Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 108
Текст из файла (страница 108)
раздел 12.4.2). Практически всегда )й) ( 1. Из (12.3.4) следует пегелеты с миниылльным числом импульсОВ 607 » »аз1 Поскольку каждому моменту времени (внутри периода длиной Т,„„) соответствует вполне определен«1ое взаимное угловое положение планет, то задание величины уз приближенно (с точностью до допущений, принятых относптельно гелиоцентрического движения планет) определяет дату начала перелета (см.
раздел 12.3.2). Последующее календарное «расписание» движения аппарата по- ЛУчаетсЯ по известным значениЯм 1«1, й«, и гзз. ОДнако пРп Рассмотрении <«плоских круговых» перелетов дата старта может быть исключена из рассмотрения, а связь между данным перелетом и календарными датами для моментов О, 1, 2 и 3 может быть устаповлека непосредственно при решении задачи для пространственной эллиптической модели. Таким образом, наличие угловой симметрии в упрощенной постановке сообщает всем результатам «универсальность», в то время как решение задачи с учетом эллиптичпостн п наклонения всегда «привязано» к конкре гпым датам.
Всюду в дальнейшем все линейные величины относим к среднему радиусу орбиты Земли г„ а скорости — к средней орбитальной скорости Земли 51,. Остальные безразмерные величины вводим в соответствии с общими соотношениями (1.2.8). Кеплеровы дуги перелетов Земля — планета и планета — Земля полностью определяются заданием эксцентриситетов и фокальных паРаметРов (безРазмеРных) е«1, Рю и езз, Ры соответственно.
Соотношения (12.3.4) и (12.3.8) для дальнейших рассмотрений удобно продставить в виде Ых = Лз«1(р«1, е«1) + йз«з(р«з, езз) + 7«Т,„„, (12.3.10) Т, = Тт (ро1, ео1) +Тзз (рзз, езз) +йТ. „(12.3.11) где ЛГ«1, «»«зз и Т«1, Тзз совпадают, соответственно, с первыми членами правых частей равенств (12.3.4) и (!2.3.8) с заменой индекса З на 01 или 23. При заданных р, е определяется вектор У,«на сфере влияния планеты и с помощью соотношений, приведенных в разделе 5.1.2,— импульс йу' на орбите ИС.
Характеристическую скорость перелета орбита ИСЗ вЂ” орбита ИСМ можно записать в виде С«1 == «»'«'«1(р«1, е«1) = й)'з(рзь ею) + О)11(р«1, с«1), (123.12) и апалогично для перелета орбита ИСМ вЂ” Земля Сзз — = «»'«зз(ргз, егз) = «»'«'з(рзз, езз) + Юз(рзз, езз), (12.3.13) где «»«'„1= О, 1, 2, 3,— импульсы на орбитах ИСЗ (1 = О, 3) н ИСМ (1 = 1, 2). ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА К ПЛАНЕТАМ 1гл. хп сов найти такое сочетание маршрутов перелета «туда» и «обратно» и такие параметры соответствующих кеплеровых дуг (рог, еог) и (ргъ егз), для которых суммаркая характеристическая скорость была бы минимальна: Агх = А» ог(рог еог) + А1гзз(ргз, сзз) =Э шгп. (123 16) Отметим, что соотношения (12.3.14) — (12.3.16) симметричны относительно индексов 01 и 23.
Поэтому, если для поставленной задачи расписать необходимые условия экстремума, то симметричные перелеты, состоящие из двух одинаковых кеплеровых дуг перелета Земля — планета и планета — Земля, всегда удовлетворяют условиям стациокаркости. Однако, как показывает анализ, оптимальные четырехимпульскые перелеты Земля — пчаиета— Земля оказываются в подавляющем большинстве несимметричными (см. разделы 12.4 1 и 12.4.2). В этом случае решение задачи 11а может быть получено лишь численно с помощью ЗЦВМ. Оио сводится к решению систем трансцендентных уравнений вида Т„(Р»м е,г) = сопз$ = Т«1, АЕ,„(роп е„) = сопя« = Агог (12.3.17а) зз (Рзз' езз) = х — ог — " син (12 3 176) АГЗЗ(РМ Егэ) '= Агя Агаг )«Тини ) с последующим поиском минимума функции А)гв (Тог, Аеог) = АРог(Тог, Асог) + + Ас зз1,ТЕ Т01 )«Тонн~ Асз сгс01 )«Тонн).
(12.3.18) Преобразуем задачу к такому виду, при котором необходимость в решении систем сложпых трансцендентных уравнений вида (12.3.17) полностью отпадает. Рассматривая ка основании (12.3.4) и (12.3.8) два соотношения (12.3.14) и (12.3.15) как систему ли- Задачу 11а об оптимальных перелетах Земля — плапета— Земля можно сформулировать теперь следующим образом: при заданной продолжительности перелета аппарата Тг = Т„(р«м е„) + Т„(р„есз) + )сТс„„= сопяс = Тв (12,3.14) и при условии, что КА остается па орбите ИСМ в течение заданного времени Агог (Рог еог) + Аггз(рзз, егз) + ЙТ~~~ — — - сопя$ = Агв, (12.3.15) 9 12.2~ пеРелеты с минимАльныы числом иззпульсов 609 нейных уравнений относительно Ч, и Га, можно всегда (определитель систеиы Л = 1/(озо — 011) ча О) заданным Л22, Тв поста- вить в соответствие Ч, Г по формулам Чз = 010Те — 011ЛГŠ— 2лй, Гз == Те — ЛГе.
(12.3.19) Таким образом, система двух равенств (12.3.14) и (12.3.15) эквивалентна системе равепств Чг Ч01 + Ч' 3 сопз~ Ч ГЕ = а01+ ГЗЗ = СОПЗ$ == 21;, (12.3.20) а изоперииетрическая задача 111а (12.3.14) — (12.3.16) — задаче Лз в — — Л 001+ Лаза =т шзп, Че Чоз+ Чзз Че Гз 201 + Гзз Ге' (12.3.21) Но последняя, опять-таки на основании свойства взаимности изо- периметрических задач, эквивалентна задаче, определяемой следу- ющей системой соотношений: Л1 е Л1 о1+Л1 аз Лаз: Чг = Чю+ Чзз = Чх, Г, = 101 + Гз, =Э ехтг, (12.3.22) где смысл экстремума гз может быть установлен на основании анализа свойств конкретных семейств перелетов Земля — планета — Земля (см. ниже и 9 12.4).
Определение перелетов, удовлетворяющих двум первым условиям (12.3.22), сводится к пахождению корней системы уравне- ний Л1'о.(ром ео1) = Л1'01 Лрзз(р,з, еи) = Л~'2 — Л(го1 * * ) (12.3.23) Чю(ром ео1) = Чоп Чзз(рзз езз) = Че Ч01. Но на основании соотношений (5.1.37) и (5.1.64) корни этой системы находятся среди корней уравнения четвертой степени относительно р 2+ зм+ (ц, Ь,)р+1 — Ьо — — О. (12 Используя для решения уравнения (12.3.24) один из регулярных методов, например иетод Феррари (си.
А. К. Сушкевич 11) ), ~разу же можно найти ро (17 = 01, 23) и, следовательно, ее, удовлетворяющие двум первым условиям (12.3.22). 39 В. А. Илько, Г. Е. Ктзмаа б10 оптньшзация тганктогни полита к пллнвгаы [гл. хчг Область допустимых значений рц, ец (11 = 01, 23) определяется неравенствами (5.1.4), (5.1.5) и для перелета Земля — Марс показана на рис. 5.1.2.
Отбор корней уравнения (12.3.24), имеющих физический смысл, производится при помощи следующих критериев, полученных на основе рассмотрения свойств изознергетических Ь)ге=сон й (см. раздел 5.1.2) и изогональных т1ц= = сопзс (см. раздел 5.1.3) линий на плоскости параметров р, е (рис. 12.3.4)*). гмг(у) рг«ьиюд, ««Я) ау дипел"),г«,лагг д«а«Ь71,У т ( цг~ г! гl (ргг Рис. 12.3.4.
Маршруты А и 71 (рис. 12.3.4, а): шах(р,„(Л)г), р„,„(т1)) < р < ппп(р „,(Л(г), р,,(П)). (1' 1.25)' Маршрут В (рис. 12.3.4, б): а) агссоз — <т1,,(180', р, (т1) ~:. р < р „(гав'); (12.3.26) б) 180'<т111< 360', Р ьо(Л)г)<Р~(Р та(т1). (12.3.27) Маршрут С: Для 0 < т1ц < 180' ограничение на р совпадает с (12.3,27), а для 180'<т)г <360' — 2агссоз)г Цп — с (12326). Перелет с угловой дальностью пц = 180' является особым; для него р = р„,„(см. раздел 5.1.3, соотношения (5.1.68), (5 1.81)). «) Приведенные критерии справедливы при и)1, т. е. для перелетов на внешние планеты Солнечной системы.
При исследовании перелетов на внутренние планеты для сохранения налагаемой методики бее из«шненпй удобно рассматривать «обращенные«перелеты внутренняя планета — Земля (см. % 5,1). пвгвлвты с минимлльнь1м числом импульсов 611 О 12.3] В этом случае маршрутам А и .0 соответствует гомановский перелет. Экспентриситеты кеплеровых дуг маршрутов В и С находятся путем подстановки значения р = р„„, в уравнение изоэнергетических ливпй ЛУо = сопзо (5. 1 .37 ) . Из вида графиков рис. 12.3А следует, что для маршрутов В и С при ЛУе = сопзц це = сопзо определяется не более одного перелета, а для А и Р— не более двух.
Решая уравнения (12.3.23) при заданных ЛУь-, Чх, представим 1о в виде функции ЛУо1, т~ 1.' 1в (ауоп з)о1) == ГазМоь Чоз) + ~оо (Л~ т — ЛУо1, Чх — Чоз). (12.3.28) Далее определение оптимального перелета сводится к нахонздению известными методами на плоскости (ЛУо1, цо1) точки, в которой 1- (12.3.28) достигает соответствующего экстремума.
Оценки показывают, что для расчета одного варианта оптимального перелета проведенное преобразование снижает затраты машинного времени по сравнению с решением задачи в рамках исходной постановки не менее чем на один-два порядка. Основная трудность, связанная с использованием системы (12.3.22), — необходимость установления того, какой именно экс- тРЕМУМ вЂ” ШаХ ИЛИ П1Ш вЂ” СЛЕДУЕТ ПРИПИСатЬ 1з. Сформулируем следующий простой признак установления смысла экстремума при изопериметрическом переходе: Экстремальная изопериметрическая задача (х = сопз1, у —: ех1г) переходит в задачу (х у э — ехгг, у =- сопз$), (12.3.30) если во всем диапазоне изменения функции х на найденной экстремалн задачи (12.3.29) у = у(х) — >О.
Если же на экстремалу ли — ( О, то задача (12.3.29) переходит в задачу оу (х=эех1г, у = сопз$). (12.3. 31) Для доказательства рассмотрим экстремаль задачи (х = сопз1, У ~ шзп), для которой — ' > О (рис. 12.3.5, а). ву В этом случае множество значений функции у при х = сопа1 Расположено выше экстремали у =" шш (соответствующая область на рис.
12.3.5, а заштрихована). Но из этого сразу же следует, что при у = сопз1 точки экстремали соответствуют условию х ~ шах. Аналогично рассматриваются остальные случаи (рис. 12.3.5, б, в, з). Зуо 312 оптпъп1зпцня тРАвктоР1ы1 полвтА к плАнитАы [Гл. хп Применим полученные результаты к рассматриваемой задаче Па оптимизации перелета Земля — внешняя планета — Земля.
Из физических соображений ясно, что при Ьр и = сопзь для опти- МаЛЬНЫХ ПЕрЕЛЕтОВ гх МОНОТОННО раотЕт С рОСтОМ 55п (рно. 12.3.6, а) спс г,с.сппсб У ппп1 555 1х=спп51,У нсз) У РЛ51 у=СОП51 СОПОС У1 Сх=спп5',. у пп~п) Г) сх=спп55 у пппх) у- Опа =сспсс Х СОСО Х=СОП5 х Рис. 12.3.5. ,15' - спп51 ВУС= ОПОС р П О) 4 Рис. 12.3.6. (12.3.33) (это непосредственно подтверждается и расчетами, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
