Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 124
Текст из файла (страница 124)
Что касается компонент сопряженного вектора, соответствующих преобразуемым компонен- 715 ООпуяжкнные систкмы там фазового вектора, то онп по-прежнему находлтся с помощью соотношений (П.40) и (П,41), где матрица А (П.З1) заменяется на матрицу А' (П.45). Рассмотрим вдоль траекторий системы (П.1) некоторый функционал ср(хП), с), (п.47) ксоорьш будем с'штать непрерывно днфференцпруемым по х п с. Варпзщпо:ного функционала для лгобого С = Пх при условии (П.9) можно записать в видо с дсе )т — бх (с) =- (Зга6 ср, бх), с=их Положсыг для с = Пх = Т ш Н, гу(Т) =Згадх(х(Т), Т) (П.48) (П.49) п найдем частноо решение системы (П.18), удовлетворясосцее условию (П.40) Тогда иа (П.22), (П.48) и (П.49) получим 59) =т==(8гадяь Ьх) =т=(Р(Т), Ь*(ТП (~Р, Зх), -)- ) (Зь 6/) дс. (П50) 1.
Формула (П,50), являющаяся частным случаем формулы (П.22), также ооычно называется Формулой Блисса. Формула (П.50) показывает, что влияние начальных отклонений бх (Се) и возмущений 51 на величину ва. рпацшг функционала бгр для т'С = Т ш С< полностью определяется найденным сопря'кснныи вектором ч(с). Поэтому ар(с) часто называют векторфуикцпсй валяния возмущений (см. В.
П. Чарный [3) ). С помощью векторов правых частой 1 (П.З) и сопряясениых поремениых 9 (ПА9) составим фуикпшо Гамильтона спетом (ПА) и (П.18) (см. 1Р, Р. Гантмахер [Ц, А. И. Лурье [Ц): Н(х, ср, С) = () (х, р, С), ср): — ) (х, р, С) р =- ~ ус(х, р, С) грс. (П.51) Используя функцшо Гамильтона (П.51), запишем исходную (П.1) и соиряжонную (П.18) системы уравнений в симметричной гатшльтоновой форме: Их дН дс дс) (П.52) (П.53) 81 дх' Если рассматриваемая динамическая система автономна, т. е. вектор (П.З) явно не зависит от с, то гамильтониан Н (П.51) сохраняет вдоль траектории системы (П.1) постоянное значение: Н= (((х),~) =сопзс.
(П.54) Уравнение (П.1) в резулыате перехода к вектору у с помощью законы (П.20) запишется в виде — 1 '(у))[Н(у) р с) (П.55) Тогда соответствующий гамильтоннан равен Н = (А 1(у)) [Н(у), р, с), ф ):= [А 1(у) ([Р (у), р, с][~су (П.56) 716 пгнппттюние оу ш оф 3фз дН„ (П.57) (П.58) кз ду Можно показать, что уравнение (П.58) совпадает с (П.35].
Между решениями и интегралами исходной системы (П.1), однородной системы уравнений в вариациях (П.13) и сопряженной системы (П.18) имезотся свяви, которые поаволяют по известным решевшш зз пнтсгралам системы (П,1) находить решения системы (П.13) п сопряженной системы (ПД8) (см. Бернс [Ц, Биркгоф [Ц, А. И.
Лурье [Ц, Пуанкаре [Ц Уиттекер [Ц, В. И. Чарный [3]). В свою очередь известны преобра.ювания, переводящие решения систем (ПД3) и (П.18) друг в друга (Бпркгоф [Ц, В. И. Чарный [3]). Использование этих связей позволяет эффективно находить интегралы, частные решения, решения и фундаментальные системы решений сопряженной системы (Пйб). Полученные здесь результаты могут быть заметно усилены при переходе от систем общего вида к гамильтоиовым автономным системам (см.
В. И. Чарный [3]). Онп находят широкое примепенвс при отыскании решения сопряженной сястемь в ньютоновском гравитационном поле. (С. В. Дубовский [1, 2], Лайон, Хэнделсмен [Ц, Пауэрс, Тэпли [Ц, В. И. Чарный [3]). ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ а — большая полуось эллипса, действительная полуось гиперболы. а — вектор ускорения КА от силы тяги. с — скорость истечении газов из сопла двигательной установки.
е — эксцентрнситет конического сечения е — орт вектора тяги. еь — орт й-го импульса скорости. 6 — функционал вариационной задачи Майера оптимизации перелета КА. б — вектор гравитационного ускорения. Н вЂ” функция Гамильтона (гамильтониан); высота над поверхностью планеты. й — постоянная пнтеграла энергии для кеплеровой траектории. 1 — характеристическая скорость перелета в однороднол1 поле тяготении (гт. Ч1П, 1Х). 1 — наклонение. 1 — орт, нормальный к плоскости планетоцентрнческой гиперболы; с конца орта 1 движение по гиперболе видно происходящим против часовой стрелки. )т — орт, дополняющий орты 1 и 1, до правой тройки. 1 — орт, направленный из центра тяготении в перицентр планетоцентрической гиперболы.
— орт, нормальный к плоскости орбиты ИС; с конца орта 1 движение по орбите видно происходящим против часовой стрелки. )т — оРт, ДополнЯюЩий оРты 1 и 1 До пРавой тРойки. 1,— орт, направленный из центра тяготения в перицентр орбиты ИС. К(д $), б(г, й) — функции влияния ускорения от тяги на радиус-вектор п вектор скорости аппарата соответственно в однородном поле тяготения (гл. ЧП1, 1Х). К(Г, т) — фундаментальная (переходная) матрица. й — постоянная интеграла площадей для кеплеровой траектории.
Ь вЂ” функция Лагранжа (гл. Ч1, ЧП). Мо Мл — начальное и конечное многообразия, которым принадлежат фазовые векторга (~о гоЧ1 ) и (1л, гл, Чм), соответственно. т — масса аппарата; масса планеты или Солнца, лть, ть — масса аппарата в начале и конце й-го активного участка; до и после й-го импульса скорости, соответственно. йю = г ь — т — расход ьзассы аппарата на й-ьг активном участке; в й-м импульсе скорости. ,Ч вЂ” количество активных участков, импульсов скорости на траектории.
л — отношение радиусов двух компланарных нонцентричесних круговых орбит (внешней к внутренней), отношение длин радиусов-векторов конечных точек кеплеровой дуги перелета (л)1). 218 основпык онозначкнпя и — вектор тлговоорулгепиости КА. р — фокальный параметр конического ссчения. р — вектор сопршкенных к г переменных. р, — сопряженная к е переменная. д — характеристическая скорость аппарата прл коночной тяге двигателя; характсрнстичоская скорость гелиоцентрического участка полета. Ьо» вЂ” приращение характеристической скорости па й-и активном участке; при 1»с»»импульсе скорости.
Л вЂ” средний радиус планеты; радиус круговой орбиты. г — радиус-вектор центра масс КА относительно начала некоторой инерцнальпой системы координат; гслиоцснтрический раднус-вектор центра масс КА; гслпоцентрпческий радиус-вектор центра масс планеты. 㻠— радиус-воктор КА в момент сообщения Рлго пмпульса скорости.
г»(г) — радиус-вектор аппарата при его свободном двп кении з однородном гравитационном поле (гл. ЧШ, 1Х). Аг(Т) — вектор конечного промаха по радиусу-вектору аппарата (гл. ЧП1, 1Х). ' з — вектор сопряженных к Ч переменных. Т вЂ” продолжительность полета; заданный момент времени.
Т вЂ” вектор тяги аппарата. Т* — суммарная продолжительность перелета Земля-планета-Земля. с — время. г~(1=0, 1, 2, 3) — даты старта с орбиты ИСЗ, прибытия па орбиту 11С планеты, старта с орбиты ИС планеты, прибытия на орбиту ИСЗ нлн подлета и Земле, соответственно. Г» — момент сообщения КА З-го импульса скорости. Г», гь — начало и конец Й-го активного участка, соответственно. гы(0=01; 23) — продолжительность перелета орбита ИСЗ вЂ” Луна, орбита ИСЗ вЂ” орбита ИС планеты (»1=01); Луна — Земля, орбита ИС планеты — Земля (0=23).
Ьгь = гь — г~, — продолжительность я-го активного участка. — + Агз — время ожидания па орбите ИС планеты назначения. 1) — вектор скорости движения центра масс планеты. и — аргумент широты. Ч вЂ” вектор скорости центра масс аппарата. Чх, Чз+ — вектор скорости КА непосредственно пород и сразу после 1»-го импульса скорости, соответственно. Ч„ш — вектор скорости движения КА по круговой орбите ИС. Ч„» — вектор планетоцентрической скорости КА на сфере влияния. Ч»(г) — вектор скорости аппарата при его свободном движении в однородном гравнтацвонном поле (гл.
ЧП1, !Х). )»г — первая космическая скорость. ЬР— характеристическая скорость маневра КА. ЬЧ(Т) — вектор конечного промаха по вектору скорости аппарата (гл. ЧП1, (Х). АЧ»»(»у=О(; 23) — характеристическая скорость двухлмпульсного перелета орбита ИСЗ вЂ” орбита ИС планеты (0=01), орбита ИС плапеты — орбита ИСЗ (б = 23) . Ауз — сул»мариан характеристическая скорость. ЬЧ вЂ” импульс скорости. зд — матрица направляющггх косинусов ортов»,, »„, »„относительно осей координат л»у,з». а,(1 = 1, 2) — углы между нлоскостыо орбиты Луны и плоскостямп перелета Земля — Луна (1=1) и Луна — Зсмчя (1=2).
(3 — угол»ге»»»ду радиусом-некотором р точки выхода клп схода на орбите ИС н вектором скорости КА на сфере влияния Ч~е, 0<()<Я. 719 ОСНОВНЫН ОБОЗНАЧЕН!1Я Р вЂ” грашгчпос значение угла 0, соответствугощее пересечениго ороиты ИС в перицентро планетоцентрической гиперболы КА. А>, А,, Ао А, — параметры, определяющие взаимное расположение двух близких околокруговых орбит (см. соотношения (7.2.3], (7.2А), (7 3 1) гл.
Ч1,'Ч11). ' б — угол между векторамн Ч,а л 1„(гл. Х, Х!). ц — истинная аномалия. т),(0=01; 23) — угловые дальности перелетов Земля — Лупа, Зомля— планета (>! =О1) п Луна — Земля, планета — Земля («1=23). 0 — угол наклона вектора скорости КА Ч к местной трансверсали. 0 — истинная аномалия точки на орбите ИС; функция переключения. к -- отношение фокального параметра орбиты ИС ре к действительной полуоси планетоцентричоской гиперболы а (гл. Х вЂ”:Х11); для круговой орбиты и = р/а, где р — радиус орбиты; прп р,е= оо для круговой орбиты х= = Ч~~,/Г~~ . )г — неопределенный множитель Лагранжа; долгота в сферических коордяпатах. д — гравитационная постоянная планеты.
р — планстоцентрпческий радиус-вектор КА; радиус-вектор точки на орбите ИС. р„> — радиус сферы влияния планеты. о — параметр, характерующий ориентацию вектора Ч,а относительно плоскости орбиты ИС, о = з!п>«к, где и — угол между векторами Ч«а и 1« (гл. Х вЂ”: Х!1). т — орт трансверсалп. «р — полярный угол в цилиндрической системе координат;широта в сферических координатах. )( — угол между гелвоцептрнческимн радиусами-векторамп Земли и планеты (о < т < 2 я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
