Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 105
Текст из файла (страница 105)
При этом, если торможение в,ттмосфере проксходпт в момент 2„1 = 1 и (или) 3, то в функционале (12.2.20) соответствующая характеристическая скорость ЬГ~ — = О, 1 = 1 и (или) 3 (подробнее см. раздел 12.3.3). Для такого рода задач условия трансверсальности можно получить из соответствующих условий для задачи 11, если в них положить ЬУ.
==- О, 1 = '! и (илп) 3. В частности, из (12.2.35) н (12.2.42) следзст з;=О, 1=1 и (или)3. (12.2.55) Из всех возможных постановок задач с торможением в атмосфере папйолсе иптереспа задача П1а, в которой условие (12.2.21) выполняется за счет выбора в целом кеплеровой дуги перелета планета — Земля, а не подбора специальных импульсов скорости или снятия одного из условий (12.2.18), (12.2.19). Определенный интерес представляют также аналогичные задачи без ограничения скорости входа в атмосферу, позволяющие оцепить минимальные характеристические скорости перелетов при использовании торможечпя в атмосфере. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением именно этих задач оптимизации перелетов с торможением в атмосфере (см.
разделы 12.3.3, 12.4.3). Величина дга1) ЛЧ(Ч,В), входящая в полученные выше краевые условия, определяется выбранной схемой маневра перехода орбита ИС планеты — сфера влияния планеты. На основании Результатов гл. Х и с учетом того, что, согласно принятой выше постановке задач оптимизации, импульс па сфере влияния включен в состав гелиоцентрического участка, в дальнейшем ограничимся рассмотрением оптимальных одноимпульспых переходов сфера влияния — орбита ИС. В 2 10.2 было показано, что характеРистическую скорость оптимального одноимпульсного перехода для эллиптической орбиты ИС при умеренных значениях эксцентРиситета мон1но с достаточной степенью точности аппроксимировать харэжтеристической скоростью перехода для круговой орбиты, радиус которой равен фокальному параметру эллиптической ~рбиты.
Поэтому далее при вычислении дга1) ЛУ (Ч~~) орбиту ИС считаем круговой. В разделе 10.2.2 показано, что характеристическая скорость опт птимальпого одпоимпульсного перехода сфера влияния — задан- 592 оптимизация тРАектОРий пОлетА к плАнетАм ~гл. х| ная круговая орбита ИС может быть записана в виде (см. соотпо щения (10.2.29) — (10.2.32) ) ЛУ = ЛУ(х, о, соз Р(х, о) ), (12.2.56) гце х =- —, Р а ' (12,2 57) р — радиус орбиты ИС, а — действительная полуось гиперболы перехода, (12.2,58) а= Р уг 2 Рсф ( сф' с) (12.2. 59) — 1— Усф Согласно (12,2.57) — (12.2.59) 2Усф (У,ф, 1„) ((У,ф, 1„) ()„бисе) у ~ г сф ( У.ф У.ф Подставляя (12.2.61) и (12.2.62) в (12.2.60), получим бЛУ = М(х, о) 6У,с + Л'(х, о) ()„„6'У,с), где коэффициенты М(х, о) и )У(х, о) равны 2 ( дЛУ сф+ дЛУ( сф )с) дх уг до уз кр сф А (х о)= — 2 д г дау ( с сф' )с) сф (12.2.61) (1 2.2.
62) (12,2.63) (12.2. 64) (12.2.65) или, с учетом (12.2.59), /дЛУ Усф дЛУ 1 — о~ М(х,о) =2~ — — + — — -~, дх уг до У, )' нр сф д'(х, о) = — 2 — з1дп (Чсф, )с). дЛУУг — о до Усф (12.2.66) (12.2 67) )„— орт, коллинеарный вектору кинетического момента точки, движущейся по орбите ИС.
Поскольку для оптимального перехода — = О, из (12.2.56) получаем длУ д сов 6 (12.2.60) з 12.21 ПЕРЕЛЕТЫ ОРБИТА ИСЗ вЂ” ОРБИТА ИС ПЛАНЕТЫ вЂ” ЗКМЛЯ 593 дАУ дйу Производные —, — на основании (10.2.29) равны дх' до 1 — — )Уо — соз р (12.2.68) 4 дау Рнр 1 1+ссай (12.2. 69) где й)г — импульс перехода на орбите ИС, а соз Р = соз р(х, о) определяется соотношением (10.2.32).
Так как а сф — (Чсф, Чеф)~ г (12.2.70) (12.2.71) то бабеф = (Чсф бЧсф) 1 сф Подстановка (12.2.71) в (12.2.63) дает бйьг = ( — Чей+ )Ч,)„, 6Ч,ф), сф (12.2.72) откуда окончательно получаем алтай ЛУ(Ч,ф) = М вЂ” ф+ уЧ)„. 1 сф (12.2.73) зз В. А. Ильин, Г. Е. Куаиан В случае перелета сфера влияния — орбита ИС во всех приведенных соотношениях вместо Ч е надо подставить Ч,ф, в случае + перелета орбита ИС вЂ” сфера влияния — величину Ч,ф.
Из (12.2.57) — (12.2.59), (12.2.66) — (12.2.69) и (10.2.29) следует, что при любых рса = сопз$ и р,а = со М и )у' зависят только от х и о. Рассмотрим частные случаи, в которых для величин (12.2.64), (12.6.65) и (12.2.73) могут быть получены простые явные выражения. Если вектор Ч,е компланарен плоскости орбиты ИС (о = 1) „ то оптимальным одноимпульсным переходом сфера влияния — орбита ИС является плоский перелет но гиперболе, перицентр котоРой совпадает с точкой перехода на орбите ИС (см. раздел 10.2.2). ХаРактеристическая скорость этого перелета определяется соотношением (10.2.44).
Поскольку в этом случае (Ч,а, )„) = О, из (10.2.44), (12.2.64) и (12.2.65) получаем М (х, о = 1) =- (12.2.74) $'2+ х у ар )Ч(х, О=1) =О. (12.2.75) 594 ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА К ПЛАНЕТАМ ~ГЛ, Хзг Из (12,2.74), (12,2.57), (12.2.58) следует, что величина М при изменении р(и я) в промежутке (О, +со) монотонно возрастает с увелпчением р и заключена в пределах М(р = О, О = 1)=0(М(я, О=1) <1 = 1пп М(х, О=1). (12 2 76) (к ) и (12.2.42) в рассматривае- Условия (12.2.34), (12.2.35), (12.2.41) мол случае записываются в виде а; =М вЂ”, + сф' "'сф с у+ сфу' а = — М— 3 + сфу (12.2.
77) (12.2. 78) = О, 2, (12.2.79) где Р— вектор скорости аппарата на кеплеровой дуге в точке пе- рехода. В результате имеем ягай ЛИ = ягай ~ Усф ~ = —. усф 1 сф Сравнивая (12.2.80) с (12.2.73), получаем (12,2,80) (12.2,81) М=1, )У=О. Формально этот результат может быть найден из соотношений (10,2.29), (10.2.30) при р-с- ОО, к — ~-ОО. В (10.2.29) относительная роль члена, связанного с О, уменыпается и характеристическая скорость перелета стремится к характеристической скорости плоского перелета, для которого имеют место соотношения (12.2.74) — (12.2.76).
Например, для перелета орбита Земли — орбита Марса (задача 1) из (12.2.34), (12.2.35) и (12.2.77), (12.2.78) Из (12.2.76) — (12.2.78) получаем, что в случае плоских перелетов прн о ( Оо на сферах влияния импульсы тяги отсутствуют, а при р — ~ ОО условия (12.2.77), (12.2.78) соответствуют приложению импульса на сфере влияния (см. ниже).
Отметим, что из полученного результата вытекает важнейший вывод о строгой локальной оптимальности кеплеровых двухимпульсных перелетов, в которых плапетоцентрические гиперболы компланарны плоскостям орбит ИС (см. раздел 12.5.2). Пусть теперь радиус орбиты ИС неограниченно возрастает, р-с-со, что соответствует переходу между кеплеровой дугой перелета и орбитой планеты (см. раздел 5.1.2). Импульс скорости этого перехода равен Р221 перелеты ОРБитА исз — ОРБитА ис плАнеты — земля 595 меем Уо ~ю — ~1 Ео 'о =)у — й ~ '1 = —,у,— п,~.
(12282) учитывая, что в точке схода с орбиты Земли импульс равен ~1Ро = ~о ()з (12.2.83) а в точке перехода на орбиту Марса— ЛОТ = ~Π— 22 (12.2.84) получаем зо =) + ау, Ау, )ЛУ,Р = ~АУ,~ (12.2.85) что, очевидно, соответствует общему результату раздела 2.2.1 (см. (2.2.59), (2.2.60) ). -/ -г Ряс. 12.22. ПРи Р,о = со, когДа х = 2"ое!$'„р, можно, использУЯ соотно- 2 2 женин (12.2.66) — (12,2,69), (19.2.29), получить, что при х-+.0 и о = сонз2(1 11ж у (х, о) = + оо (12 2 86) х в х-~о для приближенного вычисления и анализа функций М (12.2.66) Ззо зее ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЯ ПОЛЕТА К ПЛАНЕТАМ 1гл.
хп и 1Ч (12.2.67) можно воспользоваться зависимостью (10.2.62) . Графики функций 1и (к, о) и У(х, О) при р,ф=оо, з1яп(Чем1„) =1 показаны на рис. 12.2.1 и 12.2.2. Покажем теперь, что при наличии оптимального импульса на сфере влияния планеты ЬЧ,ф условия (12.2.34), (12.2.35), (12.2.41), (12.2.42) переходят в (2.2.59), (2.2.60). Рассмотрим для (г Рвс. 12.2.2.
определенности выход на орбиту ИС в момент 11 и соотношение ( 12.2.35 ) . Оптимальная характеристическая скорость перехода сфера влияния — орбита ИС 6 'г'з мз (см. ( 10.3. 1 1 ) ) равна ЛУнрр1 = ппп (~Н(Ч,+ф1) + Л)г,ф]. (12.2,87) ("+ф1! Дифференцируя (12.2.87) по Ч~ф1, получим ягаб О(г(Ч~~1) + ягайЛУ,ф = О. (12,2.88) ( ~сф1) Но (12.2,89) ЬЧф, =Ч,,— Ч,, Ф 1х»1 пеРелеты ОРБитл исз — ОРБитА ис пллнеты — земля 597 аус, бгай АЧ«Ф1 =,, ' а'1 сФ1 (12.2.90) Подставляя (12.2.90) в (12.2.88),имеем ятай АЧ [Чс+Ф1) =— сФ1 (12.2.91) Аналогично, в момент 1» яг ай А г' [Ч,Ф») = сФО (12.2.92) Сопоставляя (12.2.92), (12.2.91) с (12.2.34), (12.2.35) соответственно, приходим к требуемому результату.
Отметим, что полученный результат справедлив для любой оптимальной по Ч,Ф« ИЛИ Ч«Ф1. В тОМ ЧИСЛЕ И МНОГОИМПУЛЬСНОй, СХЕМЫ ПЕРЕХОДа ОРбИ- та ИС вЂ” сфера влияния планеты и для произвольной орбиты ИС, если под А г'[Ч«Фо), ЬЧ[Ч~Ф1) понимать соответствующую характеристическую скорость перехода. Вариационный подход для решения краевой задачи оптимизации гелиоцептрического участка перелета между орбитами двух планет с учетом характеристической скорости планетоцентрических маневров использован в работах Гравье, Маршала, Калпа [4] и С. В. Дубовского [2).
Однако в отличие от проведенных выше рассмотрений, указанная характеристическая скорость учитывается в виде суммы двух импульсов, необходимых для разгона КА от местной параболической скорости до заданной скорости Чса на бесконечности и обратного перехода (с помощью соотношений аналогичных (5.1.24), (5.1.32) ), и никак не связана со сходом КА с заданной орбиты ИС или выходом на нее. 12.2.3. Обоснование структуры функционала. Весь проведенный в разделе 12.2.2 анализ основан на возможности представления функционала в виде (12.2.1).
Ввиду важности этого вопроса остановимся на нем подробнее. Рассмотрим в рамках МСВ задачу Б Пусть для заданных краевых условий оптимальная траектоРия найдена. Будем теперь вместо общей вариационной задачи решать вариационные задачи порознь для каждого из планетоцентРических и гелиоцентрического участков, беря в качестве краевых Условий на сферах влияния фазовые координаты, полученные в «сквозном» оптимальном решении: г, Ч1, г„ЧЗ для гелиоцент- РИЧЕСКОГО УЧаСтКа, Р„Ч«Ф1, РФ 'Ч«ФЗ ДЛЯ ПЛаНЕтОЦЕНтРИЧЕСКИХ Участков, где р1 и р« — планетоцентрические векторы точек выхода и входасоответственнонасферахвлияния, г1иг«определяются 59с ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА К ПЛАНЕТАМ !Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
