Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 119
Текст из файла (страница 119)
и!8п (рсф!,,!о) Усф! ! То (12.5.7) ("'8) дну! дну ) Производные — ~ и — вычисляются с попощььэ дн !1,.ро до ~1,+о соотношений (12.2.68), (12.2.69). Если радиус сферы влияния рф!-+.со, 1=0, 1, то (см. (12.2.57), (12.2.58) ) — (~ сфр) ф (Усф!) Унрр Унр! (12.5.9) В этом случае из (12.5.5) получаем (12.5.10) + Векторы скорости аппарата на сферах влияния чсфр и тсф! вычисляются с помощью соотношений (12.2.5), (12.2.6) . Итак, при заданных датах го, 11, параметрах орбит ИСЗ и ИС планеты + сопряженные векторы во, в! определяются полностью векторами нсфо, ~сф!. В формулах (12.5.5) — (12.5.7) У„р ! (1 = О, 1) — скорости движения точки по заданным орбитам ИСЗ н ИСМ соответственно, хо — — Р' и х! = — ' — параметры из (12.2.57), р, — высота орбиты ИСЗ (1= 0) и ИСМ (1= 1) соответственно,а,(Г,фо) и а1(н'сф!) — действительные полуоси соответствующих гипербол + перехода (12.2.58), о+! — параметр (12.2.59): 6 С2.~ 681 ОПТИМИЗАЦИЯ СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТА Введем для краткости обозначения: 1 сфт 1 сфс — =-х, — =у, Гсф 1 сфг 1 сф (12.5.11) Используя (12.2.59), (12.5.11), запишем систему уравнений: .2 .2 с2 е )лт + /лс + /лт =-- 1 (1 .
5.12а) (12.5.12б) (12.5.12з) /л,х+ /„„у+ /„,2 = )' 1 — оз1ип соз а х2+ у2+ 2 где а — угол между векторами Ч,Ф и 1„(см. з 10.3, 0( а ( я). Случай а > я/2 приводится к случаю а ( я/2 либо отображением Чсф относительно плоскости орбиты ИС, либо изменением знака 1 .
Для этих случаев характеристическая скорость перехода на орбиту ИС /АЧ(Ч Ф) одна и та же, расположение же в пространстве гиперболы перехода Сфера влияния — орбита ИСи — при изменении знака 1„— положение точки выхода на орбиту ИС меняются. Из (12.5.4) — (12.5.7) следует, что при изменении знака 1 вектор зс остается неизменным, поэтому решение задачи оптимизации перелета при переходе от а > я/2 к а ( я/2 Как следует из (12.5.6), (12.5.7), величины Мс и /Чс зависят от параметров круговой орбиты ИСМ только через х~с и ос . + Что касается вектора зс и, следовательно, решения сопряженной системы, то они, согласно (12.5.4), непосредственно зависят от ориентации орбиты ИС планеты через вектор 1 . Поскольку переход от кеплеровой дуги перелета к многоимпульсной гелиоцентрической траектории, как уже указывалось выше, зависит в ОСНОВНОМ От ПараМЕтрОВ Хс (рсфС) Н О~ ('т'сфС), ГдЕ Х~ И О~ вычисляются по тем же формулам, что и хс и ос, с заменои + т Чсф! на Ч,фп при изучении влияния ориентации в пространстве орбиты ИСМ удобно в качестве основного пераметра взять величину о~ .
Каждое значеппе о~ определяет семейство орбит ИС планеты, плоскости которых расположены под заданным углом к Ч; так что одну нз составляющих вектора ) можно считать свободным параметром. Выведем соотношения, позволяющие определить составляющие вектора ) для любого заданного о е= ен(0, 11. Пусть векторы )„и Ч,Ф заданы своими проекциями на оси гелиоцентрической прямоугольной правой декартовой системы: радиус-вектор аппарата, трансверсаль и нормаль к траектории: Зл = Зл (/лт1 7лс~ /лс) Чсф = (Гсфт 1' сфс~ 1 сфт) 682 оптимизация тРАвктогии полетА к 1тланетлы и'л.
хп и наоборот не изменяется. Для построения же гиперболы перехода этн случаи можно интерпретировать как отображение вектора Ч,с относительно плоскости орбиты ИС и воспользоваться результатами раздела 10.2.5. На основании сказанного ограничимся в дальнейшем рассмотрением случая а ( и/2. Определяя пз (12.5.12) )„„имеем )„с =,, '(у()'1 — а — у„„х) + + г~Г(Уг + гг)(1 — )~зс) — ф 1 — о — )„„х) ~. (12.5,13) Требуя, чтобы выражение под знаком радикала в (12.5.13) было неотрицательным, и учитывая (12.5.12в), получаем ),,„— 2)„„х)/1 — о+ хе — ос 'О, (! 2.5.14) откуда х )Г1 — а — ~''а(1 — хс) ()с„~~ х)~ 1 — о+ г'о(1 — хс).
(12.5.15) На основании (!2.5.15) имеем ,г сс ) сс/ (12.5:16) а )„, и )„. определяются из (12.5.13) и (12.5.12б) соответственно. Проведенное в $ 12.4 исследование оптимальных перелетов Земля — Марс — Земля и Земля — Венера — Земля показало, что кеплеровы дуги этих перелетов при практически приемлемых значениях характеристической скорости располагаются в окрестности орбит Земли и Марса и Земли и Венеры соответственно. Таким образом, в целом движение аппарата на каждой кеплеровой дуге, входящей в перелет, не очень сильно отличается от движения по круговой орбите некоторого среднего радиуса )сс„, во !с 0) — сс„,, ( всяком случае, как показывают оценки, отношения 'ср ( т' (г) — т"„„! , где г(Е) и К(с) — текущие радиус-вектор н вектор ~ ср скорости аппарата, )тср —— — 1 ) оЛ,р — гелиоцентрическая скорость движения точки по круговой орбите радиуса В„, на большей части гелноцентрической траектории находятся в пределах применимости линеаризованной теории.
Рассмотрение задач 1, П н 111 в лннеаризованной постановке может быть аффективно использовано для приближенного аналитического исследования свойств оптимальных перелетов. В частности, воспользовавшись оптпзпгзлция схемы пкгвлетл ф !Хм для вектора з линеаризованным решением в цилиндрических координатах (6.1.9), получим, что определитель системы (12.5.3), (12.5.4) относительно постоянных А, В, С, В, Е и Е, входящих в решение сопряженной системы, обращается в нуль только при угловой гелиоцентрической дальности перелета цю = 180'.
Но, как было показано в разделах 12.3.2, 12.4.1, кеплеровы дуги с дальностью цз1 — — 180', ц1з = 180' практически не могут входить в состав оптимальных перелетов. Следовательно, для оптимальных перелетов система (12.5.3), (12.5.4) разрешима относительно постоянных А, В, С, О, Е и Е. 15.5.2. Результаты численного исследования. Приведенные ниже результаты получены Н. А.
Истоминым. В качестве исходных кеплеровых траекторий были взяты дну.симпульсные перелеты Земля — Марс из состава оптимальных траекторий Земля — Марс — Земля с заданной скоростью входа в атмосферу Земли (см. раздел 12.4.3). Всего было исследовано девять вариантов перелетов, отлича1ощихся датами старта, продолжительностью и угловой дальностью полета (табл.
12.5.1). Среди рассмотренных траекторий имеются как траектории, содержащие перигелий (варианты № 3, 4, 6, 7, 9), так и не содержащие его (остальные варианты). Орбиты ИСЗ и ИСМ считались круговыми, плоскость орбиты ИСЗ принадлежит пучку геоцентричесьих орбит. содержащих вектор У,фе (см. раздел 12.3.2), так что + ое = 1. При решении внутренних задач ММСВ, как и в з 12.4, + полагалось Е.в =- П„в =- Н„, = Н<„— — О, Рсфф = Рсфз= ~. В дальнейшем для краткости траектории, для которых плоскость орбиты ИСМ и векторы Усф1 комплапарны (о1 = 1), будем НааЫВатЬ ПЛОСКиМи, а тРаЕКтОРИИ, ДЛЯ КОТОРЫХ ВЕКТОР тсф1 НЕ лежит в плоскости орбиты ИСМ (а1 (1) — пространстаенн1лтл. а) Проверка оптимальности плоских перелет о в. Поскольку а1 = 1, соотношение (12.5.4) принимает вид (12.5.3).
С учетом (12.5.10) имеем (12.5.1 ) В рассматриваемом случае решение сопряженной системы не за- висит от л,. СО ы О а Ос О О с с с 'сс СО с- с- О ОС ОО сО О СС СО д О, сГ сс" сс" с'с 1 СО с- Ос О с! сО О О Ос сс О ОЪ О СО" с' с' о з сс с с- д О" СО ы с М ) сс О 2 О Р сс 3 О Ф О Ф Я й сс ОС сс В И сс сс О В в М сс В О сс Й сс О а о Ф 8 В сь Я сс СО СС ф б о ОС Ос ыО СО" с СО 8 3 сО" я" с- ОС О о5 с-" 3 СО" С." сс $ б с с- сО О ОС СО 'О О О" с- О О" М О Х СО СО О О СО СС Л ОС О СО С'С ф О О .С СО СО с с 1' сс с- $ сс СС Л сс сс сО Д СО с- Я и Я О л" СО с:3 Сс О СО СО Я СЭ ф ОС" С~ М М щ сс ы ы СО .в е О „а 1! Ю е О -ы !й ..к О с О а- О ,с 1! Ю ОО сс ы ОО ОО сс О ССО О Д О О ы о с' а Ой ОО О сс ы О ~ О д ы с с сс М .! О Е Ос1 с ЫО ы Ц ИО О О С ~ Ю н сс О 685 ОПТИЗРНЗЛЦИЯ СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТЛ З ЦВ1 Из (12.5.17) непосредствепно следует: гз (1, г1 (1. (12.5ЛЗ) В результате определения сопряженной системы установлено,что для всех выбранных вариантов ~з(~) ~ ( 1 во всех точках траектории.
Итак, в случае, плоского выхода аппарата на орбиту ИСМ !РГ- г Ркс. 12.51. (о1 = о~1 = 1) рассматриваемые двухимпульсные перелеты с импульсами на орбитах ИС и пассивными гелиоцентрическимикеплеровымн дугами являются строго локально оптимальными. Характер функции з(~) для различных вариантов при йз = 1 показан на рис. 12.5Л. Заметим, что промежуток 1гз, т11 на этом рисунке соответствует различным длительностям перелета Гм (см. таблицу 12.5Л).
Из приведенных данных видно, что с увеличением продолжительности гс1 и угловой дальности з)з1 перелета (см. таблицу 12.5Л) двухимпульсные кеплеровы дуги приближаются к границе их строгой локальной оптимальности. Оптимальность перелетов между орбитами Земли и Марса при различных значениях гз1 и Чз1 исследована в работах Гравье, Е35 ОптимизАция тРАектОР11и пОлетА к плАнетзп ~ГЛ.
Х11 Маршала, Калпа [2), Минкоффа, Лайона [1), Пельтье [Ц, Унллиса [1]. Область строгой локальной оптимальности двухнмпульсных кеплеровых перелетов между плоскими круговыми орбитами Земли н Марса без выхода на орбиты ИС планет, заимствоваванная из работы Пельтье [1) (с учетом аналогичных данныхв работе Минкоффа, Лайона [11), отмечена на рис. 12.5.2 буквой А, буквой 8 на этом рисунке отмечена область оптимальности трехимпульсных перелетов, а также двухимпульсных и трех- импульсных перелетов с участком движения по начальной или конечной орбитам. Точки соответствуют вариантам, приведенным в таблице 12.5.1, цифрой рядом с точкой указан номер вариапта. Сопоставим область А с аналогичной областью для перелетов между орбитами ИС планет.
Из сказанного в разделе 12.2.2 (см. 100 '„, гул Ряс. $2.5.2. соотношения (12.2.76) — (12.2.85)) следует, что в последнем случае вследствие (12.276) можно ожидать некоторого уменьшения величин г(г) и некоторого соответствующего расширения области оптимальности двухимпульсных перелетов в плоскости (1зп цм). Результаты проведенных расчетов (см. рис. 12.5.2) подтверн1дают этот вывод: варианты № 3, № 7 н № 9, попавшие в область неоптимальности двухнмпульсных перелетов на рис. 12.5.2, на самом деле являются строго локально оптимальными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
