Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Однако оказывается, что при этом аналогом эксцентрической аномалии будет некоторая плошадь, а не угол. Вспомогательная окружность, ис() пользовавшаяся при анализе эллиптических орбит, заменяется равнобочной гиперболой, имеющей ту же самую большую ось, что и гипербог лическая орбита, о которой идет речь. Обратимся к рис. 2. 5, где точками С и Р обозначены центр и фокус гиперболы, а точкой А — положение вершины или перицентра. Пусть точка Р есть положение тела иа гиперболической орбите, а Я вЂ” точка, в которой перпендикуляр к большой оси пересекает вспомогательРнс.
2. 5. Орбитальные соотношення для гиперболического ную равнобочную гиперболу. Тогда, движения если а и Ь вЂ” большая и малая полуоси, можем записать или в функции параметра Н Сй=асЬН, РК=Ьз!тН. Легко показать, что площадь САД, ограниченная прямыми СА и СЯ и дугой АЯ вспомогательной гиперболы, равна пл. САЯ= — Н, 2 а расстояние от фокуса до тела г=а(есЛН вЂ” 1). (2.
ЗО) Выражения, связывающие полярный угол 1 с параметром Н. получим, сравнивая (2.3О) с уравнением гиперболы в полярных координатах: а (ев — 1) 1+ е сову Таким образом, соз . е — сЬН ЛН е+ совУ (2.31) есЬН вЂ” 1 1+ есовУ !Уев ! воН з1п У= есЬН вЂ” 1 )Гев ! в1п У зЛ Н= 1+ е совУ 1д — = ~, 1Л вЂ”. I е+1 Н 2 ~ е — 1 2 (2.32) Точно тем же способом, что применялся при выводе уравнения (2.
18), можно получить аналог уравнения Кеплера для гипербо. лического движения ~ (Ь вЂ” с)=взЛ Н вЂ” Н. ав (2.33) пл. РГА а ~~~Р 2 2 Далее из рис. 2. 5 установим соотношения , пл. РРА =ил. РУТА — пл. РРес, пл. РРР,=-- а(сЛН вЂ” е)Ь зЛ Н, 1 2 пл. РегА =- — пл. ЯетА = — (пл. ЯСес — пл. ЯСА) = а а = — ( — авсЛ НзЛ Н вЂ” — авН) е е 1 1 а 2 2 которые непосредственно приводят к уравнению (2. 33). Для геометрического вывода этого результата целесообразно применить выкладки, аналогичные сделанным 'в равд.
2.б. На основании закона сохранения момента количества движения имеем Гиперболический вариант уравнения Кеплера при заданном г' разрешается относительно Н с помощью итерационных методов; однако обсуждение этого вопроса мы отложим до равд. 2.8. Нетрудно найти выражения для векторов положения и скорости з системе координат $ и Ч, лежащей в плоскости орбиты: г=а(а — сй Н) с';+~/ар зЬ Нь„ (2 34) — р' и= — — зй Н4+ — сй Н(з (2.35) т г И, наконец, можно вывести уравнения, полностью аналогичные уравнениям (2.
27) — (2. 29). Векторы положения и скорости г(й и а (Г) выражаются через их начальные значения га и Ра следующим образом: Г(8)= ( 1 — — [сп (Н вЂ” Н,) — 1] [,+ го + 1— .ь (о — и,) — (н — н,) )~ р./аз п(О= — зй(Н вЂ” Но)го+]1 — — [сй(Н вЂ” Но) — фо (2 ~) гго где разность Н вЂ” Н, находится как решение уравнения + -"- ~= — (Н вЂ” Н,)+ — "'" [сЦН вЂ” Н,) — 1]+ +( 1+ — ') з)т(Н вЂ” Н).
(2.38) (2.36) 2.8. Универсальные формулы для конических орбит В предыдущих разделах этой главы мы были вынуждены использовать тригонометрические функции для описания движения гела по эллиптической и параболической орбитам и гиперболические функции для описания движения по гиперболической орбите. Можно обобщить задачу, введя две новые трансцендентные функции.
Применение этих функций позволяет вывести универсальные формулы, одинаково справедливые для эллипса, параболы и гиперболы. На выбор соответствующей пары трансцендентных функций повлияло стремление использовать одинаковые функции для рассмотрения до известной степени различных орбитальных задач, которые будут излагаться в следующей главе. Задачу, для которой ищется обобщенное решение, можно сформулировать таким образом: даны векторы положения и скорости гга и аа одного тела относительно другого в некоторый момент вре- мени; найти векторы положения и скорости по истечении интервала времени й Две трансцендентные функции, через которые будет выражаться решение, имеют вид Х вЂ” 5!П) Х (~ .)' (2.39) 5Ь Г вЂ” Х вЂ” 5' — Х Ь':)' 1 х хо о (х)= — — — + — —...= 3! 5! 7! 1 505 !' х х)О, х 1 х хо С(х)= — — — + — —...= 2! 4! 6! (2.40) сь) — х — ! х (О.
Графики этих функций показаны на рис. 2. 6. Из определений легко получить следующие равенства: — = — [С (х) — Зо (х)[, ~Ю 1 5!х 2х — = — [1 — х5 (х) — 2 С (х)], а'С 1 ох 2х [1 — х5(х)]5= С (х) [2 — хС (х)) = 2С(4х). (2.41) +(1 го15~,(Н о. Возвращаясь к основной задаче, следует напомнить, что для большой полуоси выше были установлены определенные знаки: а)0 для эллипса и а(0 для гиперболы. Уравнение Кеплера в форме (2. 27) сохраняется неизменным: — ~ — $=(Š— Е)+ — '" [! — соз(Š— Е Ц— о — ( 1 — — 5) 51п (Š— Е,). Однако соответствующее уравнение (2. 38) для гиперболы должно быть теперь записано в виде 1= — (Н вЂ” Н)+ ' ' [с)!(Н вЂ” Н) — 1)+ В обоих случаях а вычисляется по уравнению (2.
1О). Для удобства 1 записи введем величину ао — — — . Тогда а 2 "о 2 п = — — —. о г'о Теперь, если принять для эллипса х Е Ео О, / Р I /О О, Рис. 2. 6. Специальные трансцендентные функции а для гиперболы то две формы уравнения Кеплера превращаются в одну.
Универсальное уравнение Кеплера выглядит следующим образом: )г'Р 1= ' ' хтС(азха)+(1 гоне)хз5(аохз)+гюх (2 42)' Ур Легко видеть, что это уравнение справедливо также и для параболы, для которой ао — — О *. Для нахождения х при заданном 1 вполне может быть применен итерационный метод Ньютона. Если х„— приближенное решение„ го улучшенное приближение находится по выражению х,ег=х„— ' Определение аргумента л в уравнении (2.42) для случая параболы автор вынес в задачу (2.27) (призе ред.).
где производная вычисляется с учетом уравнений (2. 41): Р'!( — =~ "'"" [х — аохо5(аохт!]+(! — г,а,)хоС(а,хо)+г, ((Х После нахождения х векторы положения и скорости могут быть вычислены по формулам ((( ~ ( — — о ( о(1 , (- ( ( — 5 ( о( ~ „ (2АЗ( и(!)= !аохо5(аох') — х) го+ ~ 1 — — С(аох')~ ео. (2.44) ((о [ Эти формулы вытекают из соответствующих частных формул (2. 28) и (2. 29) для эллипса и (2. 36), (2.37) для гиперболы; при этом способ их получения до известной степени сходен с выводом уравнения (2. 42). Задачи 2.
1. Найти фокусы, центр, директрисы и эксцентриситет для кривой, описываемой уравнением хо+ 4уо+4х — 8у+ 4 = О. 2.2. Показать, что прямые, соединяющие фокусы с какой-либо точкой на эллипсе или гиперболе, образуют с касательной в этой точке равные углы. 2.3. Окружность деформируется таким образом, что все расстояния от всех ее точек до фиксированного диаметра изменяются в одинаковом отношении. Показать, что в результате получается эллипс. 2.4.
Показать, что касательная в любой точке параболы об. разует с прямой, соединяющей эту точку с фокусом, и прямой, параллельной оси параболы, равные углы. 2.5. Доказать, что среднее значение модуля радиуса-вектора при движении по эллиптической орбите равно а ( 1+ — ео) и а )( 1 — е' 2 при осреднении по времени и истинной аномалии. 2. 6.
Зная большие полуоси орбит Меркурия и Юпитера и период обращения Юпитера, найти период обращения Меркурия. 2.7. Пренебрегая массой первого спутника Юпитера, выразить массу этой планеты через массу Земли, располагая следующими данными: Период обращения первого спутника: 1 день, 18 час, 28 мин.
Среднее расстояние первого спутника от центра Юпитера: 430000 хм. Радиус Земли: 6378,4 км. Ускорение силы тяжести на поверхности Земли: 9,83 м/сея'. 2.8. Показать, что если ор и о,— значения скорости планеты в перигелии и афелии, то (1 — е) о„= (1+ е) о,. 2. 9. Показать, что при скорости о в данной точке период обращения Р по эллиптической орбите можно выразить в виде Р=Р,~ 2 — ~ — ) 1 3 Г 2(гр — гр) 1= — -1 l (г,+2гр), где р — гравитационная постоянная. 2. 11. Вывести следующие равенства: 1' — =Ф' Π— )~м —.
у 'Е 2 2 (2.45) ')Гг в1п — = )Га(1+е) в1п —, 2 2 (2.46) ~/г1гз сов ' ' =асов з ' — ае сов ' ', (2.47) Гз — Л Ез — Е1 Ез+ Е| 2 2 2 )lг,г,сов ' ' =асов ' ' — ае сов ' ', (2.48) Ез — Е| е сов ~з '1 = ~ сов ' ' — сов 'з "1, (2.49) е сов Л вЂ”.Г1 Р соз '+ ' — сов А+А (2 59) 2.12. Показать, что ' =2 — 2е сов ' ' сов (2.51) где Р, и о,— соответственно период обращения и скорость для круговой орбиты, проходящей через ту же точку. 2.10. Модуль радиуса-вектора перицентра для параболической орбиты равен г . Показать, что интервал времени 1, в течение которого орбита находится внутри сферы радиуса г, с центром в фокусе, определяется по формуле Используя равенства (2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
