Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Разрешая полученное выражение относительно г/о, найдем окончательное выражение 1 + ) 5 2 1+6соаоа Во многих представляющих интерес случаях массой та можно пренебречь по сравнению с т, и тз. Кроме того, если т1 много больше, чем ть то вторым членом в уравнении (1. 28) также можно 1 пренебречь. Отметим далее, что член (!+3созаа) ' не превышает 1,15. Поэтому, если этот множитель заменить единицей, то получим в результате уравнение поверхности (1.29) которая представляет собой сферу, описанную вокруг Р, и называемую сферой влияния Р, по отношению к Р,.
Внутри этой сферы принято определять движение Ря относительно Р, в качестве цен- Рис. 1.3. Поверхность влияния Луны трального тела, в то время как вне ее началом координат будет служить Рв. Значения радиусов сфер влияния для различных планет солнечной системы даны в табл. 1 в приложении.
В этой таблице и,— масса планеты, тв — масса Солнца. Если в качестве трех тел Рь Рн и Рв взять Луну, космический корабль и Землю, то, поскольку отношение массы Луны к массе Земли не очень мало, уравнение (1. 29) не дает хорошую приближенную зависимость для граничной поверхности. Сечение этой поверхности плоскостью, содержащей Землю и Луну, вычисленное по уравнению (1. 28), показано на рис. 1.
3. Из рисунка видно, что радиус этой поверхности меняется от величины порядка 52 000 км в направлении Земли до 66000 км в противоположном направлении. В этих точках отношения значений ускорения равны примерно 0,5; 0,4 и 0,6 соответственно. Для сравнения радиусы соответствующей поверхности вокруг Земли для системы Земля — Солнце равны 804 000, 925 000 и 808000 км, а отношения ускорений 0,1; 0,08 и 0,1, 1.6. Задача двух тел Как указывалось выше, в задаче и-тел известны только 10 интегралов. Поэтому лишь для задачи об относительном движении двух тел, требующей шести интегралов, возможно общее аналитическое решение.
В этом разделе общее решение будет получено теми же методами, что применялись в равд. 1. 3. Затем в гл. 11 эта важная задача будет рассматриваться в более общей постановке. Уравнение (1. 20) описывает относительное движение двух тел Рз и Рз в системе а-тел. Если наличие объектов Рз, Р„..., Р„не принимать во внимание, то уравнение движе ния приводится к виду — + — г=О. иззу и— ,122 гз (1.30) Умножим векторно последнее уравнение на г: — (г Х вЂ” ")=О, откуда следует, что вектор Ь=г Х вЂ” — — постоянный. (1.31) лз Рис. 1.
4. Кониче- ское сечение Из уравнения (1. 30), таким образом, имеем Лзг" — 1 — — и — 2 — Дг 1, и Г аг — Х 12= — — г Х и = — — г Х ( г Х вЂ” ) =' — [гз —— Ж2 Гз ГЗ ( ИЗ) гз ~,У вЂ” (г — ) г~=а — ~ — ) . Интегрируя обе части уравнения, найдем — "ХЬ= — "~г+ге), Ж г (1.32) где и — постоянный вектор. Следовательно, дг — — А.
— Х а=г Х вЂ” и=ли=12(г+ ге сов |~. ' лз лз (1.33) Здесь 1 — угол между векторами и и е, как показано на рис. 1.4. Разрешая последнее выражение относительно г, получим уравнение орбиты Лз г= 1+ е созГ Вектор й представляет собой момент количества движения, отнесенный к единице массы. Итак, этот момент количества движения системы есть постоянный вектор, а относительное движение происходит в постоянной плоскости: Л ° г= О. В уравнении (1.
33) нетрудно узнать обычное уравнение конического сечения в полярной системе координат с началом в одном из фокусов. Полуфокальный параметр или просто параметр конического сечения определяется как аз Р= (1.34) (1.35) Тогда, исключая с помощью последнего соотношения г из уравнения (1.
ЗЗ), найдем й1 ~Ч (1.36) рз (1+ е созу)з Интегрируя это уравнение, получим 1 как функцию времени и недостающую постоянную интегрирования. Обычно в качестве этой постоянной интегрирования выбирается тот момент времени т, в который оба тела находятся в наиболее близких друг от друга точках. Обсуждение интеграла от уравнения (1. 36) отложим до гл. и. 1.7. Орбитальные элементы и системы координат В небесной механике в задаче определения орбиты двух тел шесть постоянных интегрирования или различные их функции называются элементами орбиты.
Например, р, е, т — три возможных 27 Постоянная е, называемая эксцентриситетом, определяет природу конического сечения в соответствии со следующей классификацией.. окружность е=-О, парабола е= 1, эллипс О<е<1, гипербола е)1. Вектор е в уравнении (1. 32) направлен из фокуса в наименее удаленную от фокуса точку орбиты. Векторы й и е полностью определяют размеры, форму и ориентацию конического сечения относительно принятой системы отсчета.
Они дают возможность получить только пять независимых постоянных интегрирования уравнений движения, поскольку й ° с=О. Для полного решения необходимо получить зависимость положения тела Рз относительно Р, от времени. В уравнении (1. 31) йг/й( выразим в полярной системе координат г' — =й.
си орбитальных элемента. Они определяют коническое сечение безотносительно к выбранной системе отсчета. Для пространственной ориентации орбиты требуется задать еще три величины, Классический вариант выбора трех недостающих элементов — хороша известные углы Эйлера. Прежде чем вводить эти углы, рассмотрим некоторые типичные системы координат и терминологию, принятую в небесной механике. Для тел солнечной системы в зависимости от того, где находится начало отсчета, принято делить системы координат на гелиоценгрические (с центром в Солнце) и геоценгрические (с центром в Земле). Иногда начало системы координат помещают в центре плослесл~ь какой-либо планеты или Луны.
ерйиты В двух последних случаях гово- рят о планетоцентрической и сеек леноцентрической системах коор- динат. ° ' l В небесной механике приме- няются две основные системы ком ординат: эклиптическая и экваториальная. Опорной плоскостью ~ь в зклиптической системе коорди- нат является плоскость земной плоскость орбиты, в экваториальной систевпэрная ме координат — плоскость экварае из. системы координат тора Земли. Угол наклона плоскости эклиптики к плоскости экватора называется наклонением эклиптики. В обеих системах в качестве опорного направления выбрано направление на точку весеннего равноденствия, определяемую как точка на пересечении опорных плоскостей, в которой Солнце переходит экватор с юга на север в своем кажущемся ежегодном движении по эклиптике. Полярные координаты в зклиптической системе называются долготой и широтой, а в экваториальной системе — прямым восхождением и склонением. В прямоугольной системе координат ось х направлена на точку весеннего равноденствия, ось х нормальна к опорной плоскости и направлена на север, а ось у выбирается так, чтобы система координат была правой.
Единичные векторы в этих трех направлениях обозначим: ьх~ ьь ьь Рассмотрим далее движение тела под действием притяжения Солнца. Линия пересечения плоскости, в которой происходит движение, с плоскостью эклиптики называется линией узлов. Восходяи~ий узел есть точка, в которой тело пересекает эклиптику с положительной составляющей скорости в направлении оси г. Долгота восходящего узла измеряется от направления на точку весеннего равноденствия и обозначается ьг, Наклонение плоскости орбиты тела к эклиптике обозначается через й 28 з„Гз зз ' зз з„зз 11 12 Хз зу ю', зз'зз 1с 1з '1з и, тз тз .
(137) и, и, л Так, если д„, о„, о, и ды ув оз — компоненты вектора а в каждой из двух систем координат, то Чл уз Чт =гг Чз '7з ф Элементы матрицы поворота, представляющие собой направляющие косинусы, можно определить с помощью правила косинусов сферической тригонометрии. Например, угол между единичными векторами 1, и 1з образует одну сторону сферического треугольника, у которого две другие стороны составляют углы Й и в. Внутренний угол между этими сторонами равен и — П Следовательно, применяя правило косинусов, доказанное, в частности, в задаче 1. 4, получим 29 Для задания местонахождения тела используется другая система гелиоцентрических координат. Оси в и и выбираются в плоскости орбиты тела, причем положительным для оси $ считается направление на перигелий — точку, в которой тело наиболее близко подходит к Солнцу. Ось $ часто называют линией апсид.
Направления осей з1 и Ь выбираются так, чтобы система координат была правой, как это показано на рис. 1. 5. С этими тремя осями связаны единичные векторы зи з, 1о Ось в составляет с направлением на восходящий узел угол в, называемый аргументом пери- гелия. Три угла й, й в являются углами Эйлера. Обычно сумму углов 0+в называют долготой перигелия и обозначают ш. Следует отметить, однако, что это не долгота в обычном понимании, так как эти углы измеряются в двух различных плоскостях. Очевидно, подобные же величины можно определить и для экваториальной системы координат.
В этом случае точка на орбите, наиболее близкая к Земле, носит название перигей. Для произвольной системы координат употребляется термин перицентр. К этому следует добавить, что для эллиптической орбиты наиболее удаленная от центра точка называется соответственно афелий, апогей и апоцентр. Для задания положения тела на орбите используются обычно следующие понятия: аргумент широты 0 =в+7' и истинная долгота Г.=ге+1.
Переход от системы координат в, ть ь к системе х, у, г осуществляется с помощью матрицы поворота 1,=ю', ю' =совйсовм+в1пйв1пмсов(я — ю)= =сов Ясов и — в1п 2 в1п и сов ю. Остальные направляющие косинусы находятся подобным же образом: 1,=сов 2 сов и — в1п Я в1пм сов ю, 1,= — сов Я в1п и — в1п 1ю сов и сов ю, 1,= в1п 2 в1п ю', т, = в1п Я сов и+ сов Я в1п и сов ю, юп7 вюп 2 в!пи+сов 2 сов исоа ю~ и,= — сов 1ю в1п ю', и, =в1п и в1п ю, ююю=сов и 51п ю, (1.38) па=сов ю'. Другой вывод элементов матрицы поворота составляет содержа- ние задачи 1.11. Определение орбиты по начальному положению и скорости Зная составляющие вектора положения го и вектора скорости Гв в данный момент времени, можно полностью описать движение одного тела относительно другого.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
