Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 112
Текст из файла (страница 112)
(12.3.89) Очевидно, что рассматрязаеман .!ал дача может быть сведена к задаче (12.3.22) с дополнительным условием (12.3.88) или (12.3.89). В области допустимых перелетов одноимпульсному перелету Марс— Земля при заданных величине импульса на орбите ИСМ Ь!'з = сопзс и величине скорости входа в атмосферу Земли соот- метричные перелеты не удовлетворяют условиям стационарностп, поэтому оптимальные перелеты с торможением в атмосфере заведомо являются несимметричными. Задачу П1а оптимизации перелета с торможением в атмосфере при наличии ограничения (12.3.83) скорости входа в атмосферу, как и задачу 11а, проанализируем в два этапа: сначала для плоской круговой, а затем пространственной эллиптической моделей движения планет.
Согласно сказанному в разделе 12.2.2 считаем, что импульс на сфере влияния планеты, в атмосфере которой происходит торможение, не прикладывается. Рассмотрим задачу 1На оптимизации перелета с торможением в атмосфере при наличии ограничения (12.3.83) для плоской круговой модели движения планет в тех же предположениях.что и задачу Па в разделе 12.3.1.
Для определенности ограничимся трехимпульсным перелетом Земля — Марс — Земля с торможением в атмосфере Земли. Ограничение (12.3.83), согласно сказанному выше, заменим экзязалентпым ограничением (12.2.21): У,!фз =- басф! =- Р фз == сопзс. (12.3.87) Задача оптимизация перелета сводится к задаче, описываемой соотношениями (12.3.14) — (12.3.16), с дополнительным равенством (см.
(5 1.30), п = 1) -з сс — 1 * ° рсфз = 3 Я Р+ = )басф!. Р Переписывая (12.3.88) в виде, аналогичном (5.1.43), и выражая с помощью (12.3.81) У,сз через скорость входа в атмосферу Земли !'„„ получим на плоскости р, е уразне- 1П!О Л1!ИИЙ Г,сз = СОПЗ1: в !2,21 пеРелеты с ыпнпплльпып числоы импульсов СЗ1 ветствует пересечение (единственное) кривых (5А.46) и (12.3.88', нлп (12.3.89) (рнс. 12.3.18). В результате для фокального параметра орбиты перелета получим следу1ощее выражение: АР2 — с2 — у,"аз+ з(1 — (1ь)) ) Р22 — 2 (1 — (1/„212)) ' (12.3.90) АГс! = Аув — АР2 Чз! = Чз — Ъз (12.3.91) Фиксируя маршруты перелета Земля — планета и планета — Земля, при заданной величине у,ез выражаем все характеристики перелета и, в частности, 12 в функции АУ2 Далее определение оптимального перелета сводится к нахождению численными методами на ЭЦВМ экстремума 12 по АИ2.
Если маршруты перелета Земля — планета и планета — Земля не заданы, то путем перебора всех возможных маршрутов можно найти оптимальное их сочетание. Аналогично, рассматривая трехпмпульсный перелет Земля— Марс — Земля с торможением в атмосфере Марса, получим с помоЩью (5.1.30) п (12.3.81) УРавнение линий )г„э = сонет: "'(Вз Р,Е ) З 1!2 в~ р + — рз!2 (12.3.92) а для однонмпульсного перелета Земля — Марс с заданным им- пульсом ЛГс на орбите ИСЗ на основании соотношений (12.3.92), (5.1.43) У ! — А'+Вз+3!1 — — ) 2 (1 — 212) (12 3.93) где Р~ф1( = К,е!) — заданная скорость подлета к сфере влияния Марса, А' и В даются соотношениями (5А.44) и (5.1.34) соответ- АП2 — П„1 где А" = "'' (см. (5.1.47) ), а С дается соотношением и (5А.35). Вычисляя р22 по (12.3.90) и е22 по (5.1.46) (илп (12.3.88) ), можем найти все характеристики перелета Марс — Земля, в частно- СТИ !)23 И 123.
Расчет характеристик двухимпульсного перелета Земля — планета производится в соответствип с изложенной в разделе 12.3.1 методикой для значений Арз1, 2)21, определяемых равенствами 632 оптнмизьшгя тглкктогнп полктА к плА11втлм игл. хп ственно. Задача оптимизации перелета сводится к нахождению экстРемУма зз по Л Ус Заметим, что ДвУхимпУльсный пеРелет Земля — планета — Земля с торможением в атмосферах Земли и планеты при заданных величинах Тз (12.3.14), Лз (12.3.15), 4г,ф~ и )г,фз определяется (в случае пепротиворечивостн заданных условий) однозначно (с точностью до комбинации маршрутов), поэтому применительно к такому перелету задача его оптимизации смысла не имеет. Перейдем теперь к задаче П1а оптимизации перелетов с заданной скоростью входа в атмосферу с учетом эллиптичности н некомпланарности орбит планет.
Ограничимся для определенности трехимпульсным перелетом Земля — Марс — Земля с торможением в атмосфере Земли, который будем рассматривать в тех же предположениях, что и четырехимпульсный перелет в разделе 12.3.2. Рассмотрим, следуя работе В. В. Балашова 12), годограф гелиоцентрических скоростей на сфере влияния Земли при заданной скорости аппарата на сфере влияния Земли Чз = Чсфз + Юе (зз), Чсфз = сопз1. (12,3,94) В дальнейшем прн расчете траекторий перелета Марс — Земля в данной задаче орбиту Земли считаем круговой и, следовательно, (7, = сопзФ. Это предположение ввиду малости эксцентриснтета орбиты Земли (е, 0,0167) приводит к незначительным ошибкам вычисления элементов траектории и импульса на ороите ИСМ, позволяя в то же время существенно упростить алгоритм расчета оптимальных перелетов.
У: Годограф вектора Чз, опре- деляемый уравнением (12.3.94), эм представляет собой сферу радиуса г.фз с центром в конце вектора Ю,(гз) (рис. 12.3.19). Разложим вектор Чз на радиальную Чз, и трансверсалькую Чз, составляющие. В силу сделанного выше предположения Рвс. 12,3,19. плоскость, проходящая через вектор В,(зз) нормально к плоскости эклиптики, содержит вектор Чз,. Из сказаяного ясно что вектоР Чз УДобно заДать его моДУлем Уз, Углом межДУ П, и Чз„равным наклонению тз плоскости перелета Марс— Земля н плоскости эклиптики, и углом рз между Чз и Чз.
з'гол рз считаем положительным, если радиальная составляю- пегелеты с мннимАльныы чпслом иыпульсов сзз щая ° ' 3 вектора с з направлена по гелиоцентрическому радиусу г,. Очевидны следующие неравенства: Усфз — агсяп — ~ (т„ с1 з Рз ~ ~агсз'и ' (12.3.95) У фз С1 Каждой паре значений тз, рз, удовлетворяющих условию (12.3.95), соответствуют два значения Рз, определяемые условиРсф,=сопз1 (илн, что то же самое, условием У„= сопзс): — = соз тесов(зз + ~~' — + соз'тз соз' рз — 1.
(12.3.96) Ю 1Э Воспользовавшись известными формулами для фокального параметра рзз (в астрономических единицах) и эксцентриситета езз перелета Марс — Земля, следующими из (1.3.24), (1.3.26), (1.3.29), (1.3.30): Ус соз бз '12 Рзэ =( ), С1О ) 2 езз = 1+ Р,з ~ —, — 2, (12.3.97) получим из (12.3.96) соотношение езз =1 — Р„З вЂ”, +2созтзР22. 2 1 Усфэ) 212 (12.3. 98) — 2 При тз = 0 (12.3.98) переходит в полученное ранее соотношение (12.3.88) или (12.3.89) для перелетов между компланарными орбитами. При заданных К,ф, (или У с) и тз на плоскости ры, езз уравнению (12.3.98) соответствуют линии )г„с = сопзс (Рнс. 12.3.20). Свойства линий У'„с= сопз1 (12.3.98) аналогичны свойствам изоэнергетических кривых (5.1.37), (5.1.43), (5Л.46), проанализированных в разделе 5.1.2.
В частности, из двух корней ) р,з, соответствующих точкам пересечения кривой (12.3.98) с каждой из граничных прямых области допустимых перелетов Марс — Земля (5Л.7), (5Л.8), надо брать коРень, ближайший к точке, соответствующей гома~невскому перелету. Физический смысл имеет участок кривой (12.3.98) для значений рзз между выбранными корнями, принадлежащий области допустимых перелетов, Гомановскому перелету соответствует предельно допустимое наклонение тз плоскости перелета Марс— Земля, определяемое соотношением 334 оптимизАция тРАентоРпп полетА к плАнетАм ~ГЛ.
Х11 где и = ге(»з)/а„а, — средний радиус орбиты Земли. При )тз! ) ) ~тз) кривая (12.3.98) не имеет общих точек с областью дону стимых перелетов в указанном диапазоне значений ргз. При расчете траектории Марс — Земля в соотношении (12,3 96) надо брать перед радикалом знак «+». Это соответствует то»гу что для реальных траекторий Марс — Земля при соз из ! соз рз ж 1 всегда Уз ) У«. егг еге ; е. Рвс.
12.3.20. Рассмотрим алгоритмы решения задачи оптимизации трехинпульсного перелета Земля — Марс — Земля с заданной скоростью входа в атмосферу Земли. Отметим прежде всего, что к указанной задаче применимы все общие положения, высказанные в начале раздела 12.3.2. Для нахождения оптимального перелета мол<по с незначительными изменениями воспользоваться изложенным в этом разделе алгоритмом, добавив кусловиям (12.3.64), (12.3.6л) соотношение (12.3.98), которое записывается в виде условия У«аз — — Уе з(г„ ~з) =- Уеез — — сопзз.
(12.3 100) Вследствие связей (12.3.64), (12.3.65) и (12.3.100) из четырех дат Гь 1 = О, 1, 2,3, независимой является только одна, в качестве которой удобно ваять дату старта с орбиты ИСМ 1». Варьпру" Гз при Гз = Бх, находим Гм прп котором удовлетворяется усло вне (12.3.100) . бзб исследовании Оптимм'!Ьных тРАектогия б !2.4! разов<отри!! теперь другой алгоритм, в котором соотношение (12.3.98) непосредственно используется для определения перелета Марс — Земля (см.
В. В. Балашов (2)). Пусть задана угловая дальность перелета Марс — Земля цгз и скорость на сфере влияния Земли И,фг . Исключая из (5.1.64) и (12.3.98) зксцентриситет егг, получим для нахождения ргз алгебраическое уравнение четвертой степени относительно 1 ргг (аналогичное уравне- Г нию (12.3.24) ): Ьгр, — 2созч,ргз + 3 + 5,— — 2 ргг+ Ь,— 1 =О. г/2 (~ сфг) (12.3.101) Пусть теперь, как и ранее, <г = Пх, а <з — — чаг. Для каждой пары дат 22, 2з находим цгг чз, ргз и егз с помощью (12.3.101) и (5.1.64) пли (12.3.98) и продолжительность перелета 222(ргз, егг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
