Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Затем будут получены аналитические выражения для орбитального параметра и времени перелета, причем вопрос о времени полета излагается на основе теоремы Ламберта. Оказалось удобным аналогично выкладкам гл. П обобщить основные формулы таким образом, чтобы онн стали применимы к любому типу конического сечения. Это дает возможность получать все семейство решений рассматриваемой задачи. Глава завершается обсуждением нескольких различных методов расчета орбит, начиная с хорошо известного метода Гаусса. Из то трех других приводимых методов только метод Хэррика широко освещен в литературе. 3.1. Геометрические соотношения Рассмотрим две фиксированные точки Р и Я и фиксированный центр притяжения в точке Г. В параболическом случае этих трех точек достаточно для определения двух парабол с фокусом в точке Г, соединяющих Р и Я.
Однако для однозначного определения эллиптических и гиперболических траекторий необходимы дополнительные условия. Исследуем сначала геометрические свойства различных семейств конических траекторий. Эллиптическая орбита Имеются три точки Г, Р, 1;1 (рис. 3. 1). Требуется найти эллипс с фокусом в точке Г, проходящий через точки Р и Я. Если положение второго фокуса Г * (называемого иногда свободным фокусом) известно, то задача решается и траектория, следовательно, опре- Рис.
3. П Геометрическое место своболиых фокусов лля эллиптических орбит делена. Поскольку положение точки Г' нельзя выбрать произвольно, то было бы интересно найти геометрическое место фокусов всех возможных эллипсов, удовлетворяющих условиям задачи. С этой целью введем следующие обозначения для отрезков прямых, соединяющих точки Р, Я и Г на рис. 3. 1: ГРг гь ГЯ=гв, РЯ=с. (В данном случае будем предполагать, что гв>гс., изменение знака неравенства на обратный приведет к достаточно очевидным результатам. Случай г1 — — гл — совершенно особый и фактически почти 71 тривиальный). Так как обе точки Р и Я должны лежать на эллипсе, то точка Р* выбирается так, чтобы выполнялось равенство РГ "+РГ=ЯР *+ 9Г= 2 а, или эквивалентно РР э=2 а — гь ЯГ*=2а — гь Таким образом, если большая ось'эллипса равна 2 а, то Р * находится как точка пересечения двух окружностей с центрами в точках Р и Я и радиусами 2а — г~ и 2а — гь На рис.
3. 1 построено несколько таких окружностей для различных величин большой оси 2а. Непосредственно можно сделать несколько интересных наблюдений: 1. Если величину 2а выбрать слишком малой, то окружности не пересекутся. Следовательно, существует наименьшее значение 2а , при котором'эллиптическая траектория еще возможна. Когда а=а окружности соприкасаются и точка касания Г*„ лежит на линии РЯ.
Тогда а определяется из соотношения (2а,„— гз)+(2а — г,) =с, откуда (3.1) 2а„= — (г, +г,+с), т. е. величина 2а равна половине периметра треугольника ГРЯ. Для удобства введем обозначение (3. 2) 2Я = Г, + г1+ С, отсюда 2а =з. Точка Г* делит прямую РЯ на отрезки РГт = 8 — Го ЯРт=8 2. При а)а окружности пересекаются в двух точках Р" и Р'. Тогда, вообще говоря, существуют две различные эллиптические траектории, связывающие Р и Я с одной и той же большой осью, но с разными свободными фокусами, равноотстоящими по обе стороны от линии РЯ. При любой величине 2а фокус Р" находится на большем расстоянии от Р, чем соответствующий сопряженный фокус Р*. Следовательно, эллипс с фокусом в Р* имеет больший эксцентриситет и меньший фокальный параметр,.
чем эллипс с той же самой большой осью и фокусом. в точке Р*. Величины а, и ам используемые в йостроениях на рис. 3. 1, определяются из равенств 2а,=2а +с~/2, 2а~— - 2а +гь 3. Каждый свободный фокус расположен таким образом, что разность расстояний от него до точек Р и Я постоянна и равна ге †Таким образом, геометрическое место свободных фокусов образует гиперболу; Р и Я вЂ” фокусы этой гиперболы, (га†«,) †дли с большой оси, а — — эксцентри- «2 «1 0 Г ситет. Наклон асимптот гиперболы равен "у«(в — г,) (в — г ) = + 2 Я- уе — «1 +. " 81п — . (3.3) 2'и'«Л . 8 Г «г — «1 2 Вторая форма выражения (3. 3) показывает, как деформируется гипербола, образованная свободными фокусами Р*, при изменении угла между отрезками РР и РЯ.
Рис. 3. 2, Одиопараметрическое семейство эллиптических орбит Геометрическое место свободных фокусов, два типичных эллипса, имеющие одинаковую большую ос8п а также' 'эллипс минимальной энергии представлены на рис. 3. 2. Некоторые важные случаи заслуживают более подробного рассмотрения. Зллипс мини«лальной энергии Точка Р" определяет так называемую эллиптическую траекторию минимальной энергии перехода между Р и Я. Кинетическая энергия тела, движущегося по эллиптической дуге, пропорциональна величине (1/г — 1/2а), где г — расстояние от центра притяжения.
Таким образом, в любой точке кинетическая энергия минимальна, когда длина большой оси траектории равна минимальной величине 2а . Параметр р и эксцентриситет е эллиптической траектории минимальной энергии можно найти следующим образом. Так как РР„=2е а„ то из рис. 3. 1 имеем (2е а )'=((в — гт) в(п л'.Рб/Р7+(гт — (в — га) сов л'.Рфр)т, Используя тригонометрическое равенство совл~РЯР= ( ') — 1, «тс-- получим (2п а )'=вт — — (в — г,)(в — г,). 4э .с 73 С другой стороны, для эллипса справедливо равенство (2еа) '= 4а (а — р), откуда (2Етаес) е=ет 2БРт. Окончательно р = — '(з — г,)(з — г,)- '' (1 — созе), е Эксцентриситет е можно теперь найти по формуле 2, 20са е =1 — — —. (3.4) Касательный эллипс Точка Я совпадает с апоцентром эллипса, чей фокус Р; находится как точка пересечения гиперболы, образованной свободными фокусами, и линии ЯР.
Все эллиптические траектории между точками Р и (',) с фокусами, лежащими справа от прямой ЯР, достигают апоцентра до точки Я, тогда как траектории, имеющие фокусы слева от этой прямой, достигают апоцентра после прохождения точки (с. Так как траектория с фокусом в Р, "касается в точке Я окружности радиуса гз с центром в Р, то для обозначения такой орбиты будем использовать термин касательный эллипс. Выражения для большой оси 2ас, эксцентриситета ес и параметра рс находятся с помощью простых геометрических соотношений. Из определения эллипса в обозначениях рис. 3.
1 следует ра-. венство ОРс+ б~Р= РР+ РРс = 2а,. Однако, поскольку Я, Р, Р,* лежат на одной прямой, то ЯРс = г, — 2е,а, = 2а, — г,, откуда РГс = 2г,— 2е,а,— г,. Рассматривая далее треугольник РРР; и используя обычные тригонометрические соотношения, получим гз [с т — (2гг — 2есас — гй) 1 + сов Ь гс(2есас) 2 2гз (гз — гс) 2е,а, = 2с'а — гс (1 + сое 0) Но 2ас = 2гз — 2есас 74 откуда /'з 1= 1+ т2 т! тз — т! соз 8 Теперь легко находится соответствующее выражение для пара- метра (3.8) Симметричный эллипс Чтобы закончить обсуждение свойств эллиптических орбит, рассмотрим эллипс, фокус которого Р; определяется как точка пересечения гиперболы, образованной свободными фокусами, н прямой, проведенной из Р параллельно РО, Подобная траектория представляет некоторый интерес ввиду ее симметрии; точка Р лежит на том же удалении от перицентра, что и точка Я от апоцентра.
Элементы симметричного эллипса 2а„а, и р, легко определяются, поскольку многоугольник РОР, "Р— равнобедренная трапеция: 2а,=т!+та (3. Т) р,= ( — соз )= у!т2 (т1 + г21 г] й, т! + т2 Р~. с (3.8) Гиперболические орбиты Обратимся теперь к рис.
3. 3 и снова рассмотрим точки Р, Р и Я. Задача ставится следующим образом; найти гиперболу с фокусом в точке Р, которая бы соединяла точки Р и Я. Как и прежде, решение задачи сводится к нахождению местоположения второго фокуса Р~. Однако, поскольку фокус Р совпадает с центром притяжения, интерес представляет только та ветвь гиперболы, которая вогнута относительно Р. Точки Р и Я должны лежать на вогнутой ветви гиперболы, поэтому фокус Р* необходимо выбрать таким образом, чтобы выполнялось равенство РР'" — РР= ЯР* — ЯР=2а. Тогда для гиперболы, имеющей большую ось 2а, точка Р' определяется пересечением двух окружностей с центрами в Р н Я и радиусами 2а+т, и 2а+тз.
На рнс. 3. 3 показаны три пары таких 75 р, = "' ' (1 — сох 5). (3.6) ут — т! С050 Наконец, сравнивая формулы (3.4) н (З.б), получим следующее интересное соотношение: р =р!соз ~РЦР. окружностей: для значений а=О, а=а, и а=ам причем а, и ат выбраны из условия г| 2а,= —, 2ат=г,. 2 Отсюда следуют выводы: 1. Все точки пересечения пар окружностей расположены вие круга радиуса г, с центром в точке Р. Нетрудно удостовериться в том, что для выпуклых относительно фокуса Р гиперболических траекторий, проходящих от точки Р к точке Я, все свободные фокусы Р* лежат внутри этого круга.
Рис. 3. 3. Геометрическое место свободных фокусов для гиперболических орбит 2. Две окружности пересекаются в двух точках Р* и Р*, поэтому существуют две различные гиперболические траектории, связывающие точки Р и Я и имеющие одну и ту же большую ось, а их свободные фокусы равно отстоят по обе стороны от прямой РО„. При любом значении 2а гипербола с фокусом в точке Ре имеет ббльший эксцентриситет и ббльший фокальный параметр, чем ги. пербола с фокусом в Р'. 3. Разность расстояний от каждого свободного фокуса до точек Р и 11 постоянна и равна гх — гь Таким образом, геометрическое место этих фокусов есть ветвь гиперболы, сопряженная с геометрическим местом свободных фокусов для рассмотренных ранее эллиптических траекторий.
Фокусы Р* и Ро, соответствующие большой оси нулевой длины, представляют собой предельные случаи, когда для движения 76 по таким траекториям требуются бесконечно большие скорости. При этом траектория со свободным фокусом в Р* — прямая линия от Р к Я, т. е. гипербола, у которой а=О и е=оо, а траектория с фокусом в Р* составлена из двух отрезков прямых от Р к Я 0 и является гиперболой, у которой а=О, е=зес —.
2 Параболические орбиты Существуют две параболические траектории с фокусом в Р, связывающие точки Р и Я. Прежде чем определять оси этих парабол, найдем сначала положение их директрис. Для этой цели воспользуемся рис. 3.4 и определением параболы, откуда получим Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
