Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2 т' !'а 2 3.9. Показать, что если Р— вершина параболической орбиты, связывающей точки Р и Я, то выражения для орбитальных элементов в методе Гоудела останутся справедливыми при а, тождественно равной нулю. Для этого случая показать, что выражение (3. 38) для времени полета приводится к виду (2. 12). 3.10. Универсально применимую формулу для времени полета, выраженную в виде ряда Тейлора по а-!, можно вывести следующим образом: а) Показать, что функция Р(х)=5(х) С(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению ! — та — +Р= — (2 — та) 2 лР 2 3 вайо 3 где !а=хС(х). б) Подставить степенной ряд Р(х)= "~5 Р„юп п=а в дифференциальное уравнение для Р, разложить (2 — се)-'ь в ряд по формуле бинома и, приравнивая соответствующие коэффициенты при се, получить )~ 2Р2 Р,= — Р,= 3 20 ) 2 2п+3 1 3.3 ° (2п — 1) 25па ! в) Показать, что уравнение (3.
28) можно записать в виде )~ )5Г=Р(х)з Т- Р(у)(з — с) где г) Наконец, получить разложение 5 ) '1~ )51= » '(з + (3 — с) и 0 о,= 1 ~ — (А'юп+,,+В'1.,), г5О А' = + 1 (з — г,) (1 — ' 1, 2а /' где 103 и сравнить его первый член с уравнениями (3. 26) и (3 24).
Определить область сходимости этого ряда. 3.11. Используя уравнение (3. 26), показать, что параметр конического сечения, связывающего две точки с радиусами-векторами г! и 85, когда угол уо между го и вектором скорости эо задан, находится по выражению Р= т5го 5!и 15 (1 — 005 О) г, 5!и 15 — г ! 5!и (ТО + И) Сравнить это выражение с уравнением (3. 6) для частного случая уг = 90'. 3.12. Показать, что уравнение (3.27) может быть записано в виде а 1,+,„1,,— ортогональные единичные векторы в направлениях соответственно 1,+ 1,, и Т,— Г„.
Рассмотреть предельную форму этого уравнения, когда угол перелета достигает 180'. Библиография Равд. 3. 1 — 3. 3 полностью основаны на работах автора [5] и [6]. Несколько лет назад, когда были написаны эти работы, автор не подозревал о том, что Пламмер уже рассмотрел различные частные случаи уравнения Ламберта для времени полета, Полученные здесь результаты принадлежат автору и основаны частично на работе Лагранжа [34]. Выводы геометрических свойств местоположения свободных фокусов конических орбит, связывающих две точки, принадлежат автору, так же как и выражение для параметра конического сечения в равд. 3. 2.
На метод вычисления потребной скорости на орбите (см. разд. 3. 4), связывающей два положения, когда параметр известен, указал автору Дж. Дейст из Приборной лаборатории МТИ. Другое выражение для вектора скорости в зависимости от большой полуоси принадлежит автору. Универсальную формулировку задачи Ламберта можно найти в работе [8], Формулы были тщательно проверены коллегами автора по Приборной лаборатории, а сделанные имй многочисленные полезные замечания заслуживают высокой оценки. Метод Гаусса решения основной задачи этой главы является классическим и был разработан им для определения орбиты только что открытого астероида Церера.
Материалы, изложенные в равд. 3. б, не исчерпывают, однако, всего метода, поскольку Гаусс работал только с результатами угловых наблюдений и не имел непосредственной информации о положениях астероида. Полное изло- . жение метода можно найти у Мультона [47] и Хэргета [27]. Пламмер [51] распространил метод Гаусса на гиперболические орбиты. Метод, предложенный Гоуделом в работе [25], был, несомненно, известен еще Гауссу, но для его целей этот метод не обеспечивал требуемой точности. Метод Хэррика и Лиу описан в книге Бэйкера н Мэйкемсона [4]; этот метод удобен для решения многих задач определения космических траекторий, когда эксцентриситет не слишком мал, но и не слишком близок к единице.
Хотя метод Хэррика и Лиу рассмотрен здесь в применении к эллиптическим орбитам, совершенно аналогичную схему можно разработать для гиперболических орбит. Четвертый метод, рассмотренный в равд. 3. б, принадлежит Дж. Дейсту из Приборной лаборатории МТИ. Схема расчета основана на обобщенных формулах для конических сечений и потому применима без изменений ко всем типам конических орбит. Автор выражает свою признательность Денби [20[ за приближенный способ определения орбиты, описанный в задаче 3.7.
На интересное свойство биссектрисы и касательных к орбите указал автору Гоудел [24[, хотя доказательство, приведенное в задаче 3.8, принадлежит автору. Наконец, разложение в задаче 3.10 было выведено на основе работы Хэргета [27[, однако это было сделано всего лишь для нахождения возможной альтернативы универсальным формулам автора. ГЛАВА М Межорбитальные перелеты в задаче двух тел В настоящей главе обсуждаются вопросы ~721, связанные с изменением орбиты космического корабля с целью выполнения поставленной задачи путем одного или нескольких дискретных изменений скорости.
Сначала рассматривается идеализированное импульсное изменение скорости, которое, хотя и физически неосуществимо,тем ие менее представляет собой достаточно хорошее приближение к решению многих задач, если при этом время работы двигателя мало по сравнению с полным временем полета. В последнем разделе главы уделяется внимание и более реальным задачам наведения на активном участке полета, Излагается универсальный метод наведения, определяющий направление вектора тяги ракетного двигателя во время активного маневра и применимый для целого ряда космических операций.
Почти все задачи об орбитальных перелетах связаны с необходимостью минимизации некоторого критерия. Обычно объектом минимизации служит сумма потребных импульсных изменений ' скорости, часто называемая характеристической скоростью. Например, можно потребовать, чтобы при данном положении корабля на начальной орбите переход на новую орбиту, проходящую через заданную точку, совершался под действием импульса скорости наименьшей величины. Задачу можно расширить, если включить в рассмотрение еще одно изменение скорости в конечной точке с целью перевода космического корабля'на другую орбиту.
Затем следует так выбирать орбиту перелета, чтобы сумма двух изменений скорости была минимальной, Задачи такого рода неизбежно приводят к алгебраическому уравнению достаточно высокой степени, которое можно решить только с помощью довольно громоздких численных методов. Однако во многих случаях нетрудно подметить некоторые геометрические свойства решения, которые имеют характер достаточно общих результатов и зачастую способствуют более глубокому пониманию существа рассматриваемых явлений. Поэтому на тематику данной главы наложило отпечаток стремление автора прежде всего отобрать те задачи, которые можно описать геометрически. Несколько первых разделов главы посвящены одно- и двухимпульсным перелетам описанного выше типа.
Они находят применение в целом ряде таких космических операций, как встреча спутников, перехват спутников, запуск баллистических снарядов, опре- деление межпланетных траекторий. Поскольку некоторые из этих задач удобно решать или, по крайней мере, представлять в плоскости годографа, в главу включен раздел об анализе годографов. Два раздела относятся к задаче схода с круговой орбиты пассивного полета. Здесь требуется найти скорость, которую необходимо иметь в некоторой точке орбиты для последующего достижения заданной гиперболической скорости. Оптимальная задача сводится к нахождению соответствующей точки на орбите, в которой должен прикладываться импульс схода.
При этом полностью учитываются реальные ограничения, накладываемые на начальную пассивную орбиту. 4.1. Граница достижимости В равд, 3.1 было показано, что эллиптическая орбита с фокусом Г может соединять точки Р и Я только в том случае, если большая полуось а по своей длине не меньше минимальной величины а . Свободный фокус Р„', соответствующий орбите с минимумом а, лежит на хорде РЯ и расположен так, что выполняются равенства ЯГ =а †, Г Р=з — г„ где гь гз — длины радиусов РР и ГЯ, а з — половина периметра треугольника РРЯ. Величина вектора скорости в точке Р орбиты определяется по формуле (4.1) Если тело начинает двигаться из точки Р с начальной скоростью оь меньшей п~, то при любом направлении движения оно не достигнет точки Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
