Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 9
Текст из файла (страница 9)
15) Сравнивая последнее уравнение с уравнением эллипса в полярных координатах д (1 — ев) Г= 1 + е сову' получим следующие равенства: сое Š— е сов у= 1 — е сов Е е+ сову сов Е= 1+есоеу ' (2Л6) ~' ! — ее е!и Е . 1' 1 — ес е!оУ в!пу'= в!п Е= 1 — е сов Е 1 -!- есоеУ Из этих равенств следует, что — 1я —. / 1+е Е 2 )У 1 — е 2 (2.17) Уравнение (2.17), по-видимому, наиболее удобным образом связывает между собой углы 7" и Е, поскольку у/2 н Е12 всегда находятся в одном и том же квадранте.
Возвращаясь к интегрированию уравнения (1. Зб), запишем 1+е сов Г= 11 — ев) 1 — е сов Е Итак, уравнение (1. 36) эквивалентно следующему уравнению: — аг=(1 — е сов Е) аЕ. де Последнее уравнение легко интегрируется, а результат наиболее часто выражают в форме М=Š— е в(п Е. (2. 18) через Р, пересекает вспомогательную окружность.
Угол РРА называется истинной аномалией и обозначается через !', а угол ЯСА— эксцентрической аномалией и обозначается через Е. Нетрудно показать, что расстояние от фокуса Р, до тела на орбите выражается формулой Постоянная интегрирования включена в величину М, называемую средней аномалией: М=н(1 — т), (2.
19) где н — среднее угловое движение, определяемое либо по уравне- нию (2. 5), либо по формуле (2.20) а т — момент прохождения через перицентр. Величину М можно представить как угловую координату тела, движущегося с постоянной угловой скоростью по вспомогательной окружности.
Соотношение (2. 18) между средней аномалией и эксцентрической аномалией называется уравнением Кеплера. Как отмечалось в равд. 1. ?, постоянную интегрирования можно рассматривать в качестве одного из шести орбитальных элементов. Однако часто вместо т используют другую связанную с ней величину. В разд. 1. 7 истинная долгота тела на орбите была определена следующим образом: 7-=™+У. По аналогии определим среднюю долготу 1= о+М. В момент времени г=0, называемый эпохой, средняя долгота равна Тогда величина з — средняя долгота в эпоху может быть использована в качестве орбитального элемента вместо т. В этом случае средняя аномалия находится из соотношения (2.21) Уравнение (2. 18) можно вывести и геометрическим способом. С этой целью напомним, что на основании второго закона Кеплера можно записать площадь РГА а паз Из рнс.
2. 4 найдем соотношения между площадями: пл. РРА =ил. РВА — пл. РЕК и далее ил. РРтх = — а (е — сов Е) а з1п Е, 1 2 51 пл. РКА= — пл.'Я)сА= ь а = — (пл. ЯСА — пл. ЯС)с)= ь а Ь Г1 = — ~ — а'Š— — а'соз Е з1п Е). а[2 2 Следовательно, пл. РРА= — ай(Š— ез[пЕ). 1 2 Из сравнения первого и последнего уравнений для площади РРА непосредственно получается уравнение Кеплера. 2.5. Методы решения уравнения Келлера Ввиду трансцендентности уравнения Кеплера* относительно Е эта величина при заданном М не может быть выражена конечным числом членов. Существует, однако, одно и только одно решение уравнения Кеплера, что можно показать следующими рассуждениями.
Рассмотрим функцию Р(Е) =Š— е з[п Š— М и предположим, что Йп<М<(Й+1)п, где Й вЂ” некоторое целое число. Тогда, так как Р(йп) =йп — М<0 Р((Й+1) п1= (Й+! ) и — М)0, то Р(Е) по крайней мере один раз на интервале йп<Е<(й+1)п обращается в нуль. Но производная Р(Е) всегда положительна, поэтому функция Р (Е) равна нулю только при единственном значении Е.
Рассмотрим теперь некоторые из методов решения уравнения Кеплера, число которых буквально составляет несколько сотен. Разложение в ряд Фурье — Бесселя Дифференцируя уравнение Кеплера, получим йЕ= 1 — есозЕ 1 Функция является периодической относительно М 1 — есозЕ с периодом 2и, и поэтому можно записать " Различные методы решения уравнения Кеплера описаны в работе [691 (прим, ред.). =А, +~Ч!' А„сов лМ, 1 — есо» Е »=! где Ас, А!, А»,... — обычные коэффициенты Фурье: -л А, = — '! ЫМ= — ~ соз (й(Š— е з!п Е)]НЕ=2/»(яе), 1 — есо»Е л где функция Бесселя первого рода Ьго порядка (см. задачи 2.20— 2.
22). Таким образом, интегрируя уравнение Кеплера в дифферекциальном виде с правой частью, выраженной рядом Фурье, получим необходимый результат: Е=М+2 ~~~ — У»(яе) 81п йМ. » »=1 Е,=О, Е,=М+е з!и Е„ Е»+»=М+е 81п Е». (2.23) 53 При малых значениях е, характерных для большинства планет солнечной системы, ряд сходится довольно быстро (коэффициенты этого ряда для планет Меркурий, Венера, Земля и Марс приведены в приложении).
Если члены порядка е' и выше отбросить, то в уравнении (2.22) останется только три ненулевых коэффициента Бесселя: 1 г 1 ! У!(е)= — е ( 1 — — е'+ — е'), 2 (, 8 192 у,(2е)= — е'( 1 — — е') 1» 1 2 (, 3 .ЦЗе)= — е'( 1 — — е'). 16 (, 18 Метод последовательных приближений Уравнение Кеплера можно решить также с помощью простого итерационного процесса. Рассмотрим бесконечную последователь- ность Тогда из соотношений Еет! — Ее=е(з1пЕе — з1пЕе !)= Ее — Ее ! Ее+ Ее =2е з(п соз 2 2 1 е!п — (Ее — Ее !) 2 и = е (ń— Е„!) 1 соз 2 — (Š— Е ) следует, что (Е,!! — Е,~ ~(е(ń— Ее ! / (ее-!1Е,— Е!( =ее-!М.
Если значение е меньше единицы, то последовательность схо- дится к величине Е, равной Е=!1т Е„. Это можно показать следующим путем: (Š— Е~,~~=~ ~' (Е,! — Е )(( '( (Е +! — Е 1( е|=е+! и=и+1 ~(М ~ е -'=М т=е+1 1 — е Рассматриваемый процесс весьма эффективен при малых значениях е. Однако для случая орбиты, близкой к параболической, должны быть предусмотрены другие методы. Разложение в ряд истинной аномалии Р 1 — е2ЖИ пу = (! — е со! Е)! Так как функция (1 — есоз Е)-' — периодическая относительно М, ее можно записать в виде 1 =Во+~' ВесозйМ, (1 — е сое Е)2 е=! о4 Истинную аномалию ( можно непосредственно выразить в виде ряда Фурье через среднюю аномалию М.
Результат аналогичен уравнени!о (2.22), но коэффициенты ряда несколько более сложны. Здесь приводится вывод этих коэффициентов, поскольку он отсутствует в обычных руководствах по небесной механике. Используя равенства (2 16), легко показать, что где 1 г лМ 1 г е'Е 1 в, 2п е (! — есовЕ)в 2п .! 1 — есовЕ рс) и и 1 Г совАМ ~Л,, 1 (' сов(А(Š— ее!и Е)1 в — — — ~ и е (1 — есовЕ')В и е 1 — есовЕ аЕ. 1 Г ехр!ГА(Š— ев!пЕ)! 1 — есовЕ Для вычисления интеграла ВА перейдем к комплексной переменной е» я=все в(Е =— ге 1 Г 1 ! 1 Г ! 1 совЕ= — (а+ — ~, в1п Е= — (а — — !. .)' ' ~ .( Это позволяет выразить В» контурным интегралом е" ехр ~ — — Ае(е — — Л В„=— Ыл, пе с (е — а) (е — ))) где 1+ У1 — ев 1 — ф 1 — ев \ Э е а контур интегрирования С есть окружность единичного радиуса в комплексной плоскости г.
На основании равенства, доказываемого в задаче 2. 20 для бесселевых функций, можно записать ехр~ — — (в — — )~= ~ У„( — /ге)г", откуда е= — С с Интегралы в последнем выражении вычисляются с помощью теоремы о вычетах теории функций комплексного переменного. Так как а)) =1, то а)1, а р<1. Таким образом, Ф.=. =- "(-..— ) е е' ° „,~ 1 е в ! — 2я!а""в и+А<0 с 0 и+А)~0 ~ил+»( + + ),~я + с с (2221~"')» и+А > О и выражение относительно В» принимает простой вид -(»+1) В» — — [ ~ У„( — Ае)алэ'+ ~ Ул( — йе) рлл.»1. л=— 1'1 е2 л=-» Используя равенство У „( — йе) =Х„(ле) и меняя порядок суммирования, получим В„= ['5' Улл.»(йе)а-л+ '~ У»+л(АЕ)Р-л] 2 У'— л»о 1 — е2 л=— или, так как а= —, 1 В„= ~ У»л.„(АЕ)~)л). 2 Рг) — 2 В таком случае искомое выражение для ) получается интегрирова- нием исходного разложения в ряд Фурье г"=Л+~~»' — [ ~,)»+ (/ге) р ~ л ~ ~ з1п Ш (2 24) »=1 л=- где 1 — Р 1 — г2 (2.25) о= — ~ з1пЕ й+ ~ ~' созЕ) .
г (2.26) и есть величина порядка е)2. 2.6. Положение и скорость на эллиптической орбите В равд. 1. 8 было показано, что векторы положения и скорости можно непосредственно определить через их начальные значения Ре и Ре. Можно также получить удобные выражения для векторов положения и скорости как функций времени в зависимости от Ре и Км для этого выразим сначала векторы положения и скорости в системе координат $, т) прямо через эксцентрическую анома- лиюЕ: г = а (соз Š— е) 21+ )гар 21п Ег'„ Пусть Е, обозначает эксцентрическую аномалию, соответствующую вектору положения го.
Тогда, если в уравнениях (2.25) и (2.26) заменить Е иа Е«ь то в результате получим соотношения, связывающие йо и йо с единичными векторами «о и ь, .' — соо Ео — а ««= ' «' — 1 « — в1п Ер„ «'о и — - ««а о!пЕо— а «' = ~,« — — ' г,+ (сов Е,— е)юо. 1 Р «'о )/ ~ 1= (Š— Е,) — е (в1п Š— в1п Е,), ао или в эквивалентной форме 1 =(Š— Е,)+ е в1п Е, [1 — сов (Š— Ео)) — е сов Е, в1п (Š— Е,). Нетрудно показать, что есовЕ =(1 — — о), го х о а) ев1пЕ,=— «о оо У« Таким образом, получим уравнение -" — г=(Š—.Ео) + — '' [1 — сов(Š— Ео)]— аз ( 1 го 1 в1п (Š— Е ), о~ (2.27) которое необходимо разрешить относительно (Š— Ео) при задан- ном интервале времени Е Если теперь эти выражения подставить в уравнения (2. 25) и (2. 26), то получим зависимости для г и й от го и йо.
Но прежде чем перейти к окончательному выражению, запишем сначала уравнение Кеплера для случая, когда г' представляет собой интервал времени, соответствующий разности эксцентрических аномалий Š— Е,. Тогда г, будет обозначать положение тела на орбите в эпоху, т. е. в момент времени «=0. Для этого случая уравнение Кеплера имеет вид После того как разность (Š— Е,) определена, векторы положения и скорости находятся из следующих уравнений: г(1)=( 1 — — [! — соз(Š— Ео))~ го+ го (Š— Ео! — а!и (Š— Ео) )г р(аа в(Ь)= — г з!п(Е Ео) го+ [ 1 — — [1 — соз(Š— Ео))~ ~о.
(2.29) гго (2.28) Читателю следует сравнить эти результаты с уравнениями (1. 44) и (!. 45), где в качестве переменной выступает разность истинных аномалий (! — !'о). 2.7. Положение и скорость на гиперболической орбите Можно распространить разработанный выше подход для эллиптических орбит на случай гиперболической орбиты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
