Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Рассмотрение аадач оптимизации перелетов для плоской круговой модели движения планет на плоскости параметров р, е позволяет достаточно просто учесть ряд дополнительных ограничений, накладываемых на допустимые траектории перелета (см. гл У). Например, с целью обеспечения радиационной безопасности для экипажа и условий для длительного хранения криогенного топлива следует ограничить снизу радиус перигелия орбиты перелета, Радиус же афелия орбиты перелета не должен значительно превьппать радиуса орбиты Марса ввиду попадания аппаРата в пояс астероидов (Аллен [1)).
Указанные ограничения записываются в виде (см. соотношения (5.1.2) — (5 1.5) ) (12.3.59) Численное решение этой задачи на ЭЦВМ при использовании уравнения (5.1.37) сводится к поиску оптимального значения Ро1.,!1 Го!1ро1~1, еоАРа1 6«8 оптптшзАция тглеетоР1И1 полктх к пллнетлм ~гл. хп илп г» Р»» хл д Рлс. 12.3.7. е~(4 — 1, е(1 — — "„, (!2.3.60) * Л~ где г;, ( 1, гэ ) и« = — — заданные предельно допустимые Ю радиусы перигелня и афелия (отнесенные к Н») соответственно. Ограничения (12.3.59), (12.3.60) сужают область допустимых параметров кеплеровых дуг на плоскости р, е по сравнению с исходной областью, определенной неравен«те вамп (5.1.4), (5.1.5) (рнс.
12.3.7) . 12.3.2. Оптимизация перелетов с учетом эллиптичности и наклонения орбит планет (В. А Ильин, Н. А. Исгл — — — — — — — — — — томин, 1963г.). Перейдем к рассмот»,«-/ рению задач 1а н 1!а в том виде, как они сформулированы в разделе 12.2.2. Прн этом предположения а' и б', сделанные в разделе 12.3.1, ааменяготся исходным предположением 2', сделанным в разделе 12.2.1. Пред»( о~ а о положения в н г сохраняются и здесь.
Более того,при решении задачи оптимизации перелета считаем заданными только высоты перицентра Н,, и апоцентра Н„орбит ИС. Ориентация же орбит ИС в пространстве определяется при решении соответствующих внутренних задач, после решения внешней задачи (подробнее см. ниже). Как и в разделе 12.3.1, основное внимание будет уделено задаче Па с заданным временем ожидания. При решении пространственной задачи нет необходимости различать внешние и внутренние планеты Солнечной системы.
Однако для определенности и удобства индексации всюду в дальнейшем рассматривается перелет Земля — Марс — Земля. При решении «пространственной эллиптической» задачи необходимо, в отличие от «плоской круговой» задачи, учитывать фактическое положение Земли и планеты назначения на их орбитах.
Удовлетворение условий встречи аппарата с планетами связано с определенными вычислительными трудностями, которые в значительной степени можно обойти с помощью следующего приема. Предположим, что задана дата старта с орбиты ИСЗ г«и дата прибытия в окрестность планеты назначения г~ (рнс.
12.3.8). Задание величин г» и 1~ определяет радиусы-векторы га = г»(1«) г~ = г,(1~) и, следовательно, угол ц«~ и время перелета 1щ=»~ — 1». В результате задача определения перелета Земля — планета сво- Э 2221 ПЕРЕЛЕты с мини22АЛьным чИСлом ИМПУЛъсов 629 дится к рассмотренной в разделе 5.1.4 задаче определения кеплеровой дуги по двум заданным радиусам-векторам и времени перелета. Решение этой задачи при заданном маршруте перелета сводится к нахождению фокального параметра ро2 и эксцентриситета эм кеплеровой дуги перелета из ЕО ""22 соотношений 2)22 = Ч22 (лв, 'роб ео2), -1Х-- - > (12.3.61) 122 =- Го2 (ло~', Р22,' ео1), (12.3.62) соответственно. Таким образом, поставленную в разделе 12.2.2 задачу Па об оптимальных перелетах с заданным временем ожидания можно сформулировать следующим образом: где ло1 = г~/го. Предполагая пока, что рассматриваемый перелет действительно может быть совершен,из системы уравнений (12.3.61) определяем и Х лееее ееее рм, ею и, следовательно, все характеристики перелета Земля— Рис.
!2.3.8. планета. Аналогично, задание дат 12 и 12 полностью определяет параметры перелета планета — Земля. Зная параметры перелетов, находим векторы скорости аппарата Чь 2 = О, 1, 2, 3, и векторы планетоцентрических скоростей аппарата на сферах влияния Ч„; = Чо — и,(22), = О, 3, Ч„, = Ч, — П, (гэ), 1 = ), 2.
Чтобы пространственная задача соответствовала некоторой плоской круговой задаче, необходимо, чтобы в пространственном случае переходы сфера влияния — орбита ИСбылиплоскимп. ПоэтомУ вектоРы Ч,со и Ч,о 2 считаем коллинеаРными соответствУющим эллиптическим орбитам ИСЗ, а круговую орбиту ИС планеты назначения — находящейся, в соответствии с ММСВ, в плоскости векторов Ч,21 и Ч„,о.
Зная величины Ч о„Н„О Н„ь 2 = О, 1, 2, 3, находим с помощью соотношений, приведенных в разделе 5 1.2, оптимальные импульсы АЧО 1 = О, 1, 2, 3, перехода на орбитах ИС планет, сообщаемые аппарату в общей апсидальной точке Орбит ИС и гипербол перехода. В результате характеристическую скорость перелетов орбита ИСЗ вЂ” орбита ИС планеты и орбита ИС планеты — орбита ИСЗ можно записать в виде А)ео~ (~о Гг) 61 о (Го Гт) + ~~ 2(~о' ~2)'1 ~~~ 22 (~2 ~2) ~~ 2(~2 ~2) + й 2 ( 21 ~2) (12.3.63) 62О ОптимизАция тРАектОРий полетА к плАпетлм !Гл. хп Найти даты гс, 1!, 11, гз, удовлетворяющие условиям Лг, = 11 — 1, = сопз1 = Л1;, (12.3.64) Те =- 1з — 1„=- сонат =- Тх, (12.3.65) для которых характеристическая скорость перелета Л'с', минимальна: ЛР'е = Л~"а!(1ю 1!)+ Л1'зз (1м гз)='""".
(12 3 66) Для возможности решения задачи изложенным выше методом необходимо, чтобы при заданных датах 1о, 1! и 1м 1з соответствующие системы (12.3.61) имели бы решение. Кроме того, чтобы решение экстремальной задачи можно было проводить одним из быстросходящихся градиентных методов, начальное приближение для й =1 ! ! = О, 1, 2, 3, должно быть взято в области упимо<о! дальности функции Лг'с(Сс, 1!, 11, гз), соответствующей ш!ЛЛФ',. Как показывает численное исследование (см.
3 12.4), указанные условия удовлетворяются, если, решив плоскую круговую задачу и найдя с помощью та дату 1с (см. ниже), положить !з> (12.3.67) где 10! пл 123 пл значения 1с!, гзз, соответственно, для плоской круговой модели. Для решения задачи о перелете Земля — планета — Земля удобно использовать гелиоцентрические декартовы координаты Земли и планеты. Общепринятой является система (рис. 12.3.9), Рас. 12.3.!О.
Рис. 12.3ТА в которой оси х и у лежат в плоскости эклиптики, причем ось х направлена в точку весеннего равноденствия )Г, а ось у — в сторону перигелия Земли. Направление оси з выбирается так, что система хуз оказывается правой. е 1З,З) ПКРВЛКТЫ С З1ИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ ИМПУЛЬСОВ 621 Орбиту и движение по ней планеты можно определить с помощью следующих средних элементов (см.
рис. 12,3.9): долготы восходящего узла й, наклонения плоскости орбиты планеты к плоскости эклиптики 1, долготы перигелия и = Й+ со, где со— угловое расстояние перигелия от узла, средней долготы планеты в орбите Х или аргумента широты и = в+ ц, где т) — истинная аномалия, эксцентриситета е, большой полуоси а. Величины Х, я, 11, 1 и е для данного момента времени можно вычислить с помощью формул, приведенных, например, в Астрономических ежегодниках СССР и в монографии Ц. В. Соловьева, Е. В.
Тарасова (11. В качестве величины, характеризующей взаимпое угловое положение Земли и планеты, целесообразно взять угол Ке „,„ между радиусом-вектором Земли ге и проекцией радиуса-вектора планеты на плоскость эклиптики г1,„, (рис. 12.3.10), поскольку Ка:. изменяется в пределах 0 ~( Косел ~ (360', т. е, в том же диапазоне, что и Ко Если пренебречь эллиптичностью и паклонелием орбит планет, то Кс,ее можно считать кУсочно-линейной фУнкЦией (вслеДствие нормировки по углу) с периодом Т,„„ (рис. 12.3.11).
В действительности (12.3.68) К,„, = и,,„, — и„ где и1 „,„— аргумент широты вектора г1 „„, ис — аргумент широты вектора ги Очевидно, что ис и и1,„„представляют периодические ггуу АШ .ууу лш Рееуеуе 1Усуг С, сугс Еусесгегг е, е,, г„, ---- е,гег=ге=у Рис. 12.3.11. фУнкции с периодами То и Т1, равными периодам обращения Земли и планеты по орбитам. Вследствие несоизмеримости периодов Тз и Т, Кс,„, уже не является периодичесной функцией, хотя практически она очень близка к периодической функции с периодом ж Т„,.
Однако прямая, на которой гз и г1,„, совпадают 622 ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА К ПЛАНЕТАМ 1ГЛ. ХП (11» „— — 0), соответствующая противостоянию Земли и Марса, от «периода» к «периоду» меняет свою ориентацию в плоскости эклиптики (рис. 12.3.12).
Если в То и Т1 ограничиться конечным числом знаков, то можно вычислить «период» Т„для указанного движения линии 71»1мж = О. Результаты расчета Т„для пар планет Земля — Марс н Земля — Венера приведены в таблице 12,3.!. Заметим, что величина Т, = 19 лет соответствует полному синодическому циклу пары Земля — Марс. ,к»лглсг, г., аФлггго,/ И//гу Л//'г' ,. и.'ъ Ряс. 12.3.!2.
Из приведенных данных следует, что при более или менее точном Расчете (с 4 — 5 веРными ДесЯтичными знаками) 7/о,„л ДлЯ практически обозримого периода времени является непериодической функцией. Но из этого сразу же следует, что геометрические характеристики относительного движения пары Земля — планета Т а б л и ц а ! 2.3.1 Периоды движения пары Земля — планета Земля †Вене Земля †Ма Т, годы х' Т, годы г Т, годы Т, годы х' 1,8808~1 51 ...
1,8808 1,88 1,9 0,61518656... 0,6152 0,61 0,6 769 61 3,0 2351 47 19 Те — период обращеняя Марса по орбите, Те — период обращения Венеры но орбите, ҄— яернод движения пары Земля — планета. также нельзя считать периодическими функциями времени, поскольку на каждом квазипериоде ж Т„Земля и планета пробегают разные участки своих орбит. Пусть задана некоторая дата 1«о. Считаем также, что при задапных Тя и /»г„для плоской круговой модели найден опти- ПЕРЕЛЕТЫ С Ъ|ИНИМАЛЪНЫ»1 э)ИСЛОЫ ИМПУЛЬСОВ с23 0 12.3) мальный перелет и соответствующая ему величина Ха.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
