Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 106
Текст из файла (страница 106)
хп СООТЯОШОН!!ЯМП г, =- ге (1г) + Рг г,=г,(йз)+рм (12.2.93) (12.2.94) векторы Чс~~; и Ч=! связаны соотношениями (12.2.5), (12.2.6). При выполнении указанных условий решение на каждом из участков будет совпадать с соответствующей частью сквозного решения. Очевидно, что при этом импульсы на сферах влияния ЛГ,А ! = ~ Ч; — Ч, ~, 1 = 1, 2, в функционале должны учиты! + — ! ваться только один раз, их произвольно можно относить либо к гелиоцентрическому участку, либо к планетоцентрическим участкам.
Пусть теперь решение планетоцентрнческой задачи оптимизации может быть найдено для лгобых векторов р!, Чс!с! н Р„ Чс~фз В этом случае суммарные характеристические скорости перелетов орбита ИСЗ вЂ” сфера влияния Земли и сфера влияния планеты — орбита ИС без импульса на сфере влияния могут быть представлены в виде Л) т = ЛР г(Гг Рп Чс!З!) Луз =- ЛКз (Гз, рс, Чсфг), Используя эти соотношения, можно варьирование траекторий па планетоцентрических участках при выводе условий оптимальности заменить вычислением вариаций 6ЛР'! и 6Лгз по векторам 1!, гп Ч! и г„г.„Чз соответственно. При этом в качестве краевых условий для гелиоцентрического участка надо брать векторы 1!, г!, Ч! н 1,„г.„Ч и включать импульсы на сферах влияния в состав гелноцентрических участков. Условие локальной оптимальности рассматриваемой траектории записывается в виде 6С = 6ЛК! + 6Л)гг+ 6!7 ) О, (12,2.99) где 6!7 — вариация су!Имарной характеристической скорости на гелиоцептрнческом участке (12.2.2).
Но вариация (12.2.99), с учетом (12.2.2), (12.2.97) и (12.2.98), как раз соответствует функционалу (12.2.1). Проведенные рассуждения показывают, что при применении МСВ вместо непосредственной «склейки» оптимальных траекто- иги, учитывая, что векторы каждой из пар (1!, р!, Ч ф!) и (Гг г ! ),(1„Р„Ч,'фз) и (г.„г„Чз ) однозначно связаны друг с другом, Л)г, = Л)г,(1п гп Ч ), (12.2.97) ЛУ, = т,(г„гз, Чй. (12.2.98) 9 12.2! пеРелеты ОРБнтА нсз — ОРБнтА пс плАнеты — ЗБ21ля 599 Рий па плапетоцептоических и гелиоцентрических участках можно решать задачу оптимизации на гелиоцентрическом участке с функционалом (12.2.1), учитывая вариации бАР1 и бАГ2 в условиях трансверсальности, как это н сделано в разделе 12.2.2.
При этом импульсы ва сферах глняппя надо интерпретировать как краевые гелиоцептрические импульсы. Покажем теперь, что проведенные рассуждения остаются в силе и для ММСВ. Для этого пока1кем сначала, что если в ММСВ траектории перелета соответствует импульс па сфере влияния, то этот 'ке импульс получается и з МСВ, н Наоборот. Пусть во внутренней задаче ММСВ при радиусе сферы влияния р„> — — со оптимальной траектории соответствует импульс па сфере влияния. Будем теперь рассматривать впутрешпою задачу оптимизации при конечном, по достаточно большом эпачекии р,.;,. Поскольку при отличной от нуля плапетоцентрической скорости на бесконечности (р,е = оэ) движепие аппарата па достаточно большом удалении от планеты происходит практически прямолинейно и равпомерно, краевые условия на сфере влняпия при р„2 ( со будут очень близки и соответствующим условиям прн р„ч = со.
Поэтому решения задач оптимизации при р„, = оэ и р,ч ( со будут близки между собой, при этом иэ1пульс иэ бесконечности сместится па сферу влияния, а остальные векторы импульсов, в частности импульс перехода па орбите ИС, пеш1ачительно измепяетсл. Если изменять р,е в области зпачеп11й1, где движение аппарата носит указанный выше асимптотпческип характер, то описаппал 1шртина изменения импульсов сохрапится. Из сказанпого следует, что наличие импульса на сфере влияния планеты во внутренне"1 задаче ММСВ или МСВ не зависит от величины Р„а п оДновРемепно имеет место в ММСВ и МСВ. Пусть теперь в рамках МСВ рассматривается «сквозная» задача оптимизации перелета. В этом случае прн переходе через сферу влияния меняются скачком правые части уравнений движения, однако, поскольку поверхность разрыва (сфера влияния) не зависит от вектора скорости аппарата, можно, используя реаультаты работ Врайсона, Хо Ю-ши [1], В.
А. Троицкого [2, 31, показать, что при переходе через сферу влияния вектор г(1) непреРывен, а вектор р(1) и гамильтониан НЯ в общем случае раэрывны (Глэндорф [2), В. В. Ивашкип [4) ). Если условия подлета аппарата к сфере влиякия илп отлета от пее таковы, что требуют приложения импульса ка сфере влияния. то в момент пооэхода через сферу влияния функция г(Г) = 1 и непрерывна. Следовательно, в соответствии со с;азанным Былие, импульс на сфере влияния во внутреппей задаче можно считать импульсом, сообщаемым аппарату в крайне.*"1 точке гелиоцептрического участка.
Схема изменения функции г(Г) по времени, построеппая на основании данных разделов 10.4.3 и 12.5.2, для трехимпульсного пере- 600 ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПОЛЕТА К ПЛАНЕТАМ ~гл. хп лета орбита ИСЗ вЂ” орбита ИС планеты с импульсом на сфере влияния планеты показана на рис. 12.2.3, где моменты времени соответствуют: »~ — старту с орбиты ИСЗ, 1«~, »з — пересечению сфер влияния Земли и планеты, 1» — выходу на орбиту ИС + планеты. Будем теперь рассматривать эту же задачу при различных радиусах сфер влияния планет р,«1 и р,«». При изменении р,«, аВ а) ! »УЕ)Р Ю вЂ” еелу ее — — — «та««ее» ееее Рис.
12.2Л. и р,»» в области значений, где движение аппарата носит асимптотический характер, решение внутренней задачи будет незначительно деформироваться. Одновременно при изменении р,« ~ и р,«» от этих значений до нуля будет незначительно деформироваться решение задачи на гелиоцентрическом участке. Следовательно, при всех указанных значениях р,»1 и р«»» схема перелета будет оставаться неизменной, поэтому при переходе от ММСВ к МСВ и обратно схема перелета остается одной и той же.
Из проведенных рассуждений следует также, что при применении ММСВ, как и МСВ, задачу оптимизации перелета можно решить с помощью функционала (12.2.1), «склеивая» решения на гелиоцентрическом и планетоцентрическом участках при помощи условий трансверсальности. Пусть теперь задача 1 решается в «точном» гравитационном поле (см. раздел 1.1.2). В этом случае сфере влияния планеты соответствует некоторая переходная область.
Отличие «точной» оптимальной траектории от кеплеровых дуг в МСВ и соответствующих решений сопряженной системы друг от друга оказывается незначительным и сосредоточено в основном в промежуточной области. Поэтому, если импульс скорости на сфере влияния присут- «12.2) ПЕРЕЛЕТЫ С МИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ ИМПУЛЬСОВ 601 ствовал в МСВ, то при «точном» решении ему должен соответствовать импульс скорости в некоторой точке промежуточной области. При этом, вследствие непрерывности и непрерывной дифференцируемости правых частей системы уравнений движения, в точке приложения импульса в промежуточной области з(2»)=1, з(2 ) = =0 (см. Рис.
12.2.3). Полученные результаты справедливы, если векторы Ч,Е1 и Ч«эзтаковы, что определяют одно- или двухимпульсный перелет внутри соответствующих областей на рис. 10.3.5, так что малые деформации траекторий не выводят их из соответствующих областей. Если же векторам Ч«еф1 или Ч,фз на рис. 10.3.5 соответствует точка вблизи граничной кривой, то при переходе от МСВ к ММСВ и наоборот импульс на сфере влияния может появляться или пропадать.
Заметим, однако, что,поскольку вблизи граничной кривой импульс на сфере влияния мал, фазовые и сопряженные переменные для ММСВ и МСВ по-прежнему отличаются пезначительно. Все описанное выше остается в силе и для других задач оптимизации, рассмотренных в разделах 12.2.1, 12.2.2. е 12.3. Методы расчета оптимальных перелетов орбита ИСЗ— орбита ИС планеты — Земля с минимальным числом импульсов Задачи 1а, 11а, 111а объединяет отсутствие промежуточных импульсов на гелиоцентрических участках, в результате чего перелеты между сферами влияния планет происходят по кеплеровым дугам. С методической точки зрения исследование и расчет оптимальных перелетов целесообразно разделить па две части. Сначала в предположении, что орбиты планет находятся в плоскости эклиптики и круговые, проводится подробное исследование оптимальных перелетов в упрощенной постановке, а затем, с использованием результатов этого исследования, рассчитываются оптимальные перелеты с учетом эллиптичности и наклонения орбит.
Такой подход целесообразен также и потому, что решение задачи в рамках плоской круговой модели позволяет представить основные параметры оптимальных перелетов в универсальном виде, в частности, не связывать их с конкретными датами старта с Земли. При этом существенным образом используется близость характеРистик перелетов для пространственной эллиптической и плоской круговой моделей движения планет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
