Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 103
Текст из файла (страница 103)
(2.2.69) ), Итак, задача 1 сводится к двухточечной краевой задаче для векторов фазовых (г, Ч) и сопряженных (р, з) переменных, удовлетворяющих системам уравнений (2 1.18), (2.1.19) и (2.2.21а), (2.2.22) соответственно. Для определения двенадцати фазовых и сопряженных переменных и моментов времени го и 1~ имеем четырнадцать скалярных условий (12.2.3), (12.2.4), (12.2.10), (12.2.34), (12.2.35), (12.2.36) . Любое решение этой краевой задачи, удовлетворяющее условиям строгой локальной оптимальности, приведенным в разделе 2.2.1, определяет оптимальный импульсный перелет орбита ИСЗ вЂ” орбита ИСМ. Трудность получения решения рассматриваемой краевой задачи обусловлена весьма сложной структурой соотношений (12.2.34) — (12.2.36) относительно фазовых переменных н моментов зо и гь Из (12.2.36) видно, что краевые условия в начальной и конечной точках перелета должны рассматриваться совместно.
Входящие в соотношения (12.2.34), (12.2.35) векторы ягабйу,(Ч,оз), как зто следует из результатов з 10.2 и з 10.3, определяются достаточно сложными соотношениями и в общем случае могут быть найдены лишь численно (см. ниже). Практически может идти речь лишь о численном решении поставленной краевой задачи. Для применения в этом случае стандартных итеративных процедур решения двухточечных краевых задач необходимо иметь исходное приближенное решение задачи, которое, в свою очередь, должно быть получено независимо, вне рамок рассматриваемой краевой задачи.
Рассмотрим теперь задачу П. Вариация функционала (12.2.20) такова: » )2,2) ПЕРЕЛЕТЫ ОРБИТА ИСЗ вЂ” ОРБИТА ИС ПЛАНЕТЫ вЂ” ЗЕМЛЯ 555 Учитывая, что 1) перелеты Земля — планета и планета — Земля в задаче П связаны лишь условиями (12.2.18) и (12.2 19), 2) вид вариаций 6Са) и 6С22 с точностью до индексов одинаков, 3) условие трансверсальности (12.2.23) получается из равенства бг7а) — — 0 после исключения в нем членов, связанных с промежуточными импульсами, и вариаций 6Ч+а и 6Ч) (см. раздел 2.2.1), яа основании (12.2.23) и (12.2.37) запишем условие трансверсальности для задачи П в виде бб»ра(Чсфа) + На бза (Ра, бга) (аа,бЧа ) + + ббр» (Чсф )) — Н) 61» + (Р), 6)») + (з) р 6Ч~ ) + + 661 2 (Чсф 2) + Н2 бга (Р2, бг») — (З2, 6Ч2 ) + + 661»з (Чсф3) — Нз бгз+ (Рз, бга) + (зз, 6ЧЗ ) = О. (12.2.38) Преобразуя (12.2.38) аналогично тому, как это сделано в случае задачи 1 с соотношением (12.2.23), и учитывая связи 622 — бга — — О, (12.2.39) бг — 61 =О, (12.2.40) получим для задачи 11 соотношения (12.2.34), (12.2.35) и ягаббр»(Ч,фз) — аз = О, (12.2.41) 8габс»'р»а(Ч,фз) + аз = О.
(12.2.42) Вместо же (12.2.36) имеем Рта)1 ЬУ, в + На — (РР П ) + ) — и,†.р )р-, ° ) / = с, )122»») "в/ ((»-»»р„— ",) — с, с)р-,,с,)) с ((»»»». ") с Аà — )ра,с) / = с. )»2»»») р» / Таким образом, для определения 24 фазовых и сопряженных переменных в моменты й и четырех дат г», » = О, 1, 2, 3, связанных условиями (12.2.18), (12.2.19), имеем 26 скалярных краевых Условий (12,2.3), (12.2.4), (12.2.11), (12.2.12), (12.2.34), (12.2.35), (12 2 41) — (12.2.44). Применительно к краевой задаче 11 остается в силе все оказанное относительно краевой задачи 1.
При этом краевая задача П смазывается, естественно, намного сложнее краевой задачи 1. боб ОПТПТП1ЗАЦИЯ ТРАККТОРИП ПОЛЕТА К ПЛАНЕТАМ 1гл. хп Перейдем теперь ь задаче П!. Поскольку в функцпонале (12.2.22) член ЛУз — — О, условие трапсверсальности для задачи !П совпадает с (12.2.38),если в этом соотношении положить базгз=О, Однако, в отличие от задачи П, вследствие условия (12.2.21) ва- риация ЬЧ,ф з теперь несвободна. Переписывая соотношение + (12,2.21) в виде Ирзз = (Чз+ — ЪЪ(!з) Чз В в (!з)) .—.= сопзг (!2.2.45) и варьируя его, получим аЛ3, 1Ч ф з, 6Чз~) — (Чрез, — ~ ! ) баз -= О.
Таким образом, вариации б!с, 6!з и ЬЧз связаны соотношениями (12.2.39), (!2.2.46). Что касается остальных вариаций, то они не отлпчшотся от соответствующих вариаций в задаче П. В результа- те для задачи П! получим соотногпення (12.2.34), ()2,2Л5), (12.2.41), (12.2.44) и соотношение ! (а аа „вЂ”,! Нн, — ар,и )! аа,,- г,~ 1а + ~ — Нз + (Рз Пе)]1*6!з-г(вз 6Чз ) = О (!2 2 41') Из ('!2.2.39), (12.2.46) и (12.2.47) следует, что в качестве неза- висимой вариации целесообразно взять ЬЧз Исключая б!о н бгз с помощью (12.2.39) и (12.2.46) из (12.2.47), получим, прправ- пнвая нулю множитель при бЧз+: ! ~( .ар ., Ф) нн,' — Рр1.з.Р);- Р 1 г .Р $ — нг ' (аг,н )$, )Ра — (Ра, +! =Р.
1122ар) "О /1, Таким образом, в задачае 111 для определения 24 фазовых и сопряженных переменных в моменты Д и четырех дат 1„1=0а 1, 2, 3, связанных условиями (12.2.18), (12.2.19) и (12.2.21), имеем 25 краевых условий (12.2.3), (12.2,4), (12,2,11), (12.2.12), (12.2.34), (12.2.35), (12.2.41), (12.2.48) вместо (12.2.42) ) и (12.2.44). Все сказанное вьппе относительно трудностей решения краевых задач ! и П в равной мере относится и к .краевой зада- че П1. Слояпрость краевых задач ! — П! оптимизации перелетов ста- вит под сомнение практическую возможность и целесообразность их непосредственного решения в рамках вариационного подхода при отсутствии регулярного метода нахождения исходных прибли- женных решений этих задач.
о гог~ ПЕРВЛВТЫ ОРБИТА ИСЗ вЂ” ОРБИТА ИС ПЛАНВТЫ вЂ” ЗВМЛЯ 537 Рассмотрим теперь другую постановку задач 1 — П1, позволяюгдую обойти отмеченные трудности. Остановимся сначала на задачах 1 и П. Предположим, что моменты 1„ г = О, 1 (задача 1) или 1 = О, 1, 2, 3 (задача 11) заданы. Тогда в каждый из моментов й оказываются заданными радиусы-векторы и векторы скорости орбитального движения планет.
Как следует из проведенного выше анализа условий трансверсальности, они для моментов го и й в задачах 1 и П дают соотношения (12.2.34), (12.2.35), а для моментов 4г и 4г в задаче П вЂ” аналогичные соотношения (12.2.41), (12.2.42). В каждой из точек Ге 1= О, 1, 2, 3, краевые условия оказываготся зависящими от фазовых и сопряженных переменных только в этой точке. В результате краевые задачи для перелетов Земля — Марс и Марс — Земля в задаче 11 оказываются независимыми и могут решаться порознь. В задачах 1 и П в каждой из точек 44, 1 = О, 1, 2, 3, аппарату сообщается импульс скорости. Кроме этого, на оптимальной траекторич возможны промежуточные импульсы в точках, отличных от крайних точек гелиоцентрических участков. Поскольку количество и положение этих промежуточных импульсов заранее неизвестно, задачи 1 и Н по-прежнему остаются достаточно сложными задачами оптимизации многоимпульсных перелетов.
Предположим теперь, что среди оптимальных траекторий перелета в задачах 1 и П имеются такие, на которых промежуточные гелиоцентрические импульсы скорости отсутствуют. Тогда перелеты Земля — планета и планета — Земля происходят по кенлеровым орбитам между точками, заданными радиусами-векторами (12,2.3), (12.2.4) и (12.2.11), (12.2.12), и полностью определяются датами Гь ог и 4г, 44 соответственно.
Поскольку в этом случае дог = 47гг = О, (12.2.49) соответствующие функционалы (12.2.9) и (12.2.20) являются заданными функциями дат 7;: бог = Со4(го, г4), Сог = Соз(зо, 1ь Гь Гз) ° Оптимизация перелетов в этом случае сводится к отысканию оптимальных дат 14, г = О, 1, 2, 3, доставляющих минимумы функционалам (12,2.50) и (12.2.51). Таким образом, вместо вариационных задач 1 и П имеем соответственно следующие экстремальные задачи. Задача Та.
При заданных орбитах ИСЗ и ИСМ определить даты го и 44 и соответствующие гелиоцентрические кеплеровы дуги, удовлетворяюгцие изопериметрическому условию (12.2.10) и доставляющие минимум функционалу (12.2.50) при выполнении ~равных условий (12.2.3), (12.2.4). 588 ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПОЯЕТА К ПЯАИЕТАМ 1ГЛ, Х„ Задача Па.
При заданных в моменты старта и прибытия орби тах ИСЗ и ИСМ определить даты Гэ, !1, Гм Гз и соответствующи~ гелиоцентрические кеплеровы дуги, удовлетворяющие изопериметрическим условиям (12.2.18), (12.2.19) и доставляющие минимум функционалу (12.2.51) при выполнении краевых условий (12,2,3), (12.2.4), (12.2.11), (12.2.12). Пусть задачи !а и Па решены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
