Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Важная задача, которую попытаемся теперь решить, состоит в определении геометрического места точек Я, ко. торые еще достижимы из точки Р при фиксированной начальной скорости оь Для любой точки Я, еще достижимой из фиксированной точки Р, скорость о~ должна соответствовать траектории минимальной энергии от Р к Я, Из уравнения (4. 1) получается, что точка Я должна быть расположена таким образом, чтобы величина полупериметра г оставалась постоянной.
Из равенства О.Р=ОГ +Г Р следует, что ОР=2з — т, — т,=2з — г, — ЯГ, откуда ЯР+ ЯГ= 2з — г, = сопз1, Тем самым установлено, что геометрическое место точек Я есть эллипс с фокусами в центре притяжения Р и в начальной точке Р и большой осью 2аг. 2 2Н + г гчг (4.2) 2э — гги 2 Этот эллипс показан на рис. 4. 1. Касательная к эллиптическо- му геометрическому месту точек 0 в точке Я делит пополам угол, Ри образованный продолжением пряг'г мых ЯР и РЯ; это следует из свойства эллипсов, выведенного в задаче 2.2. С другой стороны, Р г! Р из результата задачи 3.4 следует, что касательная к эллиптической' орбите минимальной энергии делит пополам тот же самый угол. Таким образом, геометрическое место достижимых точек Я и соответствующие орбиты минимальной энергии от Р к Я касаРис.
4.1. гРзииаа достижимости ются в точке Я. Следовательно, эллиптическое геометрическое место точек представляет собой огибающую всех возможных орбит, выходящих из точки Р, а ее внутренняя область охватывает все точки, достижимые из Р при начальной скорости пь 4.2. Одноимпульснь1й компланарный перелет между круговыми орбитами Понятие границы достижимости, рассмотренное в предыдущем разделе, применимо только в том случае, если начальная точка Р не перемещается относительно центра притяжения Р.
Однако почти во всех задачах механики космического полета ракета или космический 'корабль обладают некоторой начальной скоростью по отношению к центру притяжения, поэтому целесообразно сконцентрировать наше внимание на дополнительной скорости, которую нужно прибавить к начальной 'для выполнения поставленной задачи. По-видимому, наиболее простой задачей такого типа является следующая: начальная скорость космического корабля равна круговой орбитальной скорости относительно центра притяжения; требуется определить приращение скорости, которое обеспечит перевод космического корабля на новую орбиту, проходящую через заданную точку пространства.
Для практического применения решения этой задачи можно принять упрощенную модель солнеч- (4.3) 2 и по= — . г1 Если в точке Р космическому кораблю придать надлежащим образом приращение скорости Лэь то ои покинет в точке Р со скоростью Г, свою первоначальную орбиту и будет двигаться по эллиптической траектории к точке Я, находящейся на расстоянии гз от центра притяжения. Определим зависимость величины приращения скорости Ло1 от гелиоцентрического угла перелета 0 от точки Р к точке Я. В частности, представляет интерес определить минимальное значение скорости, необходимое для выполнения любой данной операции.
После приращения скорости Лй1 космический корабль будет иметь скорость йь составляющие которой в полярных координатах о,„ и ом находятся по формулам (4. 3). Так как Ло~ определяется из выражения а~1=~1 +(~м по) 2 я 109 ной системы, считая, что планеты обращаются вокруг Солнца по компланарным круговым орбитам. Космический корабль, отправляющийся от Земли; будет иметь начальную скорость относительно Солнца, которая равна орбитальной скорости Земли.
Кроме того, чтобы анализировать полет в рамках задачи двух тел, необходимо предполагать, что импульс скорости осуществляется в точке, достаточно удаленной от гравитационного поля Земли, чтобы можно было учитывать только солнечное притяжение. На первый взгляд, может показаться, что эта модель до такой степени упрощена, что теряет физический смысл. Однако многие существенные стороны межпланетного полета при этом остаются, а результаты анализа при их надлежащем истолковании будут способствовать лучшему пониманию более реальной задачи, В качестве первого шага получим выражения для радиальной и траисверсальной составляющих скорости о, и пю космического корабля, движущегося по конической орбите; 2 р.,Р ~в= — — .
/.2 Здесь большая полуось орбиты а положительна или отрицательна в зависимости от того, эллиптическая или гиперболическая траекторий имеется в виду. Однако для определенности, а также для того чтобы потребная энергетика оставалась в разумных пределах, ограничимся здесь рассмотрением начальных скоростей, необходимых для выполнения межорбитальных перелетов только по эллиптическим траекториям. Обратимся к рис. 4.2 и рассмотрим космический корабль на круговой орбите радиуса г| от центра притяжения.
Начальная скорость оа определяется из соотношения то получим Ьо! = по !13 — — — 21,г — (, 2 2 Г1 ГО ! а р) гг/ (4.4) Введем безразмерную величину ЬЕ=( — '), которая представляет собой меру количества энергии, необходимой космическому кораблю для перехода в точке Р с круговой орбиты на эллиптическую, проходящую через точку Я. Тогда из уравнения та лее чесноке раеля Ое няа назначения Рнс. 8. 2. Потребная скорость лля менгорбнтельного перелета., (3.13) с помощью простого тригонометрического преобразования найдем йЕ=3 — — — 4 — ' з!и — 81п —.
'ч'агт 8 а~р а с 2 2 рьЕ=3 — — — ' з!нбвд — — — +1г — — — ). (4 5) г| гт Ъ 2гг ! / ! 1 . Г 1 1 ! а с е — с 2а г' л 2а( Из анализа производной и уравнения (4. 5) следует: 110 Используя определения а и р из (3. 11) и (3. 12), ЬЕ можно запи- сать иначе: 1. ЛŠ— двузначная функция а, имеющая бесконечную производную по а при а=а = — — наименьшем значении а при кото- 2 ром еще возможна эллиптическая траектория перелета от Р к Я.
2. Если обозначить через ЬЕч. и ЛЕ две ветви кривой ЬЕ, соответствующие верхнему и нижнему знакам в уравнении (4. 5), то выполняется соотношение ЬЕо <ЕЕ причем равенство имеет место только при а=а . 4и, Ра $р го а„з а л.г Рнс, 4. 3. Начальная скорость для перелета Земля †Ма в зависимости от большой полуоси переходного вллнпса прн 0 120'г ам-трамггория мииимальиой энергии; а,и граеатория с мивимальвой иачальиой сиоростмо 3.
По мере увеличения а кривая ЬЕ асимптотически приближается к прямым с ординатами 3 — з!пб +— гт 1г 2гг 1 1 4. Наклон верхней ветви ЛЕ всегда положителен, тогда как наклон нижней ветви ЬЕ+ отрицателен при значениях а, близких к а . Вопрос о том, может ли ветвь ЬЕ+ иметь минимум при конечных значениях а, будет кратко рассмотрен ниже. На рис. 4. 3 изображена зависимость 1г ЛЕ от а. Для примера выбран полет от Земли к Марсу, поэтому в качестве гг и гв взяты средние расстояния этих планет от Солнца. Гелиоцентрический Угол пеРелета 0 был пРинЯт Равным 120'. ОРдината Лог/оо непо« средственно показывает дополнительную скорость, которую необходимо обеспечить для перелета в долях скорости Земли оо 111 Он5 0,10 Рис.
4.4. Начальная скорость для пере. лета Земля — Марс в зависимости от большой полуоси переходного эллипса относительно Солнца. Так как орбитальная скорость Земли равна почти 30000 м1сек, то значения Л01 сразу нетрудно приближенно переводить в метры в секунду. По оси абсцисс отложены значения большой полуоси а в астрономических единицах. На рис. 4.4 показаны нижние ветви кривых начальных скоро- стей для различных значеЛН1 ний б, а на рис. 4.5 — соотпр В=ггпу' ветствующие времена пере- Р, 155 лета. Траекторию минимальной энергии, рассмотренную в равд. 4.1, не следует путать с траекторией минимальной потребной начальной скорости.
Действитель- 0,110 но, для частного случая, показанного на рис. 4. 3, ма' дополнительная скорость, которую нужно прибавить к орбитальной скорости для В ив 1500 перелета по траектории минимальной энергии (а=а ), 5 почти вдвое превышает ми- 150' нимальную дополнительную 0=110' 0100 скорость. Немаловажно отметить, что существует един- 0 125 1,50 155 гоо йо5 а а е ственная траектория, которая минимизирует как скорость относительно Солнца, так и скорость относительно планеты отправления, Эта траектория носит название эллипса Холгана.
Хомановская орбита характерна тем, что она касательна как к орбите планеты отправления, так и к орбите планеты назначения, Потребную энергетику для хомановской траектории нельзя найти прямо из уравнения (4. 5), так как при этом полярный угол б равен тси уравнение становится неопределенным. Однако простая геометрия орбиты позволяет непосредственно вычислить элементы эллипса Хомана, а затем, используя уравнение (4.4), определить потребную энергию орбиты РгЕ. Точки отправления и назначения для хомановской траектории соответствуют перигелию и афелию. Таким образом, если ан, рн и ен — соответственно большая полуось, параметр и эксцентриситет орбиты Хомана, то будем иметь 112 ан(1 — ен) =гь ан(1+ем) =гя.
откуда ао= — (г,+г,), ргг=2 1 г1 га 2 г1+ ге Наконец, из уравнения (4. 4) следует йЕ 3 2г, 2 2гг н— г|+ га г, + га (4.6) Интересно сравнить эти соотношения с уравнениями (3.!) и (3. 4) — (3. 8). Нетрудно видеть, что хомановская г 6 гадал орбита, эллипс минимальной энергии, касательный эллипс и симметричный эллипс сов- а70 падают между собой при 8 =н. 465 Хомановская орбита не всегда является идеалом В= гад траектории межпланетного перелета. Один из очевид- УБ0' ных недостатков использо- 455 вания хомановской траекто- 150п рии †,необходимость вполне 050 определенного положения планеты отправления отно- Ыо' сительно планеты назначения в момент запуска.
Другие недостатки, как будет йо0 показано в гл. ьг, являются следствием того, что солнечная система на самом деле 0 425 !50 855 бо0 бо5 пае трехмерна. Таким образом, основное значение хоманов- Рве. 4.8. Время перелета Земля — Марс ской орбиты состоит в том, в зависимости от большой полуоси перечто она определяет в исполь- хопиого эллипса: зуЕМОй Нами ПрОстОй мОдсли' — — — — вРемя пюмма по еааектопяа мала. мальвой яаяальяоа саоросга солнечной системы нижнюю границу энергетических потребностей любой космической операции: иными словами, при фиксированных г1 и гя справедливо соотношение ЬЕн <ЬЕ. При этом равенство имеет место только в случае, когда 8=я и аа='1'а(г +г ).
Очевидно, что при планировании межпланетного перелета выгодно располагать возможностью широко варьировать время старта. Поэтому интересно проанализировать потребную энергетику траектории ЛЕ для произвольного взаимного расположения пз планеты отправления и планеты назначения. С этой целью для' фиксированных гь гз и 8 найдем условия, при которых ЛЕ, определяемое по уравнению (4. 5), имеет минимум, соответствующий конечному значению а.
Выше отмечалось, что наклон нижней ветви ЬЕ+ кривой ЬЕ отрицателен при значениях а, близких к а . Из выражения для производной видно, что ЛЕ+ будет иметь положительный наклон при значениях а, для которых справедливо неравенство Ясно, что разность между левой частью предыдущего неравенства и )/г — с+ )~ з можно сделать сколь угодно малой, выбирая а достаточно большим. Таким образом, мы приходим к необходимости определения условий, при которых справедливо неравенство — — -(2с3' 2г! гзмпз (4.7) Для этой цели запишем следующие выражения: ()l 3 — с + )~ 3) =2 ~/г~Гъ соз + Г1 + Г2 ~( Я Г1+ )~ Гз) 2 ) )8гн Следовательно, достаточным условием для того, чтобы ЬЕ+ имело минимум, является выполнение неравенства 1+)/ — ' (23/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
