Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 11
Текст из файла (страница 11)
47) и (2. 51), получить соотношение 1 1 2 5! 02 - — (Е2 — Е1) 2 а г — 1 1 !'1 + У2 — 2 )У У!12 С05 — (Ез — Е1) С05 — Я вЂ” У1) 2 2 2. 13. Показать, что р У' У' — =2+2есоз ~2 ~1 соз ~2 ! 1'12 2 2 Используя уравнения (2. 49) и (2. 53), получить соотношение 1 2У 1У2 5! 02 — (72 — У1) 2 г 1 1 У, + У2 — 2 р У,У2 сое — (/2 — 71) С05 — (Е2 — Е1) 2 2 2. 14. Доказать соотношение (2.52), (2.53) (2.54) 1К7= Уе 510 У' где у — угол, образуемый вектором скорости 9 по отношению к радиусу-вектору у.
2.15. Используя опредедение трохоиды, разработать графический метод решения уравнения Кеплера. 2. 16. Доказать, что выражение е 510 М 1 — есо5М 2 (1 — есо5М) 3 597 есть решение уравнения Кеплера, если пренебречь членами, содержащими е в степени выше третьей. 2. 17. Предполагая, что точки равноденствий находятся на концах фокального параметра орбиты Земли (что близко к истине), а зксцентриситет орбиты Земли равен 1/50, показать, что интервал времени от точки весеннего равноденствия до точки осеннего равноденствия на 7,6 дней больше интервала времени от точки осеннего равноденствия до точки весеннего равноденствия. 2.18. Для движения по эллиптической орбите вблизи центра притяжения найти отношение времени перемещения, между концами малой оси к полному периоду обращения.
2.19. По схеме последовательных приближений, рассмотренной з равд. 2. 5, разность между точным решением уравнения Кеплера я (я+ 1) -ым приближением ограничена сверху следующим образом: ее (Š— Ее+1~ < Л4" — '.' ' . -1.— е = (Е Ю П Е [Еччч+ К (Е Ечч)) т=! где Р(Е)=М+ез1пЕ, 0<р <1, откуда следует, что ~[Š— ЕдД <(М+е)е'. б) Показать, что если задана точность К, т. е. [Š— Еь+! [ <К то й следует выбирать таким образом: А)ш[п(йо Аз), '1оя [К(1 — е)/чИ[ й 1оа [КЯЛ)+ е)] К= 2 1оя е 1оя е в) Какое количество итераций потребуется для достижения точности 10-4, если М=л, е=0,5. 2.
20. Получить соотношение где ехр~ — (х — — )~= ~~~ lз(ч)хз, используя разложение (-')"' ехр( — '~ )ехр( — — )= — ~~ч" ~~ч' ( — 1)" )=о =о хч-" для чего заменить в последнем ! на й+л, где Й вЂ” новый индекс суммирования. Определить коэффициент при х' в полученном ряде. Г1 г 11 Функция ехр~ — ч (х — — )~называется ироизводяи[ей для функ- ~2 ~ ) ций Бесселя Уь(т).
2. 21. Заменив в разложении производящей функции х на ( — х-'), показать, что у а(ч)=( — 1)~у„(ч). Подобным же образом показать, что. 1-ь( — т) =Ха( ). 2. 22. Полагая в разложении производящей функции х=ехр(18), умножая затем все члены ряда иа ехр( — чгл 0) и интегрируя обе С помощью теоремы о среднем из дифференциального исчисления можно найти другие верхние пределы. а) Показать, что части по 0 в пределах от О до 2зз, вывести формулу для интеграла Бесселя: у„(з) = — ~ соз (Ю вЂ” ч з1п 0) 1зй. 1 1" о 2.23. Показать, что уравнение (2.24) до членов порядка еа имеет вид у.
М ] [2е ез з(пМ ] ег езжая)п2М [ ! 31 г 3 11 41 ) ~4 24 + — — е' з!п ЗМ+ — е' з1п 4М. 13 з !03 !2 96 2. 24. Показать, что —" = 1+2~ Уз(йе)соя еМ, г Л=1 сову = — е+ ( )~Ч»' У~(йе)сов АМ. е 2. 28. Доказать справедливость уравнений Т= — [е з1пу.з,+(1+е сову)зз], ,ОО зл = — [ — (1+ЕСОЗУ)Т+ЕЗ1ПУ.11], рл где — = )Г1+2е соз у+е', Ь если 11 и 1 — касательный и нормальный единичные векторы при движении тела по орбите, а 1, н зз — соответствующие радиальный и трансверсальный единичные векторы.
2.26. Доказать следующие равенства для специальных трансцендентных функций, определенных в равд. 2. 8: 2С(4х) = С(х) [2 — хС(х)] =' [1 — х5(х))г, 45(4х) = С(х)+5(х) — х5(х) С(х), «л8(х) 1 Р «л-1С (х) «хл 2х [ «хх-1 (2и+ 1) «л 18(х) 1! «хл «С(х) 1 2л «С(х) ] ( 1) «8(х) «Хл 1 «Хл ул-18 (х) «хл 2.27. Подставляя в формулы равд. 2.3 величину х= 1 р (1й - — — 18--'-), .— г у уО 2 2 показать, что универсальные формулы, полученные в равд.
2. 8, справедливы для описания движения по параболической орбите. 2.28; Показать, что обобщенная форма уравнений (2.15) и (2. 30) имеет вид г = г, +(1 — г,а,) х'С(аэх')+ " ' [х — а х'о (а х')). Уг. 2. 29. Если интервал времени 1 мал, то уравнения, связывающие г(г) и у(() с начальными значениями этих векторов гэ и Ом можно получить с помощью разложения в ряд Тейлора, Таким образом, до членов порядка Р можем записать г =го+г(- -) + —,( — ) + —,( — ") +.. Из уравнения движения дзг, е — + — г= 0 аг2 уз и производных от него можно вывести следующие соотношения: .(г)= — — ", +-"', (.'.и- 1.+(1- — ", +" ..
Библиография Аналитическая геометрия,.конических сечений должна быть в общем знакома читателям. К тому же для удобства пользования в равд. 2. 1 приведен без доказательств соответствующий материал справочного характера, Интеграл энергии, описанный в равд. 2. 2 и называемый 'иногда интегралом живой силы, следует из формулировки закона.'сохранения полной энергии, который можно найти в любом руководстве по механике. Уравнение, связывающее положение и время на параболической орбите, часто называется формулой Баркера, а решение этого уравнения,в элементарных 'тригонометрических функциях можно найти у Мультона [47) или Пламмера [5Ц. Геометрический вывод уравнения Кеплера для эллипса и гиперболы в том виде, как он дан в-равд.
2: 4 и 2. 7, имеется также в книге Макмиллана [40[. Известно несколько сотен методов решения уравнения Кеплера, в связи с чем интересно отметить, что попытки отыскания новых решений этой фундаментальной задачи способствовали появлению на свет ряда новых отраслей математики. Один из наилучших методов решения — разложение в ряд Фурьев Бесселя (см. равд. 2. 5) — можно найти во многих работах, например в книгах Уиттекера [63] и Смарта [56]. Одно из доказательств сходимости метода последовательных приближений заимствовано у Шапиро [54], тогда как другому доказательству посвящена задача (2.!9). С другой стороны, вывод метода разложения в ряд истинной аномалии с помощью интегрирования по комплексной переменной в обычных руководствах по небесной механике отсутствует.
Этот вывод принадлежит автору. Разложения в ряды иного типа, например, подобного рассмотренному в задаче 2. 24, можно найти у Смарта [56] н Пламмера [51]. Формулы, выражающие векторы положения и скорости через положение и скорость в некоторую эпоху редко встречаются в опубликованных работах. Они приводятся в готовящейся к печати книге Хэррика [29], а для эллипса эти формулы даны в статье Пайпса [501. Подобная формулировка задачи двух тел наиболее удобна в применениях к космическим полетам. Сведение различных частных формул для конических орбит к универсально применимой формуле привлекло внимание автора в связи с работой Хэррика.
Однако при ознакомлении с этой работой автор обнаружил, что для обобщения задачи Ламберта, рассматриваемой также в гл. 111 настоящей книги, более удобны несколько иные трансцендентные функции. Оригинальный вывод приведен в работе[8]. Автор признателен Ларри Броку из Приборной лаборатории МТИ за подготовку графического материала к гл. 11 и 111, связанного с этой задачей. Соотношения для специальных функций о(х) и С(х) (задача 2. 26) были предложены д-ром Поттером и д-ром Миллером. ГЛАВА П! Определение орбит в задаче двух тел Во многих задачах механики космического полета требуетса найти орбиту космического корабля, которая бы удовлетворяла определенным граничным условиям. В случае межпланетного полета положение корабля в момент отправления от планеты непосредственно определяется по известному положению этой планеты.
Если к тому же указано время встречи с планетой-целью, то время полета космического корабля и вектор положения его в конце полета также может быть найден. Анализируя полет космического корабля, всегда удобно и часто оправдано в первом приближении считать, что на его движение в течение каждого конкретного периода времени влияет лишь одно небесное тело. Если исходить из этого предположения, то можно использовать весь аналитический аппарат, изложенный в гл. П. Более точное решение реальной задачи всегда требует применения итерационного процесса; при этом решение задачи двух тел является очень хорошей отправной точкой. Из рассмотрения общих свойств коничесцих сечений в гл. П видно, что для определения конической орбиты требуется удовлетворить некоторым пяти условиям.
Если заданы только начальная и конечная точки конической дуги относительно центра притяжения, то через них можно провести бесконечное число конических ' сечений. Однако, когда задано еще и время полета, то, вообще говоря, орбита становится однозначно 'определенной. Данная глава целиком посвящена этому частному классу орбитальных краевых задач. Сначала будет рассмотрена чисто геометрическая задача определения различных конических кривых, свя. зывающих две фиксированные точки и имеющих фокус, совпадающий с фиксированным центром притяжения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
