Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Графин функции 1 Р= (1 + 3 созз !!з) !1З 16' (1.1.58) определяющий сечение этой поверхности меридиональной плоскостью,показан па рис. 1.1.2 штрих-пунктирной линией. Поверхность (1.1.57) близка к сфере, для нее отношение — „:* = 2!1з =1,26. (1Л.59) !'ш!в Принимая в качестве радиуса сферы влияния максимальную величину Р,р, получим Раф= а![ ) (1.1.60) Заметим, что, согласно (1.1.45), та же сфера получается из условия равенства возмущений бР! и бР2. В работе М. Д. Кислика [1] для определения сферы влияния нспользуется обобщенный интеграл знегрии (интеграл Якоби) в ограниченной круговой задаче трех тел.
Считается, что в пределах сферы влияния планеты КА движется по кеплеровой траектории, которой соответствует константа интеграла Якоби С. После выхода из сферы влияния считается, что аппарат движется В. А. ильвв, Г. н. Кузвав бЕ2 сил (Мекель [3], Г. А. Чеботарев [2] ): Р! = 6Р2. (1.1.54) ' Подставляя (1.1.45) и (1.1.47) в (1Л.54), получим / 1!12 Рсф — ~ ( (1.1.55) Ж, Согласно (1Л.45), та же сфера влияния получается и из условия * , равенства основных сил Р! и Рз. Сфера с радиусом Рсф называется сферой тязотеяия планеты (Г.
А. Чеботарев [2]). Аналогично, рассматривая движение КА относительно планеты Рз, описываемое уравнением (1.1.32), можно определить радиус сферы влияния Р,ф из условия равенства основной Рз и возмущающей бР! сил (Мекель [3], Г. А.
Чеботарев [2]): Р,=бРР (1.1.56) Подставляя (1.1.35) и (1.1.46) в (С1.56), получим уравнение граничной поверхности !!з ПРОБПВТ1Л СИНТКЗА П ОПТИСИИЗАЦИП ТРАЕКТОРИЙ ~ГП. 1 о $ аб б а 4х О Сс ! Ю ОО! ОООЮ Ю о . ° с 001 СО С С'101 О О О! СЮ С ООС'10' СО а с с асоа' 0101! с С ..ЮЮСО С'ЮС ЮОЮ Юо . Ссс СОС 00 СО са со о асб ссю 41 Ю СО )О М" СО Сс О С 1 Сб '1 СО о СО Е Р;, с о оооюооо о сс асч Оо сосо со с с Осос бюо а , 04 " ОЮЮ СССО; С'1 С:! С' СО Са С"' с- о О а О а б а 4 О СР . Ю о С 1 С'б о Со с о *,О! о. 00 ОСС СО ОО -с Сб 0- Ю СО 00 О СОИ со - с'1 оооо о(Ю Сс 0 о! о! о! о о о о о о ю ссссо -.
'со ос Й О -Г Рос-со осло с — оосч с-а с-сбсч ОСО ЮОТ! . СО 0 с."="ю о 01ОРЮ оо"со Ю о с 1 О .О 00 с 1 -о .1 '.1 О 1 О Ф с. 00 'б' со Ю О Ю а о Оо С- оо Ю(400 Гб Р й= О~ а. о С 1 о о ИО ОБО - со асао 0„0 Ю Ю о аб Г. С о о с 00 3 а б" д о о о ю с Г 1 Ю 00 О 0.1 01 Р! с О'а с! 00 Ю !О с ' Сб СО Сс й .о СО О СО ОО >, а ф О а с а О е д О б 0 Я а О О Г О б е О 0 „.~о„: е О О! -Ю Сб ° О О Ю Сб .Сб С: .1ю с 4 Сбо обб ЮО О-„ОО 'ОСС О .
о!о! о о о о ° са с1ООО1'Об оюа со 1'о со Г: Сб С'1 СО СО О сча ооа ЮОРосо Г "е С4 С4 СО о Сб са о с- Г- Са 0 Сс Ю с- ОО С4 Ю С» с С'1 00 с- " с О ! Ю о Сс С'4 ' Са 1-00 ОО 100 со "б :.1 сч Ю .СО Ю О СО СО а б СГ а О б а И 3 а 0 Д а с Я О О О !' О О ПРИБЛИЖЕННЫЕ З!ГТОДЫ РЛССИОТРЕНПЯ ТРЛЕКТОРПН 35 1 1.!! Таблица 1Л.2 Ошибки в решении внутренней и внешней ваиач по мсв и ммсв (Рсф — РалиУс сфеРн Иейстаин Лапласа) Планета шаи —,'~ (!.(.еоз (рсф) 1!2 Меркурий Венера Земли Марс 70ннтер Сатурн уран Ванту Плут„ "(уна 8,7837 10 з 1,5093 10 ' 1,5728 10 ' 1,0072 10 ' 4,9775 10 ' 39!09 1О ' 2,6865 10 2,7788 10 ' 1,5!57 10 ' 4,3919 10 ' 7,5462 10 ' 7,8640 10 — з 5,0358 10 з 2,4887 10 ' 1,9554 10 ' 1,3432 10 ' 1,3894 10 ' 7,5786.10 ' 1,69 10 " 8,59 10 ' 9,73 10 з 2,55 10 ' 3,0829 10 з 1,4954.10 ' 4 847,10-з 5 364 10 — з 8,71 10 ' 22,769 13,252 12,716 19,858 4,0181 5,1!39 '7,4447 7,1974 13,195 2,4ЫЗ 0,41471 0,14264 0,8294 ! о кеплеров ой орбите, для которой интеграл Якоби вместо копво знты дает некоторую функцию С координат и скоростей.
Разсть АС = С вЂ” С, представляющая собой ошибку аппроксимации аектории аппарата двумя кеплеровыми дугами, зависит от отед!ения масс планет, начальных условий и р,е. В качестве р,е „рянимается величина, минимизирующая осредненнуюпоначальми условиям ошибку АС. В результате для радиуса сферы вли„ния р,е получено выран(ение ы!з р,ф = 1,15В( — ') (1.1.61) М Д. Кисликом высказано предположение и приведены примеры расчета, подтверждающие, что при аппроксимации траектории кенлеровыми дугами ошибки расчета параметров траекториибудут в среднем минимальны при переходе от одного притягивающего центра к другому на границе сферы влияния с радиусом р, (1.1.61).
Расчеты показывают (см. таблицу 1ЛЛ), что Рсф *\ — 'ф — 2 — '3. Заметим, что, согласно (1.1.60) и (1Л.61),р,ф рсф. Рсф Учитывая, что, согласно проведенному анализу, все рассмотренные сферы, по существу, выделяют область преимущественного влияния планеты Рт на движение КА, в дальнейшем будем пользоваться для всех полученных сфер названием сфера влияния. Радиусы рассмотренных выше сфер влияния планет приведены в таблице 1.1.1. 36 пговлвз|х сгснтвза н оптимизащссг твлкгстовии Шл. г То или нное из определений сферы влияния при проведении расчетов траекторий полета КА по МСВ должно выбираться путем сравнения результатов расчетов по МСВ с результатампчислешсого решения уравнений двинсения соответствующей ограниченной задачи трех тел.
Заметим, однако, что, как будет показано в следующем разделе, выбор конкретного значения радиуса сферы влиния не имеет принципиального значения. Среди приведенных определений сферы влияния определенным преимуществом обладает лапласово определение сферы действия (1.1.53), поскольку оно учитывает одновременно свойства обоих уравнений — (1Л.31), (1Л.32). Подавляющее большинство расчетов по МСВ как в отечественных, так и в зарубежных работах выполнено для определения (1.1.53). Это в особенности относится к расчетам траекторий в системе Земля — Луна, вде, в отличие от траекторий полета и планетам, выбор численного значения радиуса сферы влияния р,а оказывает заметное влияние на результаты расчетов (см.
3 11.6). Поэтому в дальнейшем для определенности под радиусом сферы влияния планеты р,а будем понимать радиус лапласовой сферы действия (1.1.53) . Задачу. определения кеплеровой траектории в поле основной планеты Р~ (вне сферы влияния планеты Рг) назовем внешней задачей, а задачу определения кеплеровой траектории в сфере влияния планеты Рг — внутренней задачей. и Рвс.
1.1.3. Рассмотрим схему определения траектории КА по МСВ (рпс. 1Л.З). Пусть из тех или иных соображений решена внешняя задача. Внутренняя задача рассматривается в системе координат, начало которой совпадает с центром планеты Рг. Для определения во внутренней задаче траекторин аппарата (которая практически всегда является гиперболической) па сфере влияния надо задать планетоцентричоские радиус-вектор р,а и вектор скорости 'сг,.с, аппарата: р.а=г — ц, Ъ',м — — Ч вЂ” П. г П пгпвлнжвннып эштоды РАссмотгвнпя тглнктогий 37 Здесь г, У, 11, () — радиусы-векторы и векторы скорости КА и планеты Рг соответственно во внешней задаче в момент пересечения траекторией аппарата сферы влияния планеты Рг. Условия (1.1.62), (1.1.63) являются условиялш сраи1ивания соответствующих кеплеровых траекторий внешней и внутренней задач.
Условия сращиваппя применяются при каждом переходе траектории через сферы влияния планет. Оцепим ошибки вследствие замены уравнения (1Л.32) уравнением (1.1.40) при решении внутренней задачи, для чего рассмотрим отношение 6Р1/Рг. Внутри сферы влияния можно воспользоваться приблнженнным выражением (1.1.46). Максимальное значение этого отношения равно бр щ, Оз шах — = 2 — —. Р, т. Аг (1Л.64) Па сфере влияния при р = р.ь с помощью (1Л.53) получим шах — '~ = 2( — г) = 2( — са) .
(1Л,65) Чтобы приближенно в среднем охарактеризовать влияние возму- щения на движение аппарата внутри сферы влияния, наидем с помощью (1.1.64) н (1.1.65) бГ, — ) мах — ' ар оса о 1 (1Л.66) юах — ' ~ шах — '~ =083, 6г,~ г, ~.„- и возмущение от Земли 6Р1 оказывает заметное влияние на двиЖение аппарата в сфере влияппя Луны. Оценим теперь ошибки вследствие замены уравнения (1.1.31) УРавнением (1.1.38) при решении внешней задачи, для чего рас~мотрим отношение 6Рг!Рь Поскольку анализируется движепие КА вне сферы влияния планеты Рг, приближенные соотношения (1 1.45) и (1.1.47) неприменимы, поэтому воспользуемся точными соотношениями (1Л.33) и (1.1.34), дающими оценку сверху Отсюда и иа числовых данных для величин (1.1.65), приведенных в таблице 1Л.2, следует, что для всех планет Солнечной системы, за исключением 1Опитера и Сатурна, ошибка в решении внутРенней задачи по МСВ составляет величину порядка нескольких процентов.
Для Луны (в системе Земля — Луна) ПРОБЛЕЫА СИНТЕЗА И ОПТИЪ1ИЗАЦНП ТРАЕКТОРИИ ~ГЛ. 1 дзя величины 6РЗ~Р1. Если при подсчете 6Р2 считать, что КА находится вне сферы влияния планеты Рз,на продолжении вектора й (за планетой Р., если смотреть с планеты Рц рис. 1Л.1), так что рЯ, а Р1 по- прежнему определять соотношением (1.1.33), то отсс б '2 Р (1Л.68) Поэтому наряду с оценкой (1.1.67) имеет смысл рассмотреть отношение 6Р21Р1 для случая, когда аппарат находится между планетами Р1 и Р2. Обозначая зто отношение через 6Р2 /Р1, имеем (1.1.69) Обозначим à — =х, Л (1Л.70) В связи со сказанным выше считаем, что х меняется в пределах 0 < х < х,с < 1, (1.1.71) где Рсф Рсф (1Л 72) (1.1.73) Влияние возмущения 6Р2 на движение аппарата в гравитационном поле планеты Р, вне сферы влияния планеты Р, можно, аналогично (1.1.66), охарактеризовать величиной бг+ с Рсф + „(Рсф) 2 Из (1Л.73) и равенства (1.1.49) следует, что суммарное влияние возмущения бР2 на двиясепие КА в поле тяготения основной планеты составляет величину порядка "сф ('"-) = ' 1'" — — ( — 'с(х = — 'Ф шах — ' .
(1.1.74) /ср с пвпвлпжкннык методы глссмотткння тглвктогин ЭН Из таблицы 1.1.2 видно, что, за исключением Юпитера я Сатурна, величина (ЬГ4Г~) „составляет менее процента; для )Опитора и Сатурна эта величина примерно равна Зе/«и 1,5Ъ соответственно. Для Луны (в системе Земля — Луна) (бРз/Р~),„-0,14. Таким образом, точность решения внешней задачи при поле-~ тах к планетам оказывается на один-два порядка выше, чем при( решении соответствующей внутренней задачи.
При расчете жо траекторий аппарата в системе Земля — Лупа точности решения внутренней и внешней задач примерно одинаковы. Сравнительная простота аналитического описания кеплерова движения, возможность явной записи в виде конечных соотношений условий, накладываемых на траектории КА, и в связи с этим качественного анализа особенностей траекторий, геометрическая наглядность щшвели к широкому использованию МСВ в астро- динамике. МСВ был эффективно использован при анализе траекторий полета к Луне впервые, по-видимому, В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
