Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 109
Текст из файла (страница 109)
раздел 12.4.1). Предположим, что в задаче (12.3.22) 12 = спс+ спз=еш(п. (12.3.32) В этом случае при 1О = сопз1 на основании сформулированного аС признака, поскольку — ) О, решается задача две (СТРх, 12, 55 =5 шах). а 1001 ПеРЕЛЕТЫ С 01ИНИМАЛЬНЫЗ1 ЧИСлсз1 ИЫПУЛЬсов нз По тогда из (12.3.4) н (12.3.8) следует, что прн ЛУ, = сопз1, Г, = сопз« решаются задачи (ЛУе, 8е, Те=>п1ах) (12.3.34) нли (ЛКе, 1е, Лге=~ шах). (12.3.35) Вернемся к исходной задаче, которая, как это ясно из физических соображений, эквивалентна задаче (Л0 е Л1е Те =Ф ппп). (12.3.36) Поскольку Тг = ге+ Лге то исходная задача эквивалентна задаче (ЛКе, Лге, ~в=«ш!и).
(12.3. 37) Сравнивая (12.3.37 н (12.3.35) н снова применяя полученный выше признак, приходим к следующему выводу: для того чтобы задача (12.3.22) решалась для Ье =0. шоп, необходимо и достаточно, чтобы в полученном решении зависимость Л11= Мо(1,) при да«Е ЛРе = сопз« удовлетворяла условию, ) О (рис. 12.3.6, б). Аналогично можно доказать следующее утверждение: для того чтобы задача (12.3.22) решалась для 10 =. шах, необходимо и достаточно, чтобы в полученном решении зависимость Мо = длг = Лго(10) при Л Уо = сопз$ удовлетворяла условию — ( О Е (рис.
12.3.6, в). Примеры использования полученных результатов приведены в разделе 12.4.1. Перейдем к оптимальным перелетам на внутренние планеты Солнечной системы. При перелете Земля — внутренняя планета— Земля аппарат в гелиоцентрическом движении обгоняет Землю. Поэтому в формулах (12.3.4) и (12.3.8) й берется со знаком « — 0, в результате чего получим ЛС Че иоое е 010 111 (12.3.38) (12.3.39) — к 100 011 ЧŠ— 0111Е 2п Те е й 010 — 111 100 — 101 Укажем простой прием, сводящий формально задачу о перелете на внутреннюю планету к задаче о перелете на внешнюю 6С4 оптгышзлция тгквктогисс полгтх и плане зм планету. Переписывая (12.3.38) и (12.3.39) в виде ип хп Ч в сзосв 2л Е мс — мс асс сзо в — сз,с — ув сзс сзо 2в й —" ыс — сзс (12.3.40) и вводя обозначения Т, =- — всю Лсв =- — Т, г.= Ьс — ис ' (12.3.41) асо осс е'с осо можем представить (12.3.38) и ('!2.3.39) так: "+И,„„ сзо мс Чх — сО1сх Т,.= ' ' +йт.„„.
сзо (12.3.42) (12.3.43) Поскольку ыз ) есс, соотношения ('12.3.42) и (12.3.43) формально не отличаются от соотношений для фиктивного перелета внутренняя планета — Земля — внутренняя планета (и ) 1), соответствующего заданному перелету, а величины Мс и Тс играют для етого перелета формально роль времени ожидания и суммарного времени перелета.
Очевидно, что между исходной (рассматриваемой в виде (12.3.36)) и фиктивной задачами об оптимальных перелетах имеет место следующее соотношение: исходная задача фиквсивная задача сс'сгв =- сопвс, у' = сопвсв.-О, (12.3.44) М~ ~ шах ( О. Л сгв = сопв$, Лсв = сопят )О, Тв.=> ш1п; Такое сведение исходной задачи к фиктивной позволяет применить для решения последней практически целиком всю методику, изложенную выше. В частности, повторяя для перелета Земля — внутренняя планета — Земля приведенные выше рассуждезасв ния, получим те же критерии выбора ехсг сс с заменой — на дс — Но поскольку Тз = †А, для перелета на внутреннюю плах дсв нету получаем следующий результат: чтобы задача (12.3.22) решалась для сс =.
шш (сс =с- шах), необходимо и достаточно выполаасх ) адс, пение для полученного решения условия вс ( вс З 2хз! пкгклкты с минимальным числом июгптльсов 615 Нримеры практического использования полученных результатов приведены в разделе 12.4.2. Обобщим постановку задачи На оптимизации перелета Земля — планета — Земля, заменяя изопериметрическое условие (12.3.15) ограничением величины Л12 снизу: Л~в = Л~ю! (Рюи зю!) + Л'22(Р22 з~з) + йТю. ) Люл = сопзз. (12.3.45) В атом случае задача может быть сведена к двум задачам: рассмотренной выше задаче Па (12.3 14) — (12.3.16) с заданным временем ожидания п к изопериметрпческой задаче с незаданным вро22енем ожидания Тк = сопзФ, ЛКз=- ш1п (12.3.46) илп зквпвалептпой задаче Тк пик, ЛЪ'х = сопзС, (12.3.47) в которой условие (12.3.45), по существу, не учитывается, а требуется прп некотором 72 лишь выполнение неравенства Лгз) О.
(12.3.48) Вводя вместо (Рю!, ею!) и (Рзм еюз) в качестве независимых переменных (рю!, ЛУю!), (Рюз, ЛУ22), перепишем задачу (12.3.47) в виде Л'!'л = Л'2'"ю! + Л'г'22 =- сопз1 = Лрт, (12.3.49) Тв = Т22(Рюи Лрю!) + Тюз(рюз* Лрюз) !-)2Тсин=2-п22п (12 3 50) Используя метод неопределенных мнояителей Лагранжа, запишем необходимые условия оптнмальпостп в видо (12.3.51) ЗРю! ЗРМ (12.3.52) Из (12.3.49) — (12.3.52) следует, что оптимальный перелет Земля — планета — Земля с незаданным временем ожидания может состоять только нз таких перелетов, для которых Тм(рм, Лрю! = сопз1) н Т22(Р23, Л)'22 = сопзю) достигают порознь минимума по Рм и Р23 соответственно. На основании сказанного получаем следующий алгоритм нахождения решения системы (12.3.49), (12.3.50) на ЭЦВМ: Двигаясь вдоль линип (5.1.37) ЛУю!(Рю!, зю!) = сопз1, определяем точку (рм, ею!), в которой достигается пипТю2(ЛИ„) = =пил Т„,(рюп ам) (Л1'„=- сопзС, (Ро!) 616 оптпынзАцня тРАккторив полктА к ЦЛАнктАМ ~гл.
хц и аналогично для Л 'г'11 = Л 1'" — Лро1 = сопзс находим пцн Тоо (Лргз) = ш1п Тра(рип егз) ~ Л рггз = Сепзс. ("гз) В результате получаем функцию одной переменной Тт(ЛУ„) = пшг Тог(ЛУог)+ ппп Тоз(Л)'х — Л)"ог). (12.3.53) Изменяя Л р'ог в допустимом диапазоне Л г гом ~~ Л~ о1оо Л~ х Л( гомг ((2.3.54) находим оптимальную величину Лус1„1, доставляющую минимум (12.3.53) (12.3. 55) Т1; (Лггогорг) = шгп Тх (Л~ о1) и все параметры соответствующего перелета. Если при этом Лгз = Лго1+Л1гз ) О, то задача решена.
Если же Л8т(О, то берем наименьшее А. ) О (перелет на внешнюю планету), при котором Лог = Лгог+ Мз+йТ. ° ) О, после чего задача также решена. о Заметим, что если Лрх) Л'гг*„,„, то романовские полуэллипсы не могут входить в состав оптимальных перелетов с незаданным временем ожидания. В самом деле, поскольку прн Л'гго1 = дгог = Л 'гг„,м для гомановского перелета ~ — ~ = оо (что следует 01 из соотношений раздела 5.1.1 и геометрии гомановского перелета), а для Лрю = ЛЕТ вЂ” Л)г„,„) ЛИ„„, ~ да" ,~( ~, ра- 23 венство (12.3.52) выполнено быть не может. Установим связь между оптимальными перелетами с заданным и с незаданным временем ожидания. Предположим, что при некотором й для одного и того же маршрута при одной и той же величине ЛИ, существуют перелеты как с заданным, так и с незаданным временем ожидания.
Поскольку семейство перелетов,на котором решается задача (Л'ггг, Тг =о-пцп), является более широким, чем аналогичное семейство ДлЯ заДачи (Л '1гг, Лг„ Т, =о-шгп), то очевиДпо, что пРи ЛР'м = сопзо ш1ТА ДостигаетсЯ на РешениЯх задачи с незаданным временем ожидания. Из сказанного следует, что если рассмотреть семейство решений зкстремальной задачи с заданным вРеменем ожиданиЯ Т, = Тг(Лггм, Лтг = сопзС) с параметром Лг,, то зкстремаль соответствующей задачи с незаданным временем ожидания Т, = Тг(ЛЪ'г) является для первого семейства некоторой предельной линией: это либо огибающая (см. рис. 12.4.9, 12.4.11), либо линия, отделягощая область существования решений задачи (Лггю Лг„Тг =-ппп) от области, где ре- з гьа! ЛВРЕЛВты С э1ИНИЫАЛьныа! ЧИСЛОМ импуЛьСОВ 617 щения не существуют, либо, наконец, линия, разделяющая решения разных типов (см.рис.12.4.21).
Отсюда, в частности, следует, что если в заданном диапазоне значений при А!а ) 0 с ростом АГа при любом АР, = сопз1 Т, монотонно возрастает, то при этих значениях АР, перелетов с незаданным временем не существует, так как предельной линией для соответствующего семейства экстремалей является экстремаль Ааа —— О. Примеры оптимальных перелетов с незаданным временем ожидания приведены в разделах 12.4.1 и 12.4.2. Рассмотрим теперь задачу 1а оптимизации двухимпульсного перелета орбита ИСЗ вЂ” орбита ИС планеты, используя тот же подход, что и для задачи 11а. В данном случае орбиту ИС планеты, как и орбиту ИСЗ, можно считать, в отличие от задачи Па, эллиптической. На основании соотношений (12.2.10), (12.3.12) и свойства изопериметрии задача 1а эквивалентна следующей задаче: Найти ро1, ею, доставляющие минимум величине га! = !о1(ра! еа!)-~ш!и (12.3.56) при условии Ара!(Роа, еа,) = А1~о(р „ею)+ А11,(рап ею) = сопз1= = М'о! (12 3.57) а ь Ага!))= ш!П~аа(ра1 еш [Раа, АУо1)) (' ) ро1~ [р 1„(А$ о!) Ра„„(А У а!)) (12 3 56) где р,„[др" !) Р,„[АРо!) определяются уравнениями (5.1.50), (5.1.51) соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
