Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Тем самым определен базовый треугольник РОГ, и остается найти параметры орбиты, зная время полета. Очевидно, что непосредственное вычисление а при заданном 7 невозможно, если учесть трансцендентный характер соотношений, в которые входит а. Подробнее этот. вопрос будет рассмотрен в равд. 3. 5. Вследствие целого, ряда обстоятельств возникают определенные практические трудности, которые следует учитывать, Во-первых, необходимо различать случаи, когда угол между радиусами- векторами г~ и гт меньше и когда больше 180', Во-вторых, необходимо сравнивать 1 с временем движения по параболической кривой, связывающей концы радиусов-векторов г, и гв. Если, с одной стороны, 7 меньше времени движения по параболической кривой, то требуемая траектория есть гипербола.
С другой стороны, если 1 больше времени движения по параболе, то требуемая траектория есть один из двух возможных эллипсов. Как было показано в равд. 3. 1, при фиксированных гч и гв время полета по эллиптической траектории является двузначной функцией а. Поэтому необходимо дальнейшее уточнение с целью получения соответствующего выражения для времени полета, которое будет использоваться в итерационном процессе. Это можно сделать путем сравнения времени 1 с временем 1, необходимым для перехода от г1 к гв по траектории минимальной энергии..К сожалению, производная от 1 по а стре- * Исчерпывающее рассмотрение этого вопроса можно найти в работах [671, [791, [7Ц (прим ред.), 89 В 10 1,1 12 15 1,Ч аае Рис 3.9.
Время перелета Земля — Марс в зави.- симости от большой полуоси переходного эллипса и угла перелета б мится к бесконечности. при значении а, соответствующем траектории минимальной энергии. Следовательно, если не принять особых мер предосторожности, могут возникнуть различного рода трудности *.
Как избежать большинства этих трудностей, будет показано в равд. 3. 6. На рис. 3. 9 построено время полета 1 в годах для перелета Земля — Марс в зависимости от большой полуоси а (в астрономи- ческих единицах) при га Вгодал различных значениях гелиоцентрического угла перелета 9. РассматриваВ=955' лись только эллиптиче- н 75' ские траектории; однако В=515' не исключалась возможность, что до встречи с Марсом космический ког рабль сделает й7 полных оборотов вокруг Солнца.' Если угол 9 меньше 360' В= 75' (1Ч=О), то а определяет- 115', ся как однозначная функ- 1 В=155' ция й Поэтому, если эллиптическая траектория, связывающая точки Р и Я, возможна при заданном значении 1, то она же является единственной.
С другой стороны, интересно отметить, что если угол 9 больше 360', но меньше 720' (й7=1), то а †двузначн функция и Таким образом, каждому значению г', достаточно большому, чтобы обеспечить выполнение задачи, будут соответствовать две траектории. В разд. 3. 2 было описано, как, зная большую полуось а, рассчитать параметр траектории р. Остается вычислить вектор скорости иь Наиболее просто это можно сделать, используя уравнение (1. 44).
Несколько меняя обозначения в этом уравнении, запишем ~,= — '-' — Рз-Г1- —" (1-созй)) Я. (3.26) г,гз з!и 9 1 1,о За исключением параметра р, все величины в последнем уравнении зависят только от вида треугольника РРЦ, ' Связанные со сходимостью итерационного процесса (прим. ред.). Х + зппп„1) Здесь выбор верхнего или нижнего знака зависит от того, меньше нли больше 180' угол 0.
Тогда, используя обычные тригонометри- ческие соотношения, выражение для р можно записать в любом из двух вариантов: 1 г!сз з1а 0 Р=— 2 1 с 1 1 г Х 1,с — — — — + здп((. — 1) з — с 2а 0( з 2а 1 1 ( 0 — =-- !(с(а — Х р 2 ! 2 Х вЂ” — — + здп ф„— 1) Подставляя теперь два последних выражения для р в уравнение (3. 26) и вводя два единичных вектора гз !1 !' ! с окончательно получим о! = -- (А(с,+со)+В(с,— з,,)], (3.27) где .Г А=+ 0с з — с 2а В = айпи — 1) ~,г -/1 1 з 2а 3.5. Универсальные формулы для теоремы Ламберта Используя специальные трансцендентные функции, определенные в равд.
2. 8, решение орбитальной задачи, рассматриваемой 91 Вектор скорости р! может быть выражен прямо через большую полуось орбиты а, и тогда необходимость предварительного вычисления параметра р отпадает. Из различных формул для р, приведенных на рис. 3. 7 и 3. 8, легко найти следующую формулу: 2з (з — г!) (з — сз) (з — с) Р— х сз в этой главе, можно свести к одной простой формуле, равно применимой к эллипсу, параболе и гиперболе, Формулы времени перелета по двум эллипсам, изображенным на рис, 3.7, можно объединить в одно выражение, применение которого не вызовет трудностей, связанных с упоминавшейся выше бесконечной производной. Для этой цели отметим, что вспомогательную величину а можно рассматривать в качестве независимой переменной вместо а, поскольку а и (1 связаны соотношением 1 — соза 1 — со5 3 г — с~О 5 — с Теперь можно ввести новую переменную А=а при 1<1 и Х=2я — а при /)1 .
Тогда, если считать Х независимой переменной, обе формулы для времени перелета становятся идентичными. Таким образом, имеем О <Л<2я, )/151=( 11 (Л вЂ” з!п Л) — ( 1 .(р — з!пр), О < р <Л; Л1 — со5 Л / Л 1 — 005(1 / О( р (55, где 5(1 — сов 3) =(з — с) (1 — созХ), з — сФО, В этом выражении ( — монотонно возрастающая функция Х, которая не имеет разрывов в окрестности траектории минимальной энергии при 1=я.
Теперь для заданного значения 1 соответствующее значение Х можно найти с помощью итерационного процесса. После этого величина большой полуоси а определяется по выражению, которое следует из определения а, когда Х рассматривается в качестве независимой переменной: 1 — 005 Л Аналогично в формуле для времени перелета по гиперболической траектории, приведенной на рис. 3. 7, независимой переменной можно считать у.
Тогда будем иметь )'1~= / — ' — 1 (зйт-Т)-~ ' ' ) (зйй-й), О<3<,( Л сот — 1/ где 5(с)1 б — 1) = (5< о) (с)лу — 1), з — сФО. Большая полуось связана с у соотношением а=— 1 — сь1 Нетрудно убедиться в том, что уравнения к рис. 3.8 можно подвергнуть подобным же преобразованиям, если принять следующие условия: р>о, при угле перелета 9 < 180', ~8 ~ 0 (р< 0, при угле перелета 9 ) 180', ~В < О.
С помощью специальных функций, определенных уравнениями (2. 39) и (2. 40), формулы для эллиптических и гиперболических траекторий можно преобразовать в одно выражение. Обозначая х=Х, — х=у, — 2 — 2 у — Я2 у — 82 придем к следующей универсальной формуле для времени пере- лета: — о <х <(2я)2, ) ~а~ = ~ ~ 5(х) эт( ) 5(у), — оэ <у(х, (3.28) ,„-, <у <„2 эуС(у)=(э — с)хС(х), г — с + О. (3.29) Выбор знака зависит от величины угла 9 между радиусами-векторами г1 и г2.
.верхний знак соответствует 9 меньше 180', нижний 9 больше 180'. Если величина г задана, то из уравнений (3. 28) и (3. 29) можно найти х и у. Отсюда легко установить тип конического сечения: эллипс, парабола и гипербола соответствуют положительным, нулевым и отрицательным значениям х и у. В этом случае большая полуось вычисляется по формуле а=— (3.30) хС (х) уС (у) а скорость находится по уравнению (3. 27), Полезно отметить, что при вычислении скорости член здп(à — г) можно заменить членом зйп(я2 — х) . Решение получается с помощью двух итерационных процессов: 1) по заданному х находится у и 2) по заданному г находится х. Для этой цели можно применить обычный метод Ньютона.
Используя равенства (2.41), нетрудно вывести следующие рекуррентные формулы: у„+2 = у„— — ~ у„С(у„) — хС(х)~; 11 — ~Ф(ь Н ~ Р', 2„— )/э г Ха+1 — ХЛ ~', [-,"'1 „ 93 где лт 1 2 3Грх — Х а~и ! С 1х1з з з Х'з +УЪ вЂ” С1х1' — — — — У'ей' . (з — с) з ут — ~со) -озгз -Ззгз -язтз -л'з 0 л з зл -' Лага х Рис. 3. 10. Семейство решений задачи Ламберта На рис. 3.10 показано семейство решений задачи Ламберта.
Безразмерная величина ~ ° — з построена как функция независич и аз з — с мой переменной х при различных значениях параметра —. Каждому значению этого параметра между нулем и единицей соответствуют две кривые: одна кривая для угла перелета больше 180', а другая — меньше !80'. Параметр: равен нулю, когда угол перелета равен точно 180'; на графике это соответствует кривой, разделяющей семейство решений иа две части.
94 3.6. Другие методы определения орбит Рассмотрим четыре других метода решения центральной задачи этой главы. За исключением последнего метода, мы ограничимся эллиптическим случаем, а читателям предоставляем возможность в качестве упражнения обобщить результаты на остальные конические сечения.
Метод Гаусса У р Г1тг МП 0 (3.31) Если в уравнении (2,54) обозначить Е2 Е1 2 и учесть, что й =12 — 11, то получим е 2г1гг 21пг— 2 (3.32) Р— — з г, + 12 — 2 ~~ г,гг сог — сог а 2 Исключая Р из уравнений (3. 31) и (3. 32) и используя обозначения Гаусса Г1+ Гг 1 > е 4 ~~ Г1Г2 СОБ— 2 «22 = пгг ~2 УГ1гг спп — ~ найдем уг «12 Х 1+ и!п2— 2 (3.33) Величины 1 и «2 определяются исходя из геометрии треугольника Р1;1Р и интервала времени й Таким образом, уравнение (3. 33) представляет собой соотношение между двумя неизвестными у и а. Важной величиной при определении орбит методом Гаусса является отношение (обозначим его через у) площади сектора, ограниченного радиусами г, и гг и дугой орбиты, к площади треугольника со сторонами г1, гг и с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
