Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1. 8. В задачах, связанных с Луной, учитываются в основном три тела: Земля, Луна и Солнце. Пусть их массы равны соответственно те, тм и пта', точкой В обозначим обЩий ЦентР пРитЯжениЯ, или барицемгр Земли и Луны. Определим вектор гем как вектор положения Луны относительно Земли; подобным же образом определяются и относительные векторы геев, гма и гва. а) Вывести уравнения движения Луны относительно Земли и движения Солнца относительно барицентра в виде Етг 6(т + т ) — та( е + м) Ем ( Е М т7 Р, ем ЕМ > 'ем отгва о(те+ тм + та) ~'7 веР 4йа те+ тм относятся соответственно ГЕМ ' 4 ЕЯ ем ва гем гБЕ е Раднус-вектор общего центра масс (ерим. ред.).
м те где Р= — + —. гма ген Операторы градиента ~7ем и 1;7еа к координатам векторов гем и гее. б) Получить разложение Р— + те + тм тег"м 1 гва те + тм геа те тм (' гем те +тм + тл тлтМ+ тч (те + тм)т Ра(сов а)+ > Р, (соз а)+ 4 — — Р, (соз а)+ в) Показать, что отношение второго члена к первому в этом разложении равно приблизительно 8Х10-з. Следовательно, движение Солнца относительно барицентра Земля †Лу является по существу эллиптическим: вг газ о (вгв + згм + иге) — + йгг з г =О.
вв= . гвв !. 9. Так называемая ограниченная задача трех тел состоит в том, чтобы определить движение тела бесконечно малой массы Р, в поле тяготения двух тел конечных масс Р, и Рз, которые обращаются одно относительно другого по круговым орбитам.
Поместим начало координат в центре масс системы. В качестве единицы массы выберем сумму всех масс, поэтому массы тг и тг можно записать соответственно (1 — р) и 1з, где 1з<1/2. За единицу дальности примем постоянное расстояние между телами конечной массы, а единицу времени выберем так, чтобы выполнялось условие 6=1. а) Показать, что при таком выборе единиц измерения постоянная угловая скорость обращения тел конечной массы относительно их общего центра равна единице.
б) Показать, что уравнение движения тела Рз. во вращающейся системе координат, в которой ось х направлена по прямой, соединяющей центры тел Рг и Рь а плоскость ху совпадает с плоскостью движения тел Р, и Рг, имеет вид йгг — йг — — 1 — и — и +2Мг =Мгг гг з гг йгг ' ез где гг, гг и г — векторы положения Р, по отношению к Р„Р, и центру масс Р, и Р„а 0 — 1 0 1 0 0 О О, М,= О 1 О М,= 1 0 0 0 0 0 0 в) Получить интеграл энергии, называемый интегралом Якоби, ог=хг+уг+ в + — э — С, гг где С вЂ” постоянная, а х, у, х — координаты тела Рз.
Полагая о=О, можно получить поверхности нулевой относительной скорости при различных значениях С. 1.1О. Умножая векторно Б на обе части уравнения (1. 32), показать, что скорость в любой момент времени есть сумма двух векторов, постоянных по величине. Один из них длиной 1зрг нормален 37 к радиусу-вектору г, а другой длиной еЮююй нормален к е или к оси орбиты. Исходя из этого показать, что годограф движения есть окружность радиуса ююрю, центр которой отстоит от начала координат на еЮю/юю. Построить годографы для движения по эллипсу, параболе и гиперболе.
1.11. Показать, что матрицу поворота, определенную в равд. 1, 7, можно получить как произведение трех отдельных матриц поворота й= 1~ЛЯ, где сов Я вЂ” я1п 12 О юсв= я1п11 сов!2 О О О 1 1 О О ююю = О соя ю' — я1п ю' О я!п ю сов ю' сов и — в1п и О я1пм совы О О О 1 и представить результаты геометрически. 1.12. Пусть начало системы координат находится в центре Земли.
Обозначим через Х и р долготу и широту точки в эклиптической системе координат, а через а и 6 прямое восхождение и склонение той же точки в экваториальной системе. Показать, что соя 8 сова =. соя р сов ю, соя Оя1па=сояря1п1,сова — 'я1пр'я1пю, я1п о=соя ря1п1, з!и ю+я1прсовю, где в в наклонение эклиптики. 1.13. Выразить углы Эйлера Я, ю', юо в виде векторной комбинации единичных векторов ю„, ю'„ ю, и юь юя, юо 1.14. Показать, что если у — угол между радиусом-вектором г и вектором скорости а, то эксцентриситет можно вычислить с помощью выражения о4юю мпю т 2вгг мпз т е'=! + 1.15.
Показать, что если о„и ою — радиальная и трансверсальная составляющие вектора скорости гочки, находящейся на рас- тета е и угла (, отсчитываемого от направления на перицентр. Используя уравнение орбиты в виде гр(1+ е) г= > 1+ есоеу показать, что если г и г„остаются неизменными, то бе и 67 должны быть связаны соотношением (1 — сов 1) бе+е(1+е) з(п7 51=0.
в) Показать, что соответствующее изменение вектора скорости бр, при котором гр остается инвариантным, определяется выражением М = 1 — й — [(1 — сову)'ю~ — (2+ с — соз у) з1п уе,]оу'. 2(1 — сое У) Р' гр(1+ е) Следовательно, в первом приближении направление, вдоль которого скорость может меняться без изменения высоты перицентра, совпадает с направлением вектора: (1 — соз у)' гс — (2+ е — соз у) з1п у' 1,. Указание: в первом приближении Ы~= — (,йу', Й,=г.йу'.
Библиография Небесной механике посвящены книги Бэйкера и Мейкемсона [4], Денби [20], Хэргета [27], Хэррика [29],'Мультона [47], Пламмера [51], Смарта [56] и [57], Уиттекера [63] и Уинтнера [64]. Книги Мультона и Пламмера стали классическими. Формулировку классических задач с помощью современной векторной записи, а также очень ясное изложение практических вопросов, связанных с расчетом орбит, можно найти в известной книге Хэргета. На более современном уровне, но более элементарно, изложена небесная механика в работе Денби, причем здесь также используется векторная запись. Из двух книг Смарта работу [57] можно рекомендовать как хорошее введение к прикладным задачам наблюдательной астрономии.
Материал нескольких первых глав книги Смарта [56] во многом совпадает с двумя первыми главами настоящей книги. В книге Уинтнера небесная механика представлена в очень усложненной форме, что делает эту книгу малодоступной для читателя, не имеющего специальной математической подготовки. Формулировку законов Кеплера и Ньютона можно, конечно, найти в любом учебнике по механике. При написании раздела о потенциале распределенной массы автор использовал работу Макроберта [41].
Вывод потенциальной функции несимметричного трехосевого тела, подобного Луне, приписывается Маккаллаху [36] и может быть найден в более современной трактовке у Денби [20], а также у Бэйкера и Мейкемсона [4]. Задача п-тел и возмущенное движение двух тел хорошо изложены у Мультона [47], Денби [20] и Смарта [56]. Разложение возмущающей функции, представленное в разд.
1.4, значительно более подробно исследуется в книге Смарта [56]. Способ явного расчета возмущающей силы, ие вызывающий никаких затруднений, связанных с вычислениями, был разработан д-ром Дж. Поттером из Приборной лаборатории МТИ. Понятие «сфера влияния» планеты принадлежит Лапласу. Изучая движение кометы вблизи планеты Юпитер, Лаплас пришел к выводу, что более удобно связать это движение с центром планеты, а солнечное притяжение рассматривать в качестве возмущающей силы. В результате было найдено удобное аналитическое соотношение, используемое в качестве критерия выбора начала координат. Вывод уравнения поверхности влияния, предложенный д-ром Дж. Миллером из Приборной лаборатории МТИ, можно найти в приложении к работе Бэттина и Миллера [13]. Орбитальные элементы и системы координат наиболее подробно рассматриваются в книгах Смарта [57] и Бэйкера и Мейкемсоиа [4].
Рассмотрение более тонких вопросов, связанных с точным определением координатных осей, как это требуется в астрономии, выходит за рамки настоящей книги. Эти вопросы обсуждаются в книгах Смарта [57], Вэйкера и Мейкемсона [4], а также в «Приложении к Морскому календарю» [21]. Мы будем считать наши системы координат заданными и неподвижными в инерциальном пространстве, что полностью удовлетворяет поставленным задачам. Уиттекер [63], так же как и другие авторы работ по небесной механике, рассматривает задачу трех тел достаточно полно.
Поэтому в настоящей книге этому вопросу уделено внимание только в задачах!. 8 и 1. 9. ГЛАВА Н ,Положение и скорость на орбите в задаче двух тел В гл. 1 относительное движение двух тел рассматривалось без учета связи положения и скорости на орбите со временем. Оказалось возможным проинтегрировать уравнения движения таким образом, чтобы время не входило явно в решение. В результате было получено геометрическое описание траектории путем установления функциональной зависимости между расстоянием от центра притяжения и углом ориентации радиуса-вектора этого расстояния относительно выбранного опорного направления.
В этой главе решение будет дополнено определением функциональной зависимости положения и скорости от времени, отсчитываемого от некоторой эпохи. Однако перед этим мы считаем уместным рассмотреть свойства конических сечений, чтобы снабдить читателя полезным материалом справочного характера. Понятие большой полуоси орбиты анализируется только в настоящей главе, поскольку при геометрическом описании орбиты оно не имело существенного значения. Но когда вводятся обобщенные определения периода на эллиптической орбите и орбитальной энергии, без понятия. большой полуоси уже нельзя обойтись. Далее будет систематически рассмотрена зависимость положения и скорости на орбите от времени для параболической, эллиптической и гиперболической орбит в указанном порядке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
