Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 23
Текст из файла (страница 23)
4.4. Показать, что гиперболический годограф векторов скорости можно описать уравнением »р2 з!и у, з(п (Ф, — у,) = и з(п Ф, 1ц —, 0 а затем вывести уравнение (4. 17), раскрывая надлежащим образом члены этого уравнения. 4. 5. Применяя правило синусов к треугольнику на рис. 4. 8, показать, что !'! сов  — с!я Ф! 2!и В Затем, исключая с1д Ф! из последнего выражения с помощью решения задачи 4. 4, получить соотношение Г!у! 2122т! п(1 спэ 0) — »1п! 21п () 2!и (В т1) 2 в котором индекс при», опущен.
Таким образом, получится явное выражение для» в функции разности истинных аномалий 0 при начальных условиях в точке Р, соответствующих 0 =О. Сравнить его с уравнением (1. 46). 4. 6. Траектория с фокусом в Р соединяет точки Р и Я. Если центральный угол равен 180', то, используя обычные радиальную и нормальную составляющие орбитальной скорости, показать, что а) величины радиальных составляющих одинаковы в точках Р иЯ; б) величины нормальных составляющих в точках Р и Я не зависят от выбора траектории: 2я !2 2 2я !! п1„= 2П !1 + !2 !1 !1 + !2 !2 где»,=РР, »2—- ,РЯ; )2 — гравитационная постоянная; в) орбита перелета, касательная к начальной и конечной орбитам и имеющая центральный угол 180', ие является в общем случае оптимальной, если линии апсид начальной и конечной орбит не совпадают.
4. 7. Космический корабль обращается по орбите вокруг точки Р и имеет в точке Р скорость пп. В точке Р космический корабль получает минимальный импульс скорости Л61м, переводящий его на орбиту, проходящую через точку Я, которая расположена таким 141 образом, что линия РР перпендикулярна к РЯ. Если г1м — скорость космического корабля сразу после импульса, то показать, что сумма углов, образованных векторами 911, и Л81м с продолжением прямой РР, равна 90'. Указ ание: показать, что (э121 — 80) Ы1 — — О, и представить результат геометрически.
4.8. Рассмотрим три компланарных софокусных эллипса, у которых большие полуоси и расстояния от центров до фокуса равны соответственно ам аь а2 и с0, сь с2, ПУсть Уп — Угол междУ большими осями эллипсов 1 и 1'. а) Показать, что расстояние между центрами любой пары эллипсов равно Ы 1= )/ с2 — 2с101 соз ум+ с2, б) Показать, что каждая пара эллипсов 0,1 и 0,2 будет иметь единственную точку касания тогда и только тогда, когда 2 11 10 = (а1 — а0)2, 1120=(п2 п0) . Указ а н не; вывести условие, при котором два эллипса имели бы только одну общую точку.
в) Показать, что геометрическое место центров всех возможных эллипсов перелета, касательных к эллипсам 1 и 2 (в предположении, что они не пересекаются), также представляет собой эллипс, фокусы которого совпадают с центрами двух граничных эллипсов, а большая полуось а и эксцентриситет е определяются выражением )а1 — а2 ~ 412 а= е= 2 ~ а1 — а2( 4. 9.
Рассмотрим задачу оптимального перелета между двумя круговыми орбитами радиусов г, и г2, причем г1(г2. а) Для хомановского перелета, осуществляемого двумя импульсами скорости ЛГ1 и Лаз, приложенными касательно к начальной и конечной орбитам и разделенными центральным углом 180', показать, что где ~2 21 0 ~/ 1, )/ г, б) Биэ,1литический перелет осуществляется с помощью трех импульсов скорости Л91, Л91, Ли2, прикладываемых касательно к орбитам в следующем порядке: 1) импульс М1 выполняется каса тельно к начальной орбите для достижения после 180' перелета 142 с нулевой радиальной скоростью промежуточной точки, расположенной на окружности радиуса ге>гг, 2) импульс Лое применяется снова для достижения после 180' перелета точки, расположенной на конечной орбите; 3) импульс Лог применяется для достижения соответствующей конечной скорости.
Показать, что аое+ аое -1- аог / 21еп оо ~' 1+ Ле, /2 (,/ )/ го, 1) где ге ге ЫпФ о1п1=— »1п О г »ее Лег 1+ Я вЂ” 1) соо Π— »е о„жп О где 1 — угол между плоскостью круговой орбиты и плоскостью орбиты перелета; Π— центральный угол перелета, а ее аое Йег ЬУ1 ~г оо оо "~е тее оо б) Три уравнения п. «а» определяют Лт, как функцию двух параметров: тм и О. Вывести алгебраические соотношения для тее и О, соответствующих минимальной величине Лть 143 в) Показать, что если отношение 1ег, достаточно велико, то всегда можно так выбрать еоее, чтобы биэллиптический перелет был более экономичным, чем перелет типа Хомана. 4.10. Рассмотрим задачу одноимпульсного перехода космического корабля с круговой орбиты на новую траекторию, проходящую через фиксированную точку пространства.
Пусть ге — радиус круговой орбиты, а вг — радиус-вектор точки назначения. Кроме того, пусть Ф вЂ” широта точки назначения над плоскостью исходной круговой орбиты. а) Показать, что Ф' гпт)г 1+то 2тм соз, ь»г в) Показать, что если Ф=90', то оптимум Лч1 имеет место при З = 90' и что тм=(1+Йз )-п4 дчз„=2 (1+1' )их+1 — 2 7м. 4.11. Рассмотреть в плоскости годографа решение задачи об одноимпульсном переходе с круговой орбиты с элементами еа и Ье на новую орбиту с элементами е~ и Ь1 таким образом, чтобы линия апсид не поворачивалась.
В частности, показать, как определяется положение, в котором прикладывается импульс. 4. 12. Космический корабль приближается к планете по гиперболической траектории. Пусть о — скорость в бесконечности, а »е— минимальное расстояние, на которое космический корабль подходит к центру планеты.
В момент, когда космический корабль наиболее близко подходит к планете, к нему прикладывается импульс скоро. сти Ло в направлении, противоположном первоначальному движению, с целью перевода его на эллиптическую орбиту вокруг планеты с эксцентриситетом е. Показать, что где р — гравитационная постоянная планеты. 4. 13. Космический корабль находится на эллиптической орбите с большой осью 2ам центром притяжения в точке Р и свободным фокусом в точке Р'. Корабль-цель находится на другой эллиптической орбите относительно того же центра притяжения, имеющей свободный фокус в Р* и большую ось 2аз и не пересекающей исходную орбиту.
Космический корабль получает импульс скорости в точке Р первой орбиты для перехвата цели в точке Я. Показать, что если орбитой перелета является эллипс, касающийся начальной орбиты в точке Р и конечной орбиты в точке Я, то свободный фокус орбиты перелета расположен на эллипсе,. имеющем фокусы Р' и Р" и большую ось )2аз — 2ао!. Разработать графический способ нахождения точки Я, когда точка Р задана. 4. 14. Показать, что если Р— период обращения космического корабля на орбите, то малое увеличение Ьа большой полуоси а приведет к увеличению периода обращения на величину Зла)2а. 4.15.
Спутник обращается вокруг Земли по эллиптической орбите. Максимальная и минимальная высоты спутника относительно поверхности Земли равны»,а, и»,щ,. На максимальной высоте спутник внезапно получает небольшой импульс скорости бо. Показать, что при этом минимальная высота увеличится на величину 2рз»»е ' »мых »е!и „~г' » +»,„ где»е — радиус Земли (считается постоянным), Р— период обращения спутника. 4.!6. Спутник находится на эллиптической орбите.
Внезапно ои получает небольшой импульс скорости бп в направлении касательной к орбите. Показать, что эксцеитриситет е изменится на величину Зе= — созЕзв, 2р гв откуда следует, что эксцентриситет увеличится в первом и четвертом квадрантах и уменьшится во втором и третьем. 4. 17. Спутник находится на эллиптической орбите. Внезапно он получает небольшой импульс скорости бп в направлении касательной к орбите. Показать, что при этом линия апсид повернется на угол за= — з1п г"3ю, 2 еа причем вращение направлено вперед по движению, если о„положительна, и назад, если о,— отрицательна. 4. 18. В некоторой точке на эллиптической орбите гравитационная постоянная 14 внезапно меняется на небольшую величину. Показать, что если при этом эксцентриситеты исходной и новой орбит одинаковы, то точка, в которой произошло изменение 1с, обязатель.
но должна находиться на одной из концов малой оси. 4. 19. Скорость, необходимая для перелета по конической орбите из положения Е в положение цели Рт, определяется по формуле ;, = ~,' ~ $ А 17,./.!,1.~. В П, —;Д, где А =+- 1 1 ~( е — с 2а В=зри(1„— 1) ~ ° — — —, / 1 ~/ е 2а что соответствует результатам, полученным в равд, 3.
4. Единичные векторы с„и с, определяются соотношениями — г г г с где с — линейное расстояние между г и гт. Величина з представляет собой полупериметр треугольника, образованного двумя векторами положения. Требуется путем орбитального маневра с помощью тяги вывести космический корабль на траекторию перехвата фиксированной 145 цели гт. Считая мгновенную величину большой полуоси а постоян- ной, показать, что вектор наведения 5 имеет вид а=~,~ — (, ф,.ааа.,,/аа,а,,) — — [(а,— а,).Ф4~(а',— а',) — (а', п„)а + (а,.о„)а'~, где га — разность между векторами потребной и текущей скорости космического корабля.
4. 20. Используя результаты, полученные в равд. 4. 4, показать, что векторы положения и скорости Р и а на конической орбите мож- но выразить через начальные значения этих векторов Раа, ра и цент- ральный угол В следующим образом: 2 ао Г=-ГВ+ та ~=~а — "ца, аа сан  — а-о й, где аа = ("В ~ В) '(га Х а) о,= — 1а —, аа 2 с еа чья и сравнить эти соотношения с уравнениями (1. 44) — (1. 46). Библиография Обширная литература, посвященная орбитальным переходам, сильно усложняет автору его задачу — вкратце описать состояние предмета. Автору трудно обосновать предпринятый им отбор материала любыми иными доводами, кроме'личного интереса.
Однако все рассмотренные здесь темы представляют тем не менее общий интерес либо своеобразием геометрического подхода, либо с точки зрения четкости и полезности аналитического описания. Материал первого раздела, посвященный границе достижимости, по-видимому, хорошо известен специалистам в области внешней баллистики. Бекнер [14) подробно рассмотрел этот вопрос, а Денби [20) привел геометрический вывод. Материал равд.
4. 2 об одноимпульсном компланарном переходе между круговыми орбитами взят авторам из собственной работы [б). Геометрическое решение задачи перехода между некруговыми орбитами, описанное в равд. 4. 3, приписывается Штарку [59]. Однако прием гиперболического годографа скоростей еще раньше изложил Гоудел [24) и его приоритет в данном случае бесспорен. Условия совместимости в граничных положениях и необходимые условия оптимальности двухимпульсного перелета, изложенные 146 в равд, 4. 4 и 4.
5, взяты из доклада Гоудела [24). К сожалению, Гоудел излагает этот вопрос слишком сжато для среднего студента и последовательность рассуждений не всегда легко воспринимается. Автор надеется, что изложение этого вопроса здесь восполнит некоторые из указанных пробелов. Анализ методом годографа [см. равд. 4.
6) скорее всего будет иметь весьма ограниченное практическое применение. С другой стороны, этот метод поистине изящен и его можно использовать как идеальный прием в преподавательской практике. Приводимые здесь примеры отобраны из работы Боксеибома [15], в которой анализ методом годографа описан более подробно. Формулу для скорости схода, выведенную в равд. 4. 7, автор впервые обнаружил в статье Зауэра [52]. Правда, Зауэр не приводит подробного доказательства, и из его конспективного описания получить эту формулу, по-видимому, довольно трудно.
Представленный здесь вывод более прост и целиком принадлежит автору. Задача о геометрии точки включения двигателя (см. равд. 4. 8) разработана Дж. Лэнингом из Приборной лаборатории МТИ и вошла в одну из глав книги [45). Однако упрощенный вывод формулы пля геометрических мест точек включения при касательном сходе сделан автором настоящей книги.
Метод наведения на актйвном участке полета, приведенный в равд. 4. 9, разработан в сотрудничестве с коллегами автора по Приборной лаборатории МТИ Дж. Лэнингом, Э. Коппсом и Р. Мартином. Наконец, укажем на источники, из которых заимствованы некоторые задачи в конце гл. 1Ч. Задача 4. 3 взята из статьи Штарка [59], Задачи 4.4 — 4. 7 основаны на материале двух статей Гоудела [24] и [25].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
