Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В заключение приводятся два элементарных примера определения орбиты в задаче двух тел. Соотношение между положением на орбите и временем будет обсуждаться в гл. П. 1.1. Закон всемирного тяготения Закон всемирного тяготения Ньютона гласит: Частица Р, с массой т, притягивает частицу Рз с массой тз с силой, действующей по прямой, соединяющей частицы Р, и Р,.
прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния меясду ними. Для аналитического описания взаимодействия системы и частиц Рь Рм ..., Р„с массами ть ть ..., т обозначим через г»=я,!„+у»1,-(-г,(, вектор положения частицы Рь записанный в неускоряющейся системе координат. Система координат является правой и ортогональной с единичными векторами 4, !„, !„параллельными осям отсчета. Кроме того, расстояние между частицами Р; и Р; обозначим как ! г»,= ~ г,— г, ~ =((г;. — г!) (г,— г!)) Тогда в соответствии с законом Ньютона сила притяжения Г», действующая на точку Рь определяется выражением Г! = бт, ~Ч» ~ (гх -- г!), ' (1.1) ~Ц где коэффициент пропорциональности 6 называют постоянной тяготения (штрих у знака суммы указывает на отсутствие члена, для которогоу=!).
Гравитационный потенциал У! в точке Р; определим следующим образом: Поскольку потенциальная функция зависит только от расстояния между Р; и другими точками, то она не зависит от выбора системы координат. Важное свойство потенциала заключается в том, что градиент Ут есть сила притяжения, действующая на частицу с единичной массой, находящуюся в точке Ро Таким образом, имеем Д=Ш;~усат. Здесь векторный оператор д)'дх, (1.3) т7т = д!дут д/'дй, представляет собой градиент по компонентам вектора гь Вообще говоря, тела солнечной системы притягивают друг друга как точечные массы. Однако на движение спутников по близким к планете орбитам конечные размеры притягивающей массы оказывают существенное влияние.
Понятие потенциальной функции представляет собой удобное средство анализа гравитационных сил, порождаемых телами конечных размеров. 1.2. Потенциал распределенной массы Понятие гравитационного потенциала легко распространить на непрерывно распределенную массу. Если х, у, г — прямоугольные координаты точки Р, то потенциал в точке Р, вызываемый распределенной массой с плотностью О, определяется выражением (т(х, у, г)=0Ц~ (' ть ) ЫЫ~Ж, (1.4) [6 — х)'+ (ч — у)з + (С вЂ” а)Ч ' " Используемые н дальнейшем результаты из теории сферических функций ее приложения к теории потенциала подробно изложены и работе щ (прим. Ред.) 13 причем интегрирование производится по всему объему притягивающего тела.
Тогда составляющие силы на единицу массы в точке Р(х, у, з) находятся как частные производные от )т по переменным х, р, з, При любом распределении притягивающей массы потенциал можно выразить в виде бесконечного ряда сферических функций*. С этой целью удобно использовать сферическую систему координат г, Ф, () и предположить, что точка Р(г, Ф, б), в которой требуется отыскать потенциал, находится на большем расстоянии от за °, ° з с щ Из рассмотрения рис.
1. 1, обозначая через о, р, Л сферические координаты элемента массы сЯт=Р(р, Д, Л)раз!прс(рс(рс(Л, будем иметь 11(р, З, Л) рт Ми Ы»Е~ЗКЛ э 1 (те+ ра — 2гр соа.(1 а Угол у связан с другими переменными по теореме косинусов сферической тригонометрии: » РпФУ соз (= сов Ф соз 'р + з!и Ф з1п р' соз (з — Л). г Ф Величину, обратную знаменателю подынтегрального выражения, можно разложить в ряд по степеням о/г: (ге+ ре — 2гр соз у) чЧ ,» — ( Р ~ Р,(сову), Рис. 1. 1. Сферические коор. ликаты где коэффициенты р»(сову) — полиномы от соз у, известные как полиномы Леткандра (см. задачи 1.
1 — 1.3). Выпишем несколько первых полиномов Лежандра: Р, (ч) = 1, Р, (ч) = ч, Р, (ч) = — (Зч' — 1), Р, (ч) = — (5ч' — Зч). 1 1 Полиномы более высоких порядков можно найти из рекуррентного уравнения йР» (ч) — (2й — 1) »Р», (ч)-(-(й — 1) Р» а(ч)=0 или по явной формуле Родрига Р,(ч)= —— 1 о»( 2 1)» 2»»! т(ч» Согласно теореме наложения для сферических функций Р»(соз у) можно выразить в виде Р„(соз ()=Р»(сов Ф) Р»(сов~)+2~' ( ~~1 соз/(й — л)Х (» -'г у)! /=ч Х Р~(соз Ф) Р~(совр), т где Р, (ч) =(1 — че) —.
Р»(ч) — присоединенная функция Лег оу очт жандра первого рода степени й порядка /. 14 Используя эти соотношения, потенциальную функцию ~Г можно записать как бесконечный ряд У(г, Ф, й)= — + ~~» ~ Р,(соз Ф)+ Ф-! в!,' с1 +~Ч~ '(' ' Р!(соз Ф) созуй+ ~~»" '( ' Р!1(соз Ф) з1п/0. (1.5) ь=»1-! й=!/-! Для вычисления постоянных коэффициентов служат формулы Аь=б ~~ ~ р".»ЧЭ(р, ~, Л) Р,(сов ~) з(п ~с1ргфЫЛ, В1=20 '~~ 111р!'»Ч)(р, ф, Л) Р»,(сов~)созуЛз1п~г(ргф1Л, (А+В» С»~=26 ~)' 111 р!"зО(р, ~, Л) РЙ(соз ~) з(п/Лз(прп»рсфср.
(»» + у)!,3 4,3 Величина и в первом члене уравнения (1. 5) представляет собой полную массу притягивающего тела: и = $ Ц й (р, В, Л) р! з1п рЫрг»р!б.. Последние зависимости сильно упрощаются, если масса распределена симметрично относительно оси г. В этом важном случае плотность есть функция только о и р, откуда следует, что интегри. рование по Л можно производить независимо. Так как з(пуЛсКЛ=$ созуЛ!»Л=О при /=1, 2, ..., то коэффициенты В! и С! тождественно равны нулю.
Если в дополнение к осевой симметрии начало системы координат совпадает с центром масс, то постоянная А, тождественно равна нулю. Для доказательства достаточно отметить, что постоянная А»=0 ~ ~~ р сов рат и, таким образом, пропорциональна первому моменту массы т относительно плоскости ху. Наконец, отметим, что если масса распределена однородными концентрическими слоями, то Аь тождественно равна нулю для 15 всех й.
В этом случае плотность есть функция только о, а величина А» равна А»- — -2яб ~ р»~ЧЭ (р) Ыр ~ Р» (соз ~) з1п )ятр, где 1с' — радиус тела сферической формы. Второй интеграл, как показано в задаче 1. 3, равен нулю. В выражении (1. 5) для потенциала остается только первый член, откуда видно, что распределенная таким образом масса в результате оказывает такое же влияние на точку Р, как если бы вся масса была сосредоточена в центре тела.
Для многих практических задач допущение об осевой симметрии тел в солнечной системе справедливо. Внешний потенциал обычно записывается в виде ~/(г, Ф)= — ~ ) 1 — У У») — ~, ) Р (соз Ф), (1.6) где экваториальный радиус тела обозначен через г, . Коэффициенты У» легко отождествить с коэффициентами А», однако явное определение их численных значений интегрированием, очевидно, невозможно. Значения этих коэффициентов должны находиться опытным путем с помощью соответствующих экспериментов, например наблюдений за орбитами спутников. Нечетные члены антисимметричны относительно экваториальной плоскости и равны нулю для симметричных тел.
Значения коэффициентов У» для Земли приведены в приложении. Сила притяжения, действующая на единичную массу в точке Р(г, Ф, й), вычисляется как градиент К Если направить единичный вектор 1„от центра притягивающей массы к точке Р, а единичный вектор ~, вдоль оси симметрии, то соз Ф= — с„с,. Применяя два векторных тождества с7(7, ),)= — — (1 — (к, 1)Ц, которые можно получить, решив задачу 1. 5, и рекуррентиую формулу Р» ~ (т) — чР» (~) = (й + 1 ) Р» (»), 16 которую можно найти в результате решения задачи 1. 1, получим выражение для градиента от потенциала Производные от полиномов Лежандра удобно вычислять по рекуррентной формуле (й — 1)Рь(э) — (2й — 1) ~Р!! !(т)+ИРь т(т)=О с начальными значениями Р; (т) =О и Р, '(т) =1.
Эта формула также входит в условия задачи 1. 1. 1.3. Задача л-тел Рассмотрим снова систему п точек Рь Р,, ..., Р„. В соответствии с уравнением (1. 1) уравнение движения точки Р; запишется (1.8) Во многих случаях удобнее переписать уравнение движения следу- ющим образом: (1.9) где !!!! — оператор градиента по компонентам вектора вь Функция У, имеющая вид (1.10) называется силовой функцией; она равна полной работе, произведенной гравитационными силами при переходе системы п точечных масс из состояния с бесконечно большими взаимными расстояниями в состояние с заданной конфигурацией.
Тогда поган!)иальная энергия системы равна — У. Для полного решения задачи и-тел требуется найти б п интегралов. Хотя только 1О из них можно получить, эти известные интегралы имеют важный физический смысл. Выведем далее эти 1О интегралов и затем покажем, что, когда на систему не действуют внешние силы, полное количество движения и момент количества движения, а также полная энергия такой системы остаются неизменными. 17 Закон сохранения количества движения Суммируя все уравнения вида (1. 8), получим (1.12) Закон сохранения момента количества движения Умножим обе части каждого из уравнений вида (1.
8) векторно на г! и сложим все п получившихся уравнений: ~"!и! ~"' Хг,=а~ч ~' ' ' (,.— „) Хг,=0. ! 1 !=!у-! !! После интегрирования получим и ! (1.13) Отсюда видно, что полный момент количества движения системы п точек постоянен по величине и направлению. В небесной механике часто применяется термин инварипнтнач плоскость; так называется плоскость, проходящая через центр масс г„, нормаль к которой совпадает с направлением вектора полного момента количества движения см Закон сохранения энергии Умножим обе части каждого из уравнений вида (1. 9) скалярно на Ыг!/Ж и снова сложим полученные и уравнений: ка и !и! — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
