Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 21
Текст из файла (страница 21)
127 Переход с круговой орбиты на гиперболическую орбиту Предположим, что космический корабль, первоначально обращавшийся по круговой орбите спутника планеты, получает импульс скорости Лэь направленный по касательной к орбите и такой величины, что после этого он начинает двигаться от планеты по гиперболической траектории с предельной скоростью о„, достигаемой асимптотически по мере увеличения расстояния от планеты. Скорость о часто называют избыточной гиперболической скоростью; имеется в виду конечное превышение скорости над начальной скоростью, которая обеспечила бы уход от планеты по параболической орбите. Из уравнения (2.
9) следует, что о связана с большой полуосью гиперболы следующим соотношением: о2 —— е Сразу после приложения импульса скорости Лэ1 будем иметь г о2 г е2 — '=2+ (4. 19) в Поскольку исходная орбита — круговая, а приращение скорости направлено по касательной к орбите, последнее уравнение принимает вид а2еи =2+ в Теперь задача может быть решена графически с помощью следующих построений: 1.
Абсцисса конца вектора нормализованной начальной скорости йаэа/12 равна единице. Поэтому точка А совпадает с центром концентрических окружностей, соответствующих орбитам постоянного эксцентриситета, как показано на рис. 4. 13. Конец С вектора нормализованной скорости йгэ,/12 имеет абсциссу (2+г1о2„/12) и нулевую ординату, Так как па и о известны, точку С можно считать найденной.
2. Из центра А описываем окружность радиусом (1+г~о2„ /(2) до пересечения с осью ординат. Эта окружность отображает условия полета по гиперболической орбите. 3. Ордината точки пересечения равна й|о /12, откуда определяем момент количества движения й1 для гиперболы. Тогда промежуточная точка В, которая является концом вектора йайэ1/12 и лежит на горизонтальной оси, находится по выражению Таким образом, потребное приращение скорости Ло~ найдено. Точка Р, в которой космическому кораблю придается импульс ско- 128 рости, часто называется точкой схода. В плоскости годографа непосредственно определяется также угол б, на который поворачи- /б~ У н Рис.
а.!а Представление схода с орбиты в пло- скости годографа вается радиус-вектор космического корабля, начиная с точки схода с орбиты до точки, в которой достигаются асимптотические условия, 4.7. Скорость схода в заданном положении Следует указать, что общая задача об орбитальном переходе, если поставлена цель достичь заданных условий полета по гиперболической траектории, значительно сложнее, чем задача, кратко рассмотренная в предыдущем разделе, Трудности возникают из-за того, что направление и величину вектора избыточной гиперболической скорости необходимо обеспечить единственным импульсом скорости. В этом разделе мы будем определять вектор скорости р1 (соответствующий данному вектору положения г1), при котором будет достигаться заданная асимптотическая гиперболическая скорость и .
Начнем вывод с того, что запишем уравнение (1.44) в виде — (1 1 — г1 г, = ~ — — — (1 — соз (у' — у',))~ г, + = з1п (У' — Л) эы р Н' где 1, — единичный вектор в направлении радиуса-вектора и, который в свою очередь образует угол 1 с действительной осью гипероолы. По мере того как космический корабль движется по гиперболе, радиальное расстояние увеличивается и вектор ь в конечном счете принимает направление вектора н . Пусть р — единичный вектор в этом направлении, а через 9 обозначим угол между единичными векторами 1 и 7,, Переходя к пределу (асимптотические 129 5 597 ! условия: — — О, ) — )! — В), последнее уравнение можно записать следующим образом: 1 +1 — с„,.
у~ар —. Г и ! — совз —. у151п В и в!и В Так как Р1, соответствующий ему единичный вектор 1,, и 1 известны, остается найти параметр р гиперболической орбиты. К определению р необходимо подойти с некоторой осторожностью, чтобы избежать чрезмерного обилия алгебраических выкладок. Прежде всего заметим, что угол у, между векторами и, и г1 связан с р соотношением ! р= — (у,е, 51пу,)' (4.
21) е и поэтому определение параметра р эквивалентно нахождению угла уь Далее заметим, что вектор п! выражается с помощью уравнения (4.20) в виде линейной комбинации векторов 1 и !... вследствие чего это уравнение можно записать по другому: 5!ПВ ! 51ПВ Приравнивая теперь коэффициенты при векторах ! из уравнений (4.20) и (4.22), получим уже имеющееся соотношение (4.21). Однако, если приравнять коэффициенты при векторах 1... то получим новое соотношение р ! — сов В !. У1 . в!и у!сов В =в! )у 1 — з!пву!— р в!и В з!и В Исключая з)п у, с помощью уравнения (4.
21), получим уравнение, в котором р являетсч единственной неизвестной: ! — сов В ,о в!и В 1'! 51п В В/ У1о! Модуль вектора скорости схода и! определяется через у, и о в соответствии с уравнением (4. 19). Если избавиться от квадратных корней, то выражение (4.23) преобразуется в квадратное уравнение относительно р.
Однако к желаемому результату можно прийти несколько более простым путем. Возводя в квадрат уравнение (4.23) и прибавляя к обеим частям — ( — — 2), получим В 1'Р У! 1,У! ВУ РР !1 ! — сов В Сравнивая далее последнее выражение с уравнением (4. 20), видим, что коэффициенты в линейной комбинации З1= А1 +В!„ 1ЗО связаны между собой следующим образом: (А — В)в = е~„. С другой стороны, имеем АВ= г,(1+сов В) Теперь запишем А и В в виде А=А~+Вь В=А,— Вь Тогда ,2 4 г1(! +сов В) о 2 — Ъ 4 И, в конце концов, получим вектор скорости схода 2 ) ~/ ' г,ов„(1+совВ) (4.
24) Если сход с орбиты происходит в перицентре гиперболы, то угол 0 можно вычислить из соотношения г„, е,=Асоз0+В=О, откуда соз 0 —— 1 (4. 25) 1+г1о !В Подставляя предыдущее уравнение в уравнение (4. 24), получим следующую формулу для вектора скорости схода в перицентре: п,=~)+ ~ +— у'1 9 г19 (4.
26) 131 4.8. Сход с круговых орбит Рассмотрим случай, когда космический корабль запущен с фиксированной точки поверхности Земли на круговую орбиту пассивного полета. Предполагаем, что межпланетная эллиптическая траектория перелета от Земли до планеты назначения определена методом, описанным в равд. 3.4. Задача заключается в определении точки на пассивной круговой орбите, где космический корабль, получив минимальное импульсное изменение скорости, начнет двигаться от Земли по гиперболе, имеющей вектор асимптотической скорости о . В первом приближении для простоты удобно предполагать, что в качестве номинального времени схода выбран момент пересечения межпланетной орбитой орбиты Земли, а скорость о равна вектору скорости космического корабля относительно Земли в этот момент.
Считаем, что космический корабль запущен на круговую пассив. ную орбиту из точки на земной поверхности, широта которой равна Фы а азимут угла запуска, измеряемого от направления на север, равен аь. Эти две величины определяют угол наклонения 1о плоскости пассивной орбиты к экваториальной плоскости. Эти углы связаны между собой соотношением соз 1с=соз Фс з1п аы (4.
27) Гиггербеличеелтвт орбита Рис. 4. 14. Расположение пассивной круго- вой орбиты которое очевидно из рассмотрения рис, 4.14. Время запуска определяет долготу восходящего узла. Будем предполагать, что фактическое время запуска может отличаться на -+ 12 час от своего номинального значения без серьезного влияния на параметры межпланетной траектории.
Это допущение позволяет произвольно поворачивать плоскость пассивной круговой орбиты вокруг полярной оси Земли, предоставляя тем самым важную дополнительную степень свободы, необходимую для оптимизации импульса скорости схода. Как только будет найдена точка схода на пассивной орбите, не трудно будет определить ее географическое положение относительно фиксированной точки запуска на поверхности Земли. Опираясь на предыдущее обсуждение, приступим к геометрическому анализу задачи схода, Если г~ — радиус круговой пассивной орбиты, а 1с †гравитационн постоянная Земли, то начальная орбитальная скорость равна 132 В ходе определения межпланетной траектории находится вектор асимптотической относительной скорости о .
Следовательно, согласно уравнению (4.!9) модуль вектора скорости непосредственно после получения космическим кораблем импульса схода выражается формулой ~~=) / + ~-. / 2и гг з =~ созтз1пб, где в соответствии с уравнением (4. 25) 1 з1п т= Г, У'„ 1+— (4. 28) Отсюда ~ ) ~ минимизируется по мере того, как угол между единичным вектором м и вектором г приближается к 90 . Пусть р — угол между вектором р и единичным вектором в направлении Северного полюса (,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
