Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Поэтому предположение 2' для рассматриваемых ниже постановок задач оптимизации вполне приемлемо. Рассмотрим при указанных предположениях функционал (2,2.12) — характеристическую скорость У-импульсного перелета: 6:= ДГ,(2н гн Чг) + Х ~ Ч,,' — Д+ ДЧ, (гл. ~~. ЧФ). Л=1 (12.2.1) Начальный и конечный векторы г1 и г аппарата в данном случае совпадают с гелиоцентрическими радиусами-векторами планет в моменты 2~ и гл соответственно.
Скорости Ч~ и Чл + представляют гелиоцептрические скорости аппарата на сферах влиянии планет соответственно до импульса и после импульса, если таковые сообщаются КА на сферах влияния. Обозначим характеристическую скорость на гелиоцентрическом участке перелета через д: Х 7= ~ ~Ч+ — Ч-,~. (12.2.2) 2=1 В тех случаях, когда КА сообщается импульс на сфере влияния, его следует, согласно (12.2.1), включать в д. При наличии импульсов на сферах влияния планет имеем векторы скорости Ч до импульса и Ч+ после импульса.
В дальнейшем под скоростью аппарата на сфере влияния будем понимать в точке отлета от планеты Ч, а в точке подлета к планете Ч+, поскольку именно от этих векторов зависит решение внутренней задачи ММСВ. Таким образом, величины ДУ~(гн гн Ч2 ) и ДУР(2;„, РР,Чл) + +т в (12.2.1) учитывают характеристические скорости соответствующих оптимальных переходов орбита ИС вЂ” сфера влияния, исключая импульс на сфере влияния планеты. Возможность представления функционала в виде (12.2.1) в общем случае обоснована в разделе 1.2.1.
Более подробно этот вопрос проа эализирован в разделе 12.2.3. Предположение 5' вместе с представлением (12.2.1) позволяет при решении внешней задачи использовать известное решение внутренней задачи. Их «склейка» на отдельных участках Траектории может быть проведена непосредственно при численном решении задачи оптимизации перелетов. При исследовании оптимальных траекторий аппаратов малой тяги такой прием использовался в работе Р. Ф. Аврамченьо, В М. Безменова, В. А. Винокурова, В. В. Токарева [1) при оптимизации гелиоцентрического участка прямыми (градиентными) методами.
Ниже решение внутренней задачи в фукционале (12.21) используется для 37э 5ЗО ОптимизАпия тРАектОРий полетА Б плАнетАм РРЛ ХП записи условий трансверсальности внешней задачи (см. раз дел 12.2.2). Рассмотрим для определенности и удобства индексации перелет орбита ИСЗ вЂ” орбита ИС Марса (ИСМ). Обозначим дату старта с орбиты ИСЗ сс и дату выхода на орбиту ИСМ 11. Соответственно все величины, относящиеся к моменту гс, записываются с индексами 0 или О+, а относящиеся к моменту 11 — с индексами 1 или О, В начальной и конечной точках перелета должны выполняться краевые условия (12.2,3) г (1 ) = гж (Г ). г(г,) = г,(г,).
(12.2.4) Планетоцентрические скорости аппарата на сферах влияния равны ~ сфс ~0 ~ю (Гс)~ (12.2.5) Р,+, = Р+, — П, (1,), (12.2.6) где П„1= Я, О',— векторы гелиоцентрических скоростей планет. При заданной орбите ИС планеты характеристическая скорость оптимального перехода орбита ИС вЂ” сфера влияния зависит только от векторов фз,рсф1. Таким образом, характеристические скорости оптимальных перелетов орбита ИСЗ вЂ” сфера влияния Земли ЬР'с и сфера влияния Марса — орбита ИСМ ЛУ1 могут быть записаны в виде ЛР, = ДР,(Р;„), (12.2.7) ЛР = ЛР (у;Р ). (12.2.8) С учетом сказанного характеристическую скорость перелета ор- бита ИСЗ вЂ” орбита ИСМ запишем в виде Оо1 = ЬРс (Р~Фс) + ЛР1(тсф1) + Чо1 (12 2 0) В тех случаях, когда в качестве оптимальных переходов орбита ИС вЂ” сфера влияния планеты рассматриваются одно- или двухимпульсные перелеты (см.
Ез 10.2, 10.3), ЛУ1 совпадают с импульсным приращением скорости в точке перехода на орбите ИС. Сформулируем задачу 1 оптимизации перелетов орбита ИСЗ вЂ” овбита ИСМ. Задача 1. При заданных орбитах ИСЗ и ИСМ, продолжительности перелета (12,2,10) Гю = 11 — сс = сопз$ З 22 2) ЛБРелеты ОРБитА исз — ОРБитА ис плАнеты — землЯ 5$1 (12.2.11) (12.2.12) Характеристические скорости оптимальных перелетов орбита ИСМ вЂ” сфера влияния Марса и сфера влияния Земли — орбита ИСЗ запишем в виде 2 Лр2 (1 сф2) ~ (12.2.13) Лс 2 = Л~ 2 (2 сфз) (12.2.14) где ~ сф2 ~ 2 )с (с2)~ (12.2.15) ~'сфз = уз — ()2з (гз). (12.2.16) С учетом (12.2.2), (12.2.13), (12.2.14) характеристическая скорость перелета орбита ИСМ вЂ” орбита ИСЗ есть а„= ЛР, (Р,фз) + ЛУ2 (У.+фз) + Д,.
(12.2.17) Сформулируем теперь задачу Н оптимизации перелетов орбита ИСЗ вЂ” орбита ИСМ вЂ” орбита ИСЗ. Задача П. При заданных орбитах ИСЗ и ИСМ в моменты старта и прибытия, продолжительности перелета (12.2.18) (12.2.19) Гоз = 12 — Гс = соней н времени ожидания на орбите ИСМ ~12 = 12 — Г, = сопзг требуется определить даты старта с орбиты ИСЗ гс, прибытия на Рбиту ИСМ Гп старта с орбиты ИСМ 22 и прибытия на орбиту ИСЗ Гз и оптимальную импульсную гелиоцентрическую траектоРию перелета, удовлетворяющую краевым условиям (12.2.3), (12 2 4), (12.2.11), (12.2.12), изопериметрическим условиям 2 18), (12.2.19) и доставляющую минимум функционалу— (12,, требуется определить даты старта с орбиты ИСЗ Гс и прибытия на орбиту ИСМ Г2 и оптимальную импульсную гелиоцентрическую траекторию перелета, удовлетворяющую краевым условиям (12.2.3), (12.2.4), изопериметрическому условию (12.2.10) и доставляющую минимум функционалу (12.2.9) .
Рассмотрим теперь перелет орбита ИСМ вЂ” орбита ИСЗ. Обозначим дату старта с орбиты ИСМ 22 и дату прибытия на орбиту ИСЗ Гс. Все величины, относящиеся к моменту Гм записываются с индексами 2 илн а', а относящиеся к моменту 12 — с индексами 3 или О+. В начальной и конечной точках этого перелета должны выполняться краевые условия г (~2) с (~2)1 г (гс) = гф (12). 582 оптимизАция тРАектОРин полетА к плАнетАм щл. хп характеристической скорости перелета Соз = Сю + Сы = йуо+ Л~"1+ АРЧЕ+ йуз+ Дм + Ды (12 2.20) Наличие на Земле, Марсе н Венере достаточно мощных ат мосфер позволяет использовать их для торможения КА при подлете к планете с целью уменыпения характеристических скоростей выхода на орбиты ИС планет (см. $5.2).
Использование торможения в атмосфере существенно расширяет класс возмож ных траекторий перелета и, соответственно, постановок задач оптимизации перелетов (подробнее см. раздел 12.3.3) . Среди этих траекторий наибольший практический интерес представляют траектории, удовлетворяющие ограничениям по перегрузке и тепловым потокам при движении в атмосфере. Зти ограничения сводятся в конечном счете к заданию величины планетоцентрической скорости КА на сфере влияния планеты (см. раздел 12.
3. 3). Рассмотрим для определенности перелет Земля — Марс— Земля с торможением в атмосфере Земли. Тогда указанное выше условие запишется в виде !Чсфз! =!Чз — Пю(1з)! = Чсфз = совэ1. (12.2.21) При наличии торможения в атмосфере характеристическая скорость перехода на орбиту ИСЗ или посадки на планету определяется независимо от Ч,фз .
Поэтому при решении задачи оптимизацнн в функционале (12.2.20) член ЛЧЕ не зависящий от гелиоцентрических параметров перелета Марс — Земля, можно исключить (см. раздел 12.3.3). Сформулируем теперь задачу П1 оптимизации перелетов орбита ИСЗ вЂ” орбита ИСМ вЂ” Земля с торможением в атмосфере Земли. Задача 1П. Прн заданных орбитах ИСЗ н ИСМ в моменты старта и прибытия, изопериметрических условиях (12.2.13) н (12.2.19) требуется определить даты старта с орбиты ИСЗ ~~ прибытия на орбиту ИСМ 1ь старта с орбиты ИСМ 1з и подлета к Земле 1з и оптимальную импульсную траекторию перелета, удовлетворяющую краевым условиям (12.2.3), (12.2.4), (12.2 11) (12.2.12), (12.2.21) и доставляющую минимум функционалу 6сз = й~'о + й~'"т+ М'а + дш + Чы.
(12.2.22) 12.2.2. Условия трансверсальности и краевые задачи. Обжав схема решения задач оптимизации. Рассмотрим сначала задачу Н Поскольку начальный га и конечный г1 моменты времени связаны соотношением (12.2.10), перепишем общее условие транс ф 1х»1 пвгвлвты огвнтл нсз — огв»ггл пс пллнвты — звхшя ЗЗЗ версальпостн (2.2.61), с учетом (12.2.7) и (12.2.8), в виде Ю~,(~. )+~'В.— (р 6.) — (" 6Ч )+ + 6ЛГ, (Чофо) — Н1 бг, + (Р1, бг,) + (е„бЧ1' ) === О, (12.2.23) где р, з — векторы, сопряженные к векторам г и Ч соответственно, Н вЂ” (р, Ч) — (в, —.,) (1 2.2. 24) ' =1, у =+ (12225) где, согласно (12.2.5), (12.2.6), «0 ) 6Ч«фо =.6Ч« — — '~ 9о «0.
6Ч „=-6Ч, — — „'( 61п (12.2.26) (12.2.27) или с учетом предположения 2' раздела 12.2.1, 6Ч«ф о = 6Ч« т †," ~ 6Ц, г,' (12.2. 28 ) (12.2.29) 6Ч+ф = 6Ч1' + —,. 6~п Г,, Далее, согласно (12.2.3), (12.2.4) бг (го) бгл (го) = ()ф ('о) б-'о (12.2.30) бг(»,) =.
бго(г,) =- Со(с,) б~п (12.2.31) Подставляя (12.2.25), (12.2.28) — (12.2.31) в (12.2,23), получим с 8. 6 Дт „6Ч,— + ф ~ бг,~ + И+,бг, — (р+,, П, (г,)) а,— — ( ~, оу, ) -~ (о ы ьо„оч,+ р- —,' ~ о~,) — о Ъ, + го + (р,, Н, (г,)) бг, + (в1, 6Ч+1) = О. (12.2.32) На основании (12.2.10) вариации бго и 6»1 связаны соотношением бг, — бго = О. (12.2.33) — гамнльтонван (2.2.29) для импульсной траектории, верхние индексы «+» и « — » означают предельные значения соответствующих величин в моменты ! = О, 1 справа и слева соответственно.
Найдем вариации, входящие в (12.2.24) . На основании (12.2.7) и (12.2.8) 66$'» = (8габ Ь'г'о 6Ч,'ф;), 584 оптимизация тглвктогин полить к пллнитьм ~гл. хп + Вариации 6Чо и 6Чз суть полные вариации соответствующих гелиоцентрических скоростей и являются независимыми величинами. Приравнивая в (12.2.32) с учетом (12.2.33) коэффициенты при независимых вариациях нулю, находим ягабЛг' (Чо, о) — зОо 0 ягай ЛТ'з (Чоз,) + з, = О, (12.2.34) (12.2.35) а аЛׄ—,' (р+,11,) + + агабйрн — ", ) + (р+, 1),) ~ = О. (12.2.36) (12 2 37) 6Соз = 6Со~ + 6Сзз При записи (12.2.36) учтено равенство Но~ = УХ~ (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
