Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3.4. Геометрия параболических орбит директрисы Р|Р', и Р,Ре как общие касательные к двум окружностям с центрами в точках Р и Я и радиусами г, и га. Осями А1А; н АхА' парабол являются перпендикуляры к соответствующим директрисам, проходящие через фокус Р. Вершины Р, и к'е делят пополам расстояния вдоль осей от фокуса до директрис. Элементарными геометрическими построениями можно показать, что оси А~А,' и АаА' параллельны асимптотам гипербол, представляющих собой геометрические места свободных фокусов для рассмотренных ранее эллиптических и гиперболических орбит (см.
задачу 3. 3). Следовательно, уравнение (3. 3) дает наклон этих осей относительно прямой РЯ. Таким образом, для каждой параболы параметр нли, что то же самое, расстояние от фокуса до директрисы, определяется с помощью простых геометрических соотношений 12 4 (8 — 11) (8 — «2) 8, 8 — С 82 2 2 — т 12 2л 4(8 — 1) ( — г2) ' 8 — С ' Р2 2= С2 (3.9) (3.10) есову1 = — — — 1, Р Г1 е сов(Л+0)=-Р— — 1. Г2 Подставив эти выражения в тригонометрическое равенство сов' ((1+ В ) — 2 соз ()1+ 0) сов )1 сов В + со 8211 — в! п' В = О, получим аг21 (р — «2)' — 2аг,г,(р — «,)(р — «1) сов В+ +аг2(р — «1)' — г1г2(а т р) в)п 0=0. Выбор знака в последнем члене определяется тем, является ли коническая траектория эллипсом (верхний знак) или гиперболой (нижний знак).
Если теперь сгруппировать члены с равными степенями р (коэффициент при р' равен просто ас') и сделать далее обычные алгебраические упрощения, то получим квадратное уравнение относительно параметра р: ас'р' — «1«2(1 — сов В)[2а(г,+г,)+ 1,«,(1+совВ)'р+ +а«1«2(1 — сов 0)' = О. Используя величину 8, которая была определена уравнением (3. 2), заключенное в квадратные скобки выражение можно переписать в виде 2а(г,+«2)т«1«2(!+сов 0) =2а(28 — с) — 28(8 — с) = = — 28 (8 — с — 2а) — 2ас. 78 3.2.
Параметр и эисцентриситет Хотя и были найдены возможности получать параметр и эксцентриситет для некоторых частных конических траекторий путем геометрических построений, тем не менее нецелесообразно исполь. зовать подобный метод в общем случае. Поэтому попытаемся вывести аналитическое функциональное соотношение между параметром и большой осью конического сечения. Поскольку точки Р и Я лежат на конической траектории, то из уравнения (2.
2) будем иметь Далее будем рассматривать эллипс и гиперболу по отдельности. В случае эллипса удобно ввести обозначения а / г~+гв+ з!п — = 1р 2 Г 4а з!п я ч / '1+гв 2 ~Г 4« (3.11) (3.12) что позволяет записать я — с — 2а= — 2а созз —, 2 2 а я =2а в1п'— 2 с = 2а ( з!п — — в1п' — — !!. — 2 в 2 2 ! Следовательно, — 2я (я — с — 2а) — 2ас = 8а' з!п' — сов' — — 4а'(1з!п'- — — в1п' — ) = а (! Г а = 4ав в!пв — сов р+ 4а'в1п' — =2а' (в!пв — + в1п' ). 2 2 1 2 2 Подставим последнее выражение в квадратное уравнение для р и, принимая во внимание равенство г,гз(1 — сов 9) = 2(я — г,) (я — гв), получим ас'р — 4а'(я — г )(я — г ) я1п' — + в!п' — р+ 3 а+я, а — з 2 2 +4а(я — г,)з(я — г,)'= О.
Наконец, умножая все члены последнего уравнения на сз/а и используя равенство «+ 1 а — в с=2ав1п я1п — —, 2 2 придем к окончательному виду квадратного уравнения: с'р' — 4а (я — г ) (я — г ) (з!п' + з!п' ) с'р+ «+в . а — В 2 2 + 16аз(я — г1)з(я — гв)аз!пз — — з!пз = О. 2 2 79 Решение этого уравнения дает два корня р = 4'(' "') !' "') в1п' — "~ в — (эллипс).
(3.13) «2 2 Аналогично в случае гиперболы обозначим 85 — =1 В / г1+гэ — с / а — с 2 Э' 4а ~' 2а (3.14) (3.15) Тогда можем записать В э — с+ 2а = 2а сй' —, 2 э = 2а 852 — т 2 2 с = 2а(зьэ — ' — 85 2 2)' откуда 2з(з — с+2а) — 2ас=2а'~зй' т + -)-зйз т ). 2 2 Подставим, как и ранее, это выражение в исходное квадратное уравнение для р и используем равенство с=2азИ т+в 1 †й —. 2 2 Решение полученного в результате уравнения имеет вид р = ' ' з'и' — т* — (гипербола).
(3.16) ф 2 Аналитические и геометрические результаты совпадают: каждому значению а соответствуют два эллипса или две гиперболы, которые удовлетворяют условиям задачи. Кроме того, в случае эллипса условие минимума энергии, выражаемое уравнением (3. 1), означает, что в уравнении (3. 11) а=а.
К тому же в силу выполнения неравенств О (~(а <я имеем з!и' — ) 81п «+1 2 2 Расстояние между фокусами эллипса можно записать в виде ~-~~'п — ~), 80 Следовательно, если обозначить в зависимости от выбранного знака корни уравнения (3. 13) через р+ и р, то справедливо неравенство Рэ ЭР-. откуда следует 1.+ ( Т. Нижние индексы имеют очевидный смысл. Таким образом, в уравнении (3. 13) верхний знак соответствует фокусу Р*, а нижний— фокусу Р* (см.
рис. 3. 1). Аналогично в случае гиперболы 0 <6<7, поэтому зп' " > зп' -т— 2 2 Обозначая снова через р+ и р корни уравнения (3. 16), цмеем ~Р.~. )~ Р—. Расстояние Ь между фокусами гиперболы равно Т ю ю ю откуда Е~>1. Следовательно, в уравнении (3. 1б) верхний знак соответствует фокусу Р~, а нижний — фокусу Р" (см. рис, 3. 3). Можно сравнить общую формулу для параметра с частными результатами, полученными ранее геометрическим путем. Например, для случая эллипса минимальной энергии, когда а =з/2, имеем Гз — с а =я з1п щ э 2 8 Подстановка этих равенств в уравнение (3. 13) дает то же самое выражение для р, что и (3.4). Найденные из (3.
13) корни одинаковы, 'что указывает на существование только одной траектории минимальной энергии, соединяющей точки Р и Я. Для симметричного эллипса согласно уравнению (3. 7) величина большой осн выражается соотношениями г,+гц 2з — с й 2 2 \ откуда сразу видно, что соответствующие значения а и 3 связаны равенством Выражение (3. 8) для р, следует непосредственно из общего соот- ношения для р, если в уравнении (3. 13) выбрать верхний знак.
В заключение сделаем одно существенное замечание. Используя соотношения (3 11) и (3. 12), уравнение (3. 13) можно записать в виде 4 (з — г,)(з — гз) Р= — — — — Х сз Найдем пределы р при стремлении а к бесконечности и сравним их с р1 и рм определяемыми (3. 9) и (3. 10): 11шр4 =р„ а~ 1!шр =Р,. ОФ Отсюда видно, что параболические траектории от Р к Я представляют собой предельные случаи эллиптических траекторий, когда величина большой оси стремится к бесконечности.
Если аналогичным образом записать уравнение (3. 16) и перейти затем к пределу при стремлении а к бесконечности, то можно также показать, что те же самые параболы являются предельными случаями гипербол, когда величина большой оси стремится к бесконечности. Наконец, рассмотрим с аналитической точки зрения предельную форму гипербол при стремлении а к нулю. Вычисляя предельный наклон асимптот 1!ш — = !!ш ~ ~ ь Гр аз а аз~а можно удостовериться в справедливости результатов для гипербо- лических орбит, доказанных в конце равд. 3. 1. з2 3.3.
Теорема Ламберта о времени полета Конические сечения обладают многими интересными и часто неожиданными свойствами. Например, едва ли можно было заранее предположить, что период обращения для эллипса зависит, как было показано в разд. 2. 2, только от большой оси эллипса и совсем не зависит от эксцентриситета. Другой пример, показывающий еще более интересное свойство конических сечений: при движении тела по конической орбите величина скорости является функцией только расстояния от центра притяжения и большой оси. Здесь снова видна независимость от эксцентриситета. В этой связи, по-видимому, наиболее замечательное свойство устанавливает теорема о времени движения по эллиптической орбите, сформулированная впервые Ламбертом и аналитически доказанная затем Лагранжем.
Ламберт показал, что время перелета зависит только от длины большой оси, суммы расстояний начальной и конечной точек дуги от центра притяжения и длины хорды, соединяющей эти точки (фактически теорема справедлива для любого конического сечения). Если обозначить через 1 время движения по орбите от Р к Я и использовать принятые ранее обозначения, то теорема Ламберта устанавливает следующую зависимость: 1=г(а, г1+гм с). Заметим, что и здесь зксцентриситет ни на что не влияет. Справедливость утверждения Ламберта можно доказать следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
