в астродинамике предложены различныс определения этого понятия (Бэттин (21, М. Д.
Кислик 11), М. Ф. Субботин [1), Г. А. Чеботарев 12)). Наибольшее практическое распространение получило принадлежащее Лапласу определение сферы влияния, названной сферой действия планеты, введенное им в небесную механику в связи с изучением движения комет при их сближении с большими планетами (Бэттин (2], М.
Ф. Субботин (1), Г. А. Чеботарев (2)). Чтобы получить выражение для определения радиуса сферы влияния планеты, рассмотрим ограниченную задачу трех тел: планета Р1 (масса т1), планета Рг (масса тз) и КА (масса т = = О), причем имеет место неравенство (1.1.21).
тг Ряс. 43.). К=г,— го (1.1.26) Согласно (1.1.17) уравнепия движения аппарата и планет отпосительно рассматриваемой иперциальпой системы координат можно записать в виде оз (г+ г,) р, рз опз " гз рз — — г — — зр, (1.1.27) оз (р+ гз) р, р. — — — г — =' р, Вгз „з рз (1.1.28) (1.1.29) в-зч (1.1.30) В !читая (1.1.29) из (1.1.27) и (1.1.30) из (1.1.28), получаем Обозначим (рис. 1.1.1) через гь гг радиусы-векторы центров планет Р, и Рг в некоторой инерциальной системе координат, г и р — радиусы-векторы КА относительно планет Р1 и Рз соответственно, К вЂ” радиус-вектор центра планеты Р, относительпо центра планеты Рб зо ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА И ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИЙ [Грт. 1 уравнения движения КА Относительно планет Рр и Рг соответст- венно: (1.1.31) (1.1.32) Обозначим через Г; силу, с которой планета Р; притягивает аппарат при его движении относительно этой планеты, а через 6Гр — силу, с которой планета Рз возмущает его движение относительно другой планеты.
Согласно (1.1.31) и (1.1.32) Рг = Рр рз бг'2 — ргг!~р + з / рз Рз рз н г 6Р,= К~ — — —.~. лз „г (1.1.38) В соответствии с МСВ при решении внешней задачи полагаем 6Р2 = О, (1.1.37) т. е. в системе координат, связанной с центром планеты Рг, рассматриваем кеплерово движение аппарата, определяемое уравнением (1.1.38) Аналогично при решепии внутренней задачи полагаем 6Р1 — — О, (1.1.39) т. е. в системе координат, связанной с центром планеты Рг, рас- сматриваем кеплерово движение аппарата, определяемое уравне- нием (1.1.40) Как показывает уравнение (1.1.32), система координат, свя,з р, з~зззрзар.
з рр же (1.1.40) следует, что Система координат, связанная с планетой Рз, считается нневпиальной. Уравнение (1.1.40) в точности совпадает' с"(1.1.32) при г = к. бгизически зто соответствует тому, что в центре планеты Рз ускорение КА, обусловленное неинерциальностью системы координат (уравнением (1.1.30)), Рг„вр (В, Р) — з+ — г =- — )г г — + — ь агз + р = 2(Л оз/' Лзр р, / Я вЂ” + — Р =- —.1~~- — +-/ ЛР рз 'Р Бз рз /' (1.1.33) (1.1.34) (1.1.35) я 1,11 пРивлиженные метОДы РАссмОтРения тРАектОРии З1 Угол гр представляет собой угол между направлениями из центра планеты Р2 на центр планеты Р1 и КА (рис. 1.1.1). Имееэ1 нз (1.1.34) с учетом (1.1.41) и (1.1.42) 6Р.
== 1.', (1 — 2ия соя гр + и')1~2. (1.1.43) Аналогично из (1.1.34) получаем — 2 (1 — и соя гр) (1 — 2и соя гр + и2)02) "2. (1.1.44) Рассмотрим окрестность планеты Рн где ее влияние па движе- ние КА является преобладающим. Тогда и можно считать малой величиной. Раскладывая выражение (1 1.43) в ряд по степеням и, получим с точностью до величин порядка из 6Р2 'Р2 2' Аналогично с точностью до величин порядка и 6Р, =- ф(1+ Зсоягр)112, Р 10 (1.1.47) (1.1.46) Полученные выражения позволяют аналитически построить вокруг планеты Рз поверхности областей, где влияние планеты Р, на движение КА является преобладающим.
Все указанные поверхности, как будет показано ниже, близки к сферам с центром в ~очке Рз, однако радиусы этих сфер определяются до известной степени произвольно. рассмотрим пренгде всего определение сферы действия 1глане2хч по Лапласу. При движении КА около планеты Р2 возмущаю- в точности компенсируется гравитационным ускорением планеты Р1. Очевидно, что в некоторой окрестности планеты Р2 происходит приближенная компенсация этих ускорений. Таким образом, в некоторой окрестности планеты Р2 связанную с ней систему координат приближенно можно считать инерциальной, что и соответствует уравнению (1.1.40). Аналогичные рассуждения справедливы и в отношении уравнений (1.1.31), (1.1.38) и системы координат, связанной с планетой Р1. Преобразуем, следуя работам Г.
А. Чеботарева 12], М.Ф. Субботина 11), выражения для 6Р2, 6Р1 и Р1. Положим соя гр:.= (1.1.41) (1.1.42) 32 ПРОБЛЕМА СИИТЕЭА И ОПТ!П!ИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИИ )гл щим воздействием планеты Р) можно пренебречь в области, где ЬГ, би, (1.1.48) На границе этой области выполняется условие (1.1.49) Подставляя соответствующие величины из (1.1.35), (1.1.45), (1.1.46) и (1.1.47) в (1.1.49), получим для значений ром лежа- щих на граничной поверхности (1.1.49), следующее уравнение: ~о,') (1+ 3 ооз')Р)ь~е 1)5 (1.1.50) Уравнение (1.1.50) определяет в полярных координатах (р,)()) поверхность вращения с осью, направленной по прямой Р)Р1. График функции 1 р= 5 1/)О (1.1.51) (1+ Зсоэ )))) представляющий сечение этой поверхности меридиональной плоскостью, показан на рис.
1.1.2 сплошной линией. Видно, что поверхность (1.1.50) близка к сфере; отношение максимального и минимальпого значении р составляет ю'" =- 2115 — 1,15. (1.1.52) Рю)о Заменяя поверхность (1 1.50) сферой и беря в качестве ее радиуса, как это принято (Бэттип [2), М. Ф. Субботия [1), Г. А. Чеботарев [21), максимальну ю величину р,„,, получим окончательное выражение для радиуса лапласовой сферы действия планеты Рз в гравитационном поле планеты Р)'. рос = Л ( о ) . (1.1.53) Рис. 1ЛИЬ Рассматривая движение КА относительно планеты Р), описываемое уравнением (1.1.31), можно определить радиус сферы влияния р,в из условия равенства основной Р) и возмущающеи 1 !.!! ш'ивл1п!!снныс 11етоды РхссыотРБнпя тРле1'тОРпи 3! лз ! (1 + 3 созз !Р] ! (1.1.57) Свойства поверхности вращения (1.1.57) аналогичны свойствам поверхности (1.1.50) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
