Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 123
Текст из файла (страница 123)
При болыпой эллиптичности орбиты ИС можно воспользоваться приведенными выше результатами для оптимизации схемы перелета в зависимости от деформации функции г(Г) при непрерывном изменении параметра еь ПРИЛОЖЕНИЕ СОПРЯЖЕННЫЕ СИСТЕМЫ Рассмотрим динамическую систему, движение которой описывается нормальной системой дифференциальных уравнений — = — 1(х, р 1). сИ (П.1) Здесь Н),2) (П.З) суть и-мерные векторы линейного нормированного пространства Е", )ь= (~ь~, (ь, ° ., )з ) ~— = Се (П.4) 1(х, р, 1),—, — ы со(Г«сххс хсзр. (П.б) В дальнейшем полагаем, что начальное значение фазового вектора хю=х(~а) и значение параметра (х таковы, что на рассматриваемом промежутке времени С~ фазовая траектория находится в области Г; х(с) нГ т'сыСы (П.б) Пусть х=х*(1) — некоторая траектория системы (ПЛ), соответствуюп1ая начальномУ значению фазового вектоРа х(1е) = хо и некотоРомУ зн~~ен~ю вектора параметров д=р*. Воэмуктеляой траекторией системы (Пд) относительно исходной называется любая траектория системы х=х(1), для которой существует т,шС, такое, что х(д) Фх'(й) (ПЛ] — и-мерный вектор параметров, принадлежащий множеству С линейного нормированного пространства Е .
Вектор х, определяющий в любой момент времени 1 состояние системы (ПН), называют вектором фазовых иерсмеккых или фааовыя вектором. В дальнейшем будем полагать, что вектор х принадлежит некоторому множеству С «Е", а неаависимая переменная (время] с ивменяется на отрезке С~: [ео 1Д. В дальнейшем будем полагать, что для рассматриваемой системы (П.() выполнены условия теоремы существования и единственности решения и теоремы непрерывности и' дифференцируемости решения по начальным данным и по параметрам (см., например, Коддинггон, Левинсон [1].
Л. О. Понтрягин [Ц). Йе останавливаясь на детальных формулировках зтих теорем, будем, следуя Л. О. Понтрягину [1], считать, что правая часть (ПЛ) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по всем компонентам векторов х и р на некоторой области Г«С,ХС„ХСк 7!! СОПРЯЖЕННЫЕ СИСТЕМЫ Разность 6*(с) =х(с) — х (с) называется векторам вовлсущвний фазовых координат. Если норма (П.8) ]! бх(с) ![ ( з Ус сн Сг (П.9) где е — достаточно малое положительное число, так что систему (П.1) люлсио лннеаризовать относительно бх, то вектор бх(с) называется вектором вариаций фазовых координат и удовлетворяет уравнению (см.
Л. С. Понтрнгпн [1)) ~ * = Фбх+ 67. йс (ПЛО) Здесь [ у(с '! !дх ) (П.П) д(с — матрица н)с',н частных производвых —, дхл бс=(бф бсг 6!") — вектор возмущающих сил. Ниже будем рассматривать малые по норме вариации и считать выполненным соотношение (П.9). В дальнейших рассмотрениях важную роль будет играть соответствующая (П10) однородная система х == Фбх.
(ПЛЗ) йс (ПЛ2) (ПЛ5) К(с, с) =К(с, т) =Е, глг Š— единичная матрица, тшбн Если у(с) — некоторое частное решение системы (П.!3), то К(с ) у(т) =у(с) (П.16) Справедливость (ПЛ6) проверяется дифференцированием (ПЛ6) по С с последующим учетом (ПЛЗ) и (ПЛ4). С помощью фундаментальной матрицы К(с, т) общее решение системы (П.10) можно записать в виде формулы Лагранжа — Косиис с бх (с) . К (с, С,) бхв+ ] К(с,т) 6! (т) йт. (П.17) со Системы уравпенпй (ПЛО) и (ПЛЗ) будем называть системами уравнений в вариация~ относительно фазовых координат системы (ПЛ).
Это название соответствует принятому в аналитической механике (см., например, А. И. Лурье [1), Уиттессер [1]) в отличие от применяемого в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см. Л. С. Понтрягин [1]). Пусть К(С, т) — фундаментальная матрица системы (П.13) (Коддсснгтон, Левинсон [1), Харгьсан [1]), удовлетворяющая соотношениям с!К(с, т) ФА'(с,т), (П.14) с!с ПРИЛОЖЕНИЕ 712 Формула (П.!7) может быть получена потолок вариации постоянных Лагранжа. Справедливость соотношения (П.17) устанавливается непосредственно подстановкой (ПЛ7) в (П.10) и использованием соотношений (ПЛ4) — (ПЛО).
Матрица К(«, т), позволя»ощая по известной вариации фазового вектора в момент ге н известному возмущению 61 найти вариацию фазового вектора в любой момент «) ге, может быть названа переходной матрицей, Аппарат переходных матриц нашел шпрокое применение в астродинамике (см. Бвттин [2] и раадел 2.3.2). Наряду с системой (П.13) рассмотрим сопряженную систему (Коддингтон, Левинсон [Ц, Хартман [Ц) ,рт,], (ПЛ8) де где (ПЛ9) — п-мерный вектор сопряженных переменных ф«ибе, значок «т» означает трансяонирование матрицы. Пусть бх — некоторое решение системы (ПЛО).
Составим скалярное произведение (»( бх) - фтбх (П.20) и найдем с учетом (П.10) и (П.18) д [»уЧ*] =»р' ~ х+ т 6 =»р'(Фб +67) — ф'Фб =ф'67 = (»р. 61), д« дг дг (П.2Ц откуда с [»у, бх) [« =] (»р, 67) д«Ъ" й ге ы Бп (П.22) Соотношение (П.22), представляющее собой частный случай формулы Грина (Коддингтон, Левинсон [Ц, Хартман [Ц), было введено в ракетомеханику Блиссом [1] и обычно называется Формулой Блисса (Цянь Сюз-сень [Ц). Если 61=0, то из формулы (П.22) следует, что любые решения систем (П.18), (ПЛ8) связаны соотношением (ф(Е), 6Х(Г)) =(ф(1«) 6Х(«е)) =СОПЗС Улю Г Ы Б«(П 23) где постоянная в правой части зависит от выбора конкретных решений 6х и»у. Сопряженность является взаимным свойством двух линейных систем — система (П.13), в свою очередь, соярижена к (П.,18).
Рассмотрим у)ундаменталъные матрицы решений 6Х = (бхь бх», ..., бх ), (П.24) Ч'=(фьф»,...,ф„) (П.25) систем (П.13) и (П.18) соответственно. Матрицы 6Х и»Р удовлетворяют матрцчным дифференциальным уравнениям — = Ф6Х, дбХ д« (П.28) (П.27) СОПРЯ11'КННЫГ СПСТгж!Ы 713 Отображение (П.29) устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством С,. значений вектора х и множеством Сашб" значений вектора у.
Вариашш векторов х и у при отображении (П.29) связаны линейным соотношением бх=А(у)бу, (П.ЗС) где А(у) является матрицей Якоби преобразования (П.29): Ах АГ А (У) .— —— (П.31) Поскольку якобпан отображения (П.29) бсь ( Ах ] = ) А (у)! ~ О уу Н Су, ~.У) матрица А(У) вс!оду на множестве Ог нсвырождена. Из (П.ЗО) с учетом (П.32) получаем 6У=А 'бх. (П.ЗЗ) Пусть вариация бх удовлетворяет системе уравнений (П.13). Дкфферен. цпруя (П.ЗЗ) по 1 с учетом (ПЛЗ) и (П.ЗО), получим А+ А бзА) бу. (П 34 Обозначим лсрсз !Р. и !Рг векторы, сопряженные к векторам бх н 6! соответственно, связаиньщ соотношением (П.ЗО).
Вектор Ч!а удовлетворя ет системе уравнений (П.!8), а вектор Ч1„как это следует нз (П.!8) г (П.34), удовлетворяет системе уравнении '(у ~Ат И(А ), Ат1рт(Ат) — 1),~, У' Обо!иачпм через 6Х, Ч',- и 6У, Ч" л фундаментальные матрицы реше кнй систем (ПЛЗ), (ПЛ8) и (П,34), (П.ЗЗ) соответственно.
Па основани! (П.28) имеет место матричное равенство Ч'тбХ .—. С, (П.36 где С вЂ” некоторая постоянная невыроягдениая матрица. Поскольку из (П,39 6Х=А 6У, (П.З7 48 В. Л. Ильин, Г К Кузлал (П.35 Если лапа одна пз фундаментальных матр1щ 6Х пли гу, то вторав пз зтпх матриц является фундаментальной патрицсп соответствующей сопряженно» системы тогда и только тогда, когда имеет место соотношение (си.
Код,!ппгтон, Левинсон [!]) Ч"6Х = С, йсгС Ф О, (П.28) которос»рсдставляст собой матричную запись соответствующих скалярньж соотноси пи!1! (1!.23). Здесь С вЂ” некоторая нсвырогкдснная постоянная матрица (зависящая от выбора матриц (П.24) и (П.25)). Рассмотрим, как пз»сиястся решение сопря1кеиной системы прп замене вектора фазовых переменных. Пусть задано непрерывно диффереицируемое взаимно однозначное отобрав!ение между векторамн фазовых переменных х и у (П. Д. !Лудрявцсв [1], т. П): х=р(У), У=у-'(х).
(П.29) 714 ПРИЛОЖЕНИЕ получаем, подставляя (П.37) в (П.36), Чг~АЗУ вЂ” . С. (П.ЗЗ) С другой стороны, фундаменгальныс матрицы 6У и Ч'з также связаны со- отношением 1утбу . — С, (П.39) где матрицы С в правых частях соотношений (П.ЗЗ) п (П.39) можно считать совпадающими, поскольку любыс фундаментальныс матрицы линейного однородного уравнения получаются одна из другой умножением на некоторую невыро;кденную постоянную матрицу. Сравнивая (П.39) с (П,ЗЗ), получаеи, что Чсз=Агчг„ (П.40) н для любойг пары соответствующих друг другу векторов ф и ф, =А'ф,.
(П.41) Непосредственно можно убедиться в том, что вектор фз (П.41) удовлетворяет уравнению (П,35). Таким образом, приходим к следующему окончательному результату: сопряженные векторы ф и фз, соответствующие фазовым векторам з и у, связанным друг с другои непрерывно дифференцируемым невырожденным преобразованием (П.29), выражаготся друг через друга с помощью соотношения (П.41), где матрица А (П.З!) лвлвется якобневой матрнцей преобразования (П 29). Аналогичный резулыат, относящийся непосредственно и задачам оптимизации, приведен в книге В.
С. Новоселова [1). Рассмотрим частный случай преобразования (П.29), когда р компонент фазового вектора остаются нензменныии, а преобразуются друг в друга лишь остальные и — р компонент фазового вектора. Без ограничснпя общности можно считать, что неизменными остаются первые р компонент фазового вектора. Тогда преобразование (П.29) может быть записано как х'=у' 1= 1, 2, ..., р, (П.42) зз=уз(уз+', уг+',..., у"), )=у+1, р+2,..., я, (П.43) где Рз — соогветствугощие компоненты вектора (П.29). Для преобразования (П,42), (П.43) матркца А (П.З1) имеет вид А =(,), (П.44) где  — единичная матрица рХр, а матрица А' (п — р] Х(а — р) инсат впд г дРз '1 А' =- ~ — ~, у, й = р+ 1, р+ 2, ..., я. « ~ ду Транспонпрованная к (П.44) матрица равна Е О« А (П.46) (О „4т Нз (П46), (П.40) н (П.41) следует, что в случае преобразования (П.42), (П.43) компоненты сопряженного вектора, соответствующие неизменным компонентам фазового вектора, остаются неиаменными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
