Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 20
Текст из файла (страница 20)
4. 9, Обозначим через А, В, С, 0 соответствующие концы векторов Гв, вь в~о, йво, Четырехугольник АВСР является параллелограммом, так как его две стороны ВС и АР равны о, и параллельны хорде РЯ. Кроме того, угол СРР равен тх — 8, поэтому равенство радиальных составляющих будет доказано, если показать, что угол 0СР равен 8/2. Рис. 4.9.
Доказательство равенства радиальных составляющих гра- ничных векторов скоростей Для этой цели используем уравнение движения (1. 30) в виде алло = — — — ггг г', Иг интегрируя которое от Р до Я, получим я+а — (юв — о,)= — ~ (соку хг+з!п/ хл)с)~= и Л = — 2з1п — [соз(р',+ — ) 71+з1п~у',+ — )ю',~ . Отсюда видно, что вектор изменения скорости вх — р, параллелен биссектрисе угла перелета 8. Поэтому прямая АВ образует с продолжением прямой СР угол 8/2. Искомый результат очевиден, поскольку АВ параллельна СР.
Можно также получить простое соотношение, связывающее оа и о,. Из рис. 4.9 видно, что составляющие ого и ово представляют 121 собой две стороны равнобедренного треугольника с основанием ~и2 — 81~ и углами при основании 0/2, Таким образом, имеем В ! з,— э, ~ =2з,соз —. 2 Сравнивая два последних уравнения, найдем в юр= — 1я — . а 2 С другой стороны, где и' — длина перпендикуляра, опущенного из Р на хорду. Исключая Ь, получим (4.17) Итак, получен важный результат, который состоит в том, что произведение о,ов зависит только от взаимного положения Р и Я относительно Р и не зависит от выбора траектории между этими точками.
Конечно, уравнение (4.17) можно было бы также вывести, просто перемножая уравнения (4. 15) и (4. 16). 4.5. Двухимпульсный перелет между компланарными орбитами Положения, рассмотренные в предыдущем разделе, особенно удобны для анализа оптимального двухимпульсного перелета между двумя данными компланарными орбитами. Как и раньше, считаем, что до того, как космический корабль получит импульс скорости, его скорость в точке Р равна Нв.
Сразу же после импульсного изменения скорости скорость космического корабля мгновенно становится равной аь и он начинает двигаться по орбите, прохо-. дящей через точку Я, Когда космический корабль окажется в точке Я, его скорость будет равна из, и теперь требуется произ. вести второе импульсное изменение скорости, чтобы непосредственно после этого скорость космического корабля стала равной Нв.
Задача состоит в выборе такой орбиты перелета, чтобы сумма модулей векторных приращений скорости была минимальной. Если спроектировать Нв и аа на направления хорды и радиусов- векторов, как было показано в равд. 4. 4, то приращение скорости составит в точке Р а~1 = ! ~1 — ~0 ! =И~с †~)'+(~р — т~ор)'+ +2 (ва 'паем (ор гавр) соз Ф~] 2 а в точке (1 Ь~з ! ~з ~2 ! =[(чзе ~г) +(~за ~г) + 1 +2(час —.о ) (озе —.ое) соэ Фд зы Теперь сразу становится очевидным преимущество такого подхода: в качестве переменных остаются только ое и оо, которые в свою очередь достаточно просто связаны между собой с помощью уравнения (4.
17). В этом случае оптимальная орбита перелета находится путем приравнивания нулю производной от Лог+Лот по ое или ра. К сожалению, получающееся в результате алгебраическое уравнение является уравнением одиннадцатой степени относительно одной из переменных. Несмотря на сложность аналитического решения, для оптимального перелета тем не менее возможно простое геометрическое построение, которое может оказать существенную помощь при выполнении необходимых расчетов. Искомое геометрическое свой' ство следует из определения необходимого условия оптимальности для заданной орбиты перелета. Предположим, что имеются радиальная составляющая рмр н составляющая вдоль хорды пм, для оптимальной орбиты перелета".
Пусть произошло малое изменение оптимальной орбиты, при котором векторы скорости изменились в граничных точках на дй1 и без. Тогда из равенства 1 1 б [(Ы1 ЬЪ,) +(Ыз Ьюз) ]=О следует, что (оз — озлг) Ьоз (огм — ое) 'ео1 догм йозм Таким образом, векторы бй~ и бйз должны иметь равные проекции на направления Ли1м и Лйзм. С другой стороны, для того чтобы Ьй1 и бйя относились к допустимым изменениям скорости в граничных точках (так как измененная орбита должна удовлетворять условиям совместимости равд. 4.4), необходимо выполнение условия зо еое ос о, которое следует из уравнения (4.
17). Это положение поясняется на рис, 4. 10 для граничной точки Р. Параллелограмм со сторонами й1аг, и п~мл поДобен бесконечно маломУ паРаллелогРаммУ со СтОрОНаМИ бйГе И би1р. ТаКИМ ОбраЗОМ, ЧтОбЫ ВарИацИя бе*1 бЫЛа ' Хотя далее для обозначения условий оптимального перелета используется, как и ранее, индекс М, читателю следует помнить, что оптимальная двуким. пульсная орбита отличается от одноимпульсной (прим. автора). 123 ДопУстимой, она Должна быть напРавлена вДоль вектоРа Нрме— Нрм„т. е.
параллельно той диагонали большого параллелограмма, которая не совпадает с йрм. Те же рассуждения справедливы и для граничной точки Я. Отсюда следует, что Вог ао Во Вот опт ! ! О1мс О1мр 1'ИР "рр ™Р ~ О2мс О2мр ! иными словами, модули допустимых изменений скорости бо, и бэв пропорциональны диагоналям и 1 мр ~ н 1162 м — их мр ! . бы,р Теперь нетрудно увидеть геоы,мс бц метрическое свойство оптимальбйрс ной орбиты перелета. Для оптимальной орбиты перелета разнод,м -йрмс Стн МЕЖДУ СОСтаВЛЯЮЩИМИ ВЕКтО- 1мр РМс ров скоростей в граничных Р точках в направлениях хорды и радиусов должны иметь равные проекции на соответствующие векРис.
4. 1О. допустимые вариации веи- торы приращения скоростей. Это тоРов еиоРоетеи в граиичиых точках условие можно записать следующим образом: Ор Мр (о1м ое)'(11\мс о1м ) (оз о2м)'(о2мс о2м ) (4.18) аотм ао2м Казалось бы, на'первый взгляд, оптимальная орбита перелета должна касаться как начальной орбиты, проходящей через точку Р, так и конечной орбиты, проходящей через точку Я. Если угол перелета З равен 180', а начальная и конечная орбиты— окружности, то оптимальная орбита перелета действительно касается начальной и конечной орбит, как это было впервые показано Хоманом.
Это свойство оптимального перелета справедливо даже в том случае, когда орбиты некруговые, при условии, что их линии апсид совпадают, а перелет происходит между перицентром н апоцентром, Однако в общем случае при оФ!80' касание орбиты перелета с начальной и конечной орбитами не означает ее оптимальности, как это можно легко показать из только что полученного необходимого условия оптимальности. С этой целью предположим, что векторы йрм и во параллельны. Такое же пРедположение сделаем относительно вектоРов йвм и йа. Тогда проекции диагоналей параллелограмма на векторы приращения скоростей равны их проекциям на врм и йтм.
Таким образом, имеем 1М 2М вЂ” (~1 Мс — ~1 М р) = —, — (ФгМс — ~2МР) О! М О2М нлн 2 2 2 2 омс — имр омг имр Отсюда следует, что орбита перелета, касательная бк начальной н конечной орбитам, может быть оптимальной только в том случае, ЕСЛИ О2Мс Овж, т. Е, ЕСЛИ Г2 — — Г2.
ТО жЕ СаМОЕ ЗаКЛЮЧЕНИЕ СПраВЕдлнво н для случая, когда угол перелета о = 180', если только прн этом линии апснд начальной н конечной орбит не совпадают. Это положение мы предлагаем читателю самостоятельно доказать в ходе решения задачи 4.6. 4.6. Анализ орбитального перелета с помощью годографа скорости Представление движения по конической орбите с помощью годографа скорости было описано в задаче 1. 10.
Во многих случаях определение траектории в задаче двух тел может быть проделано графически в плоскости годографа скорости. Хотя подобные методы имеют явно ограниченную численную точность, онн тем не менее служат удобным средством проверки аналитических выкла. док, р также позволяют глубже понять основные принципы, лежащне в основе явления. И ил ,О Рис. 4. 11. Представление параметров движения с помошью годографа скорости: а †плоскос естестаеннык параметров; б †плоскос годографа В этом разделе для описания движения с помощью годографа удобно использовать безразмерные переменные. Так, если по осн ординат откладывать величину ло„/1в, а по осн абсцисс Ьэе/12, то это позволяет достаточно явно представить параметры траектории, как это показано на рнс.
4.11. Существует взаимно однозначное 12о соответствие между точками траектории полета и точками в плоскости годографа, расположенными на окружности радиуса е с центром с координатами 11„0). Вектор длиной Ьо/1о проводится из начала координат под углом у к оси ординат в точку, лежащую на окружности, Движение, конца нормализованного вектора скорости по окружности в плоскости годографа строго соответствует движению конца радиуса-вектора г по конической орбите в плоскости естественных параметров. Предоставим читателям возможность проверить соотношения, указанные на рисунке. Рассмотрим теперь некоторые применения метода годографа к задачам об орбитальных перелетах. Один импульс скорости Для того чтобы получить удобное графическое решение задачи нахождения траектории, которая получится после импульсного изменения скорости, рассмотрим следующие два векторных равенства: з1 гза — да — 'и, = — '~ — по+ — Ьп,~, Ло Ьо Ьо I "1 'оо = Г 'а1 Ь'о1) в где оо — начальная скорость, о~ — скорость непосредственно после приложения импульса Лиь Согласно первому равенству вектор Ь1о~/и находится в два приема: сначала обычным способом складываются векторы ЬоГо/1о и Ьойй1/1о, а затем полученная векторная сумма умножается на скалярный коэффициент Ь1/Ьо.
Эти две операции показаны графически на рис. 4. 12. Конец вектора начальной скорости находится в точке А, операция векторного сложения перемещает его в точку В, в результате умножения на скалярный коэффициент конец нового вектора перемещается в точку С. С другой стороны, если выполнять эти операции в обратном порядке, вычитая из скорости о, приращение ЛГь то мы вернемся к скорости оо. Второе равенство позволяет представить все эти операции графически: сначала вычитаем из вектора Ь|о1/1о вектор Ь,М,/1о; при этом конец вектора переместится из точки С в точку/У. Затем полученную векторную разность умножаем на скалярный коэффициент Ьа/Ьь что приведет к перемещению конца вектора обратно в точку А. Далее, так как справедливы соотношения зо зоз1 з1 "1за — пта= —, — поа= —, ог, ' го отсюда следует, что точки В и 0 имеют одинаковые абсциссы.
Поэтому, чтобы получить вектор Ь1о1/1о из векторов Ьооа/1о и Лйь нужно сделать следующие построения: 1. Сложив векторы Ьоочо/1о и ЬоЛо1/1о, найти точку В. 126 2. Найти точку Р как пересечение перпендикуляра, опущенного из точки В, с продолжением линии ОА. 3. Провести через Р прямую, параллельную АВ, до пересечения в точке С с продолжением линии ОВ. Рис 4. 12. Интерпретация приложения импульса скорости в плоскости годографа Значения новых орбитальных элементов находятся непосредственно из построения. Новый момент количества движения определяется по формуле абсцисса В Л,=Во ! абсцисса А а угол поворота линии апсид равен разности между истинными аномалиямн 1о и 1ь Это построение следует видоизменить в случае, когда приращение ЛГ, прикладывается в направлении первоначального движения Во. Точка В находится, как и раньше, однако умножение на скалярный коэффициент для нахождения местоположения точки С необходимо делать расчетным путем, используя приведенное выше соотношение для момента количества движения.
Переход на заданную орбиту Рассмотрим теперь задачу о переходе из заданного положения Р с начальной орбиты, имеющей элементы ео и йо, на новую орбиту с элементами е, и й|. В этом случае положение точки А известно, а точка С определяется из того условия, что она должна лежать на окружности радиуса е1 и иметь абсциссу: ая Абсцисса точки С= — ', (абсцисса точки А). ао Затем графически найдем точки В и Р, потребовав, чтобы они имели равные абсциссы, а линии АВ и СР были параллельны. Зная положение точки В, можно определить приращение скорости Лйь .необходимое для выполнения заданного перехода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
