Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Значительная часть Результатов этой главы используется в главах Х1 и Х11. Глава Х1 посвнщепа исследованию траекторий 11А в системе Земля — Луна, главным образом траекторий облета Лузы. Рассматривается приближенный мотод синтеза траекторий. основанный на использовании Мй1СВ. позволяющий получить аналитическое решение задачи построения траекторий облета Лупы с возвращением в атмосферу Земли н порелста Лупа — атмосфера Земли. Для оптимизация траекторий перелета орбита ИСЗ вЂ” орбита ИСЛ предлагается просто»! вычислитель ъый алгоритм. для каждой из задач приведены результаты подробного параметрического исследования.
В целом ъъатериал этой главы иллюстрирует эффективпость использования ММСВ при решепни достаточно ~ложных задач синтеза траекторий КА. ВВЕДЕНИЕ В главе ХП изучаются оптимальныс порелеты орбита ИСЗ— орбита ИС планеты — орбита ИСЗ, в том числе с использованием торможения в атмосферах планет. Приближенный метод расчета оптимальных траекторий разработан в рамках ММСВ и основан на «склейке» оптимальных решений на гелиоцентрическом и планетоцентрическом участках. Задача оптимизации решается путем сочетания экстремального и вариационного подходов. Сначала рассматриваются перелеты заданной схемы с минимально необходимым количеством импульсов, сообщаемых КА на околоплапстных орбитах, затем с помощью решения сопряженной системы проводится оптимизация схем перелета, в том числе с дополнительными импульсами на гелиоцептрнческих участках.
Приведены результаты подробного параметрического исследования оптимальных перелетов Земля — Марс — Земля и Земля — Венера — Земля. В целом материал этой главы иллюстрирует эффективность общего подхода к решению задач синтеза и оптимизации траекторий КА, основанного на использовании приближенных моделей движения и сочетапии экстремального и вариациопного методов. В Приложении изложены основные сведения из теории сопряженных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Материал этого Приложения используется в теории оптимизации траекторий КА, главным образом в главах 1 — 1У. рЛЛВЛ 1 ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА И ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИЙ й 1.1. Приближенные методы рассмотрения траекторий Ыг — =У, М (1.1.1) лу, т г — = й(г, «)+ — + — ' Ю т т (1.1.2) Здесь ~ — время, г — радиус-вектор аппарата относительно начала системы координат, т' — вектор скорости КА, лг — его масса, д(г. г) — вектор гравитационпого ускорения, Т вЂ” вектор тяги КА, Г, — вектор аэродпкамическнх сил. Всюду в дальнейшем рассматриваетсядвижелие КА вне плотных слоев атмосфер планет, поэтому полагаем Г,=О. Система уравнений (1.1.1), (11.2) будет рассматриваться в основном для ньютоновского гравитационного поля (см.
разделы 1.1.5, 1.2.1). В качестве двигательных установок КА будем рассматривать химические или ядерные ЖРД большой тяги, для которых Т =. Те =- — с — е, дт и где с — скорость истечения газов нз сопла ЖРД илп ЯРД в пустоте, принимаемая постоянной, е = Т(Т вЂ” орт вектора тяги. В дальнейшем считаем, что масса КА расходуется только на воздание тяги, а элемепты конструкции аппарата (например, топливные баки) не сбрасываются.
В этом случае расход массы Удобно определять величиной характеристической скорости о, задаваемой соотношением , ~, = о (г,) = О, лч т ,и т' (1 1.4) 1.1.1. Уравнения движения центра масс космического аппарата. Уравнения движен|ия центра масс КА относительно некоторой лперциальной системы координат в общем случае можно записать в виде 24 ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА И ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИИ !ГЛ.
1 где Гс — начальный момент времени. Положим, что с(Г) — кусочно-постоянная функция: со — — сопз$ "1гг ~ (га и гИ, )с =- 1, 2,, !о'. (1.1.5) Тогда из (!.!.3) и ('!.1.4) получаем о7 (о) — о7а 1 =. со !и —, И е= [!о ~д„), Й:=- 1, ..., )т', (1.1.6) где (1. 1.7) (1.1.8) оо = о7(оо), то = ач(Го) Из (!.!.6) имеем Г ',—... ° о) —,,) т(0 ! с.
со 1!~(8а „!Е),!с=1,2, ..., т', (1.1.9) (1,1.10) (!.!.11) Если с = соне!, то с учетото (!.!.4) из (1.!.6). (1.!.9) и (1.1.10) получаем 7 -- С !П 'со '"о,— Со!с и' и (1.1.12) (1.1.13) 7' Т вЂ” .- — ес". ~о Введение характеристической скорости вместо массы при анализе оптимальных перелетов КА с двигательными установками большой тяги является сложившейся традицией в астродинамике. Такой подход, особенно при анализе оптимальных импульсных перелетов (см. з 2.1), позволяет отделить рассмотрение вопросов оптимизации траекторий от вопросов оптимизации конструкции КА с учетом характеристик двигательной установки (Г. Л.
Гродзовский, Ю. Н. Иванов, В. В. Токарев !2) ). Основной особенностью движения КА с двигательными установками большой тяги являетсн чрезвычайно малая продолжительность активных участков по сравнению с пассивными. Таким образом, на большей части траектории аппарат движется под действием только гравитационных сил. Поэтому возможность аналитического или, в общем случае, достаточно простого расчета траектории аппарата на пассивных участках играет в задачах астродипамикн первостепенную роль. Из небесной механики известно (Г.
Н. Дубошин !1), М. Ф. Субботин !2~), что для уравнений (1.1.1), (1.1.2) (при Го = — О, Т = О) можно найти общее з ! ц пгивлигквнныг мвтоды Рлссаготгения тгхвктоРип 25 г,=г(г), г=1, 2, ..., и, (1 1.14) 3' Солнце и (или) планеты имеют сферическое распределение массы. При этих предположениях гравитационный потенциал П Солнца и (или) планет имеет вид (Бэттин [2) ) П= — Х (1.1.15) где г — радиус-вектор КА, рз — гравитационные постоянные Солнца и (или) планет: и = й'т. 1 = 1, 2,..., и (1.1.16) т* — массы Солнца и (или) планет, й — постоянная Гаусса (йз— универсальная гравитационная постоянная).
Вектор гравитационного ускорения д(г, Г) в этом случае равен Я я(г, 1) .= — ягаг( П = ~ ' (г; — г). )г,.— г )з (1.".17) Ва радиус-вектор КА накладываем естественное ограничение )г; — г( ) 1п1 )г, — г( ) О, 1 = 1, 2, ..., и. (1.1.18) аналитическое решение в случае задачи двух тел. Однако важнейшие задачи астродинамики, такие, как задачи о движенииКА в системе Земля — Луна или о перелетах Земля — планета и Земля — планета — Земля, являются ограниченными задачами и тел, где и ) 3 (см. Г.
Н. Дубошин 121, М. Ф. Субботин 121). Поэтому в астродинамике существенную роль играет вопрос о приближенном задании в уравнении (1.1.2) гравитационного ускорения й(г, Г), позволяющем упростить решение задачи при сохранении требуемой точности. Различные способы приближенного задания ректора гравитациокного ускорения я(г, Г) основаны иа рассмотрении различных моделей, схематизирующих истинные гравитационные поля. 1 1.2. «Течныеа гравитационные поля. Для задачи определения траекторий КА, не связанных с оценкой эволюции орбит аппаратов в течение длительных промежутков времени (М. Л. Лидов 111), используется модель гравитационного поля, основанная на следующих предположениях: 1' Рассматривается ограниченная задача и+1 тела, где 1, 2, ..., и-е тела — Солнце и (или) планеты, (и+1)-е тело пренебрежимо малой массы — КА.
2' Радиусы-векторы Солнца и (или) планет г; относительно г г гг.Рляяий * Рй данными достаточно гладкими функциями времени: 26 ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА И ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИЙ ШЛ. Г Поскольку потенциал П .(1,11Я в области (1.1»18) при лд»йам постоянном 1 представляет сумму гармонйческих функции, гравитацйонйое ускорение является аналитической функциеи г для %я.ь.Ы'"ю»2ыэ»»зь»ь ш11Е Проаналйзируем предположения 2' и 3'. Поскольку рассматривается ограниченная задача п+ 1 тела, движение Солнца и (или) планет может быть вычислено на рассматриваемый промежуток времени с любой заданной степенью точности.
Результаты таких расчетов приводятся, например, в Астрономических ежегодниках СССР. Отметим, что явная зависимость й(г, Г) от« в (1.1.17) соответствует заданным зависимостям (1.1 14). Введение ~предположения 3' оправдано следующими соображениями. Вобпервых, большая часть полета КА происходит на значительных (по сравнению с размерами Солнца и (нли) планет) расстояниях, когда Солнце и (или) планеты можно рассматривать как материальные точки, для которых справедливо соотношение (1.1.15).
Во«первых, в настоящее время и в блпжайшем будущем ~полеты с целью близкого облета планеты, выхода на орбиту ее ИС или посадки на планету будут осуществляться ог Земли главным образом к Луне, Марсу и Венере, гравптацноняый потенциал которых с достаточной точностью можно счптать имеющим вид (1.1.15). Отличие действительного потенциала от (1.1.15) сказывается лишь вблизи планет при условии, что движение КА в окрестности планеты происходит в течение длительного промежутка времени. При рассмотрении задач синтеза траекторий перелетов КА с двигателями большой тяги, для которых, как правило, продолжительность движения в окрестности планеты мала, этим отличием, как показывает опыт многочисленных расчетов, можно пренебречь.
Отметим, что учет несферичности распределения массы не представляет принципиальпых затруднений. Достоинством рассматриваемой модели гравитационного полн является возможность (с учетом несферичности распределения масс планет) вычисления траектории КА с любой наперед заданной точностью. Однако это может быть сделано только численно с помощью ЭЦВМ. Поэтому при анализе общих свойств траекторий КА и на этапе предварительного выбора оптимальных параметров, схем и траекторий перелета использование «точных» зависимостей (1.1.17) оказывается затруднительным.
Эффективное решение краевых задач в «точной» постановке, которое сводится к применению тех или иных итерационных схем, в значительной степопн зависит от наличия достаточно хороших исходных приближенных решений. Поэтому различные приближенные методы решения указанпых краевых задач, основанные на замене «точного» гравитационного полн (1.1.17) некоторой аппроксимирующей моделью, играют в астродинамике первостепенную роль. З 1.11 пРивлиженнык мгтоды РхссмотРения тРАкктоРии 27 где т, — сумма масс планет; (2) масса Луны пгб намного меньше массы Земли лгя (см. таблицу 1.1.1); — 1,23 ° 10 (1.1.20) Рассмотрим, к чему приводят указанные особенности, па примере движения КА в поле тяготения двух планет Р1 и Рг с массамн лг и тг, считая з =- — '((1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
