Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 19
Текст из файла (страница 19)
1' г~ (4.8) 114 Если гз(гь то неравенство (4. 8) справедливо. Итак, для внутренних планет солнечной системы всегда существует эллиптическая траектория с минимальной потребной начальной скоростью. Кроме того, видно, что это условие справедливо также в случае перелета Земля †Ма. С другой стороны, для остальных внешних планет солнечной системы последнее неравенство не выполняется и поэтому следует ожидать, что должны найтись такие значения 0, для которых траектория минимальной начальной скорости будет уже параболической. Действительно, на первый взгляд это довольно неожиданное условие в большой степени распространяется на Юпитер и последующие планеты, Следует отметить, однако, что условие (4. 7) будет всегда удовлетворяться, если З(п 0 достаточно мал. Так, даже для внешних 1 1 2с)~2г~ которое после приведения его к нормальному виду станет уравне- нием четвертой степени от а.
Для практических целей решение этого уравнения легко получить следующим ' образом. Сначала перепишем уравнение в эквивалентном виде 2с Рсзг 1 ( 1 Затем введем новую переменную ~: 1/ — ' (й~= ~ ' ", О<С< с с (с — с) г,мпЕ (4.9) 2 тогда решаемое уравнение примет вид соз (, +с(я ~= 2с 2сг~ гз 5!и 6 8 (8 — с) или 4( — ) сов 1+с1д (= е1п 0 3~ 1+ соя 0 (4.10) Уравнение (4.
10) можно разрешить относительно ~ почти сразу с помощью таблицы тригонометрических функций. Далее, зная величину ~, по уравнению (4. 9) находим соответствующее значение большой оси гаге (1 + сос В) (4.11) г~+ гз — с(сесе(+ 102() Наконец, изменение энергии ЛЕм, необходимое для этой И5 планет существуют секторы вблизи значений 0=0 и 0=я, для которых возможна еще эллиптическая траектория минимальной начальной скорости. Правда, чем дальше от Солнца, тем все меньше становятся эти секторы. Значение а, прн котором ЛЕ+ достигает своего минимума (предполагается, что этот минимум существует), находится как корень уравнения траекторни находим подстановкой последнего выражения в уравнение (4.
5). После некоторых упрощений получим ЬЕм 3 — 2 г, + гт — с [(вес ч — гяч)т — 2 яес ч цч) (коиечное алт). ( . . 4.12) гт(1+ сола) Если ЬЕ+ — монотонно убывающая функция а, то минимум имеет место при бесконечном а. В этом случае траектория является параболической, а выражение для ЛЕм принимает вид бЕм=3 — -' з(по ~~/ — ' — +)гу — '~(бесконечное а„). (4.13) с и — с я ГВ (в (г (о о,в о со во ао гво в град гво гго гво гао гоо Рис. 4.
6.Минимальная начальная скорость в функ- ции угла перелета: эллиптическая траектория; — — — — парабслическая траектория Для частного случая 6 =и траектория становится траекторией хомановского типа, а минимальное значение (ьЕч. равно ЬЕн, которое определяется из уравнения (4. 6). На рис. 4. 6 показаны зависимости (Ло1/оо)м= 7 АЕ~ от 6 для перелетов от Земли к другим планетам солнечной системы. Зависимости для двух наиболее удаленных планет — Нептуна и Плутона — не показаны, так как при используемом здесь масштабе эти кривые не отличаются от кривой для Урана.
Части кривых для Юпитера, Сатурна и Урана, соответствующие параболическим траекториям минимальной начальной скорости, показаны пунктиром. При углах перелета 6 больше 180е параболические траектории оптимальны лишь условно, поскольку траектории движения от Р 116 Положения предыдущего раздела наиболее просто можно распространить на задачу отправления с некруговых орбит с помощью геометрических рассуждений, В гл.
П1 были подробно изучены геометрические свойства конических орбит с фокусом в Р, связывающих точки Р и Я. Можно геометрически описать еще одно свойство таких траекторий, относящееся к векторам скорости в конечных точках Р и Я. Выведем сначала это свойство, которое затем будет использовано при решении задачи перелета между некруговыми орбитами, Из уравнения конической орбиты в полярных координатах имеем Ы асов )',= — — 1, эг1 е сов (Г', + 6) = — — 1. и эгя Учитывая соотношение г и2 Йэм е сов (Г, + 6) = е сов Г', сов Π— е в1п Л в1п О = ( — — 1) соя Π— —" в1п О, получим ( и 1 «э„м — — 1)сов Π— —" в1п8= — — 1, И'1 в эгя по= — в1п Г,.
г а где Подставляя г|пм вместо Ь, найдем п1м( — ' — сов 61+ ю1,пм в1п 6= — ' (1 — соя 8). (4.14) (г, / г~ Уравнение (4. 14) выражает те требования, которые накладываются на составляющие вектора скорости пм и ом в точке Р„ если траектория должна проходить через точку Я. Поскольку остальные величины в этом уравнении постоянные, то оно является уравнением гиперболы с центром в Р.
Если обозначить теперь через Ф~ внешний угол треугольника РР~ с вершиной в точке Р, т. е. угол и — ~РРЯ, то этот угол можно будет найти из соотношения 5!и в 1К Ф1= г| сов в —— гя ыт к Я против часовой стрелки в данном случае не замкнуты. Это положение станет несколько более понятным после следующего раздела. 4 4.3.
Одиоимпульсиый перелет между иекруговыми орбитами в силу которого уравнение (4.14) можно записать в виде ч««,~«в — п««с1д Ф« =- — (я — . э и 8 г«2 Уравнение гиперболы может быть приведено к нормальной форме (2. 1) путем поворота координатных осей против часовой стрелки иа угол Ф«(2. Если обозначить через о,', и п««проекции скорости на повернутые оси, то будем иметь «Ъ «««в 2И 8 с«я Я «яЯ Таким образом, наклон асимптот равен 4-1д —, откуда следует, ф« 2 что асимптоты являются продолжением линий РР и РО, Кроме того, большая полуось гиперболы равна корню квадратному из .величины 2я Ф«8 2Н з-㫠— с(й' — 1К вЂ” =— г« 2 2 г« з Сравнение последнего выражения с уравнением (4.
1) показывает, что большая полуось гиперболического годографа скоростей равна о«„,— модулю вектора скорости в точке Р для орбиты перелета с минимальной энергией. Гиперболический годограф показан на рис. 4.7. Через точки Р и Я могут проходить две параболические траектории и соответствующие им векторы скорости й«р и о«р показаны на рисунке, причем 2и г« Одинаковые по величине векторы скорости для эллиптических траекторий встречаются попарно и образуют одинаковые углы с вектором О~, Часть гиперболического годографа, обозначенная пунктиром, соответствует гиперболическим скоростям.
Правые части пунктирных кривых на рисунке соответствуют траекториям перелета от Я к Р и, следовательно, не являются решением поставленной задачи. Нижняя ветвь гиперболического годографа соответствует коническим орбитам перелета от Р к Я по часовой стрелке, В этом случае угол перелета равен 2«« — 8, а не 8. В%вращаясь теперь к задаче о перелете между орбитами, обозначим через вв начальную скорость космического корабля в точке Р. Тогда Лй«=э« — п0 есть потребный импульс скорости. Таким образом, задача определения величины минимального импульса скорости Ло«м сводится к выбору такой точки на гиперболическом годографе, показанном на рис.
4. 7, в которой соответствующий 118 вектор Лй1 перпендикулярен к гиперболе*. Попытка выразить это условие аналитически снова ведет к решению алгебраического уравнения четвертой степени (см, задачу 4.3), Однако найти настолько же удобный метод решения такого уравнения„ как в предыдущем разделе, не представляется возможным. О В заключение этого раздела следует отметить, пм что случай, когда вектор начальной скорости йо не лежит в плоскости орбиты перелета, не вызывает трудностей, Составляющие векторов по и Лй, лежащие вне плоскости орбиты перелета, должны взаимно уничтожаться. Тогда с оставшимися составляющими этих векторов, лежащими в плоскости орбиты, следует поступать описанным выше способом.
Рис. 4. 7. Годограф вектора скорости для межорбитальных перелетов 4.4. Условия совместимости в конечных положениях гг г э гг гт гв — гв — гг Э с * Следует иметь в виду, что в данном случае вектор импульса скорости ап, должен проводиться с конца вектора ое Горим. дед.). 119 Для доказательства некоторых положений в данном и последующем разделах обычно более удобно вместо радиальной и трансверсальной составляющих орбитальной скорости использовать ее проекции на оси некоторой косоугольной системы координат, Для орбиты, соединяющей точки Р и Я, спроектируем, как показано на рис, 4.
8, векторы скорости в этих точках йг и Вв на направление хорды, связывающей начальную и конечную точки, и на направления соответствующих радиусов-векторов. Проекции векторов скорости на эти направления обозначим через пья пго и пвм ото. (Следует обратить внимание читателей на то, что по не равна общепринятой радиальной составляющей скорости и„.) Тогда через единичные векторы г',, г, и г'„определяемые равенствами й векторы скорости в конечных точках запишутся в виде 01е 0!с!с+ 01ррсы 02= 02с~с+ 02рсо.
Из уравнения (3. 27) и аналогичного уравнения для 02 видно, что величины проекций векторов скорости в конечных точках Р и Я на направления хорды и радиусов-векторов этих точек равны между собой: 01с=02с — ос, 0!Е= 02Е =0Е Рис, 4.8. Проекции векторов скорости в рраничных точках нз направлении хорды и радиусов-векторов Тогда ос=1рс — ~+ ~рс — — — +Зон (у„— 1) 1 — — — ), (4.15) Г! й 2 1 рс з — с 2а з 2а 2 ! )с з — с 2а р' з 2аср Равенство составляющих скоростей в конечных точках можно также доказать непосредственно на основе законов сохранения, что было бы весьма полезно сделать. Например, равенство проекций скоростей на направление хорды сразу следует из постоянства момента количества движения 52 =Г1 (01с з!п Ф1) =Гз(025 5)п сзр2) и теоремы синусов, примененной к треугольнику РРЯ: С! С2 5!П Фв 51П Ф1 Для того чтобы доказать равенство между собой радиальных составляющих векторов скорости в граничных точках, будем пере- 120 мешать векторный параллелограмм вдоль хорды параллельно самому себе до тех пор, пока точка Я не совпадет с Р, как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
