Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть точкам Р и Я соответствуют эксцентрические аномалии Е, и Ев Тогда из уравнения Кеплера время движения по орбите от Р к Я определяется по выражению 1=2~ . Га'!Ез — Е, — е з!п Еэ — Е~ Ез+Е, ~ сов — ). (3.17) 2 2 2 Эксцентрические аномалии Е1 и Ез входят в это выражение только в виде суммы или разности. Эти комбинации могут быть найдены в принципе из достаточно очевидных соотношений с' = 4а'з1пз — '- — ' /1 — е'созз '+ ' ), 2 2 (3.18) г,—,'-г,= 2а~1 — есоз соз Ез+ Е1 Ез — Е1 ~ 2 2 ) .
(3.19) 83 Если из соотношений (3. 18) и (3. 19) выразить величины )г(Ез+Е1) и 'Ь(Ез — Е,) через а, г1+гз и с, а результаты подставить в выражение (3. 17), то теорема Ламберта будет доказана. Подобным же образом показывается справедливость теоремы для любого конического сечения. Вместо того чтобы использовать выражения (3. 17) — (3. 19) для вывода функционального соотношения Ламберта в строго ана.
литической форме, проще и удобнее пойти несколько иным путем. Рассмотрим сначала часть эллиптической орбиты от точки Р до точки Я, точнее, ту часть, для которой свободный фокус Р* лежит на нижней ветви гиперболического места свободных фокусов, показанного на рис. 3. 1. Согласно теореме Ламберта, если точки Р и Я фиксированы, то форма эллипса может изменяться путем перемещения фокусов Р и Р* без изменения времени полета, конечно, при условии, что г~+гз и а при этом не меняются. Геометрическое место допустимых положений фокуса Р является эллипсом с фокусами в точках Р и Я и большой осью, равной г1+гь Аналогично этому геометрическое место фокусов Р" есть эллипс с большой осью 4а — (г,+г,), софокусный с эллиптическим геометрическим местом фокусов Р. Таким образом, как показано на рис.
3. 5, фокус Р может переместиться в положение Рь а фокус Р* — в положение Р': время движения по новой кривой от Р к Я останется тем же, что и для прежней. Продолжая перемещать фокус Р против часовой стрелки, а Р* по часовой стрелке, будем делать эллипс все более сжатым. В конечном счете, когда фокусы займут положения Ри и Р*, получим предельный случай — эллипс вырождается в прямую, совпадающую с большой осью. При этом орбита становится прямолинейной, рассматриваемая дуга совпадает с хордой с, а время 1 может быть вычислено с помощью элементарных методов. Поскольку теперь все движение происходит вдоль прямолинейной траектории, используем уравнение г ~у- ~ (2.9) в виде "= ~ — ."')'= (-', — —.') и перепишем его следующим образом: го' ~/2г —— Конечные точки кривой расположены так, что выполняются равенства ЯРи + РРи = г1 + гг, ЯРи — РРт = с.
Поэтому Р7иг и — с, ЯР,=з. Рис. 3. 5 Геометрический смысл теоремы Ламберти Следовательно, Г, Введем вспомогательные углы а и 8, определяемые уравнениями (3. 11) и (3. 12), и сделаем замену переменной интегрирования: г=а(1 — соз тр), огда получим г = 1 — (1 — с о 8 р) трь. я Проинтегрировав последнее соотношение и введя период обращения Р из уравнения (2.
8), будем иметь ((а — 3!и а) — (р — 81п р)) (эллипс). (3.20) 2и Результат будет несколько иным, когда часть эллиптической орбиты, связывающей точки Р и Я, имеет свободный фокус Р* 84 на верхней ветви гиперболического места точек (см. рис. 3. 1). На рис, 3. 6 показаны различные положения кривой перелета при перемещении фокуса Р к Ре, а фокуса Ра к Р*.
Тогда в пределе время перелета г будет равно времени движения по вырожденному эллипсу сначала от Р к Р*, а затем обратно от Р* к Я. Таким образом, чтобы найти г, нужно к Г, определяемому по (3.20), прибавить удвоенное время прохождения расстояния Р;Я: та г= 1+— а =~+2 ~/ — ) (1 — соз (~)сй). Ъ а Следовательно, Р тт! 1 = Р— — ((а — з!п а)+ 2и +(р — з!п р)) (эллипс). (3.21) Для случая траектории минимальной энергии уравнения Рис 3 6 Геом ич ий смысл тео- (3. 20) и (3.2!) дают одинаковый ' ' ' ремы демиерте результат Р 1„= 1 — — (:т — ф — з!и (3„)), где Г ее р,„Ги — с Р = и —, з1п — =1т' 2р 2 Г' и В случае симметричного эллипса выражение для времени полета имеет простой вид ~, = — ' (2а, — тс) = — '(1т — 2ра), Р, Р, где Р, =- я ' е), совр, = — сова,= Г (,+,) с 2р "1 + 'г Точно таким же способом можно получить аналитическое выражение для времени движения по гиперболической дуге, Рассмотрим сначала гиперболу, соединяющую точки Р и Я, у которой свободный фокус Р* лежит на верхней ветви гиперболического места точек, показанного на рис.
3.3. Для вычисления времени движения ! по этой дуге устремим е к единице таким образом, чтобы а, г1+гз и с сохранились неизменными, В пределе, когда орбита становится прямой линией, получим, используя уравнение (2. 9), г 2 4.— Введем вспомогательные углы у и 6, определяемые уравнениями (3. 14) и (3. 15), и сделаем замену переменной интегрирования: Гг а(СЬ$ — !).
Интегрируя, найдем — ((зп т — т) — (зй 3 — 3)] (гипербола). (3.22) Гипербола, у которой свободный фокус Р* лежит на нижней ветви гиперболического места точек (см. рис, 3. 3), в пределе вырождается в прямолинейную орбиту от Р к Р и от Р к Я. Поэтому время г вычисляется по формуле 1=1+ —— р'в / 1' 2г+— о Следовательно, а - 1 — ((зп т — Т)+(зй Ь вЂ” 8)) (гипербола). (3.23) $' и На основании сказанного выше параболические траектории перелета из точки Р в точку Я можно рассматривать как предельные случаи либо эллиптических, либо гиперболических орбит при стремлении большой оси к бесконечности, Если вычислить пределы 1 и Т при а, стремящейся к бесконечности, то можно найти время 11 и гз перемещения по параболическим кривым, показанным на рис.
3. 4. Действительно, из уравнений (3. 22) и (3. 23) найдем э а ~, = Иш1 = — ф/ — (зз — (з — с)'! (парабола), (3.24) а 3 з э ~,=!1гп7 — ф/' — (з'+(з — с)')(парабола). (3.25) а 3 Такое же выражение для 11 можно получить, используя уравнение (3. 20)„С другой стороны, парабола Р7Я на рис. 3. 4 полу- чается при возрастании а как предел нижней ветви эллиптической кривой со свободным фокусом Рп. Таким образом, при выводе формулы для гт из выражения для времени полета по эллиптиче- l г) Рис. 3.7.
Конические траектории лли углов перелета меньше 180«! а-вллппс, ! < ! р р ! - Уа' ((« — а(п «) — (б — в(п б) >, 4а (л — г,) (л — г,) «+ б Р- в(п' —; с' 2 б-вллппс, ! > (щ, Ур ! Уа'(2 — (« — а(п«) — (р -з(пб)>, 4а (з — г,! (з — г,) « — б Р з(п' —; с' 2 в-парабола ур г- — Ь )в — (з — с>п«1 3 2 (л — г,) (з г,) с* в(п= — вг —; в(п — вгг —, а>«> б>О; 2 2а 2 2а с — гппсрбпла УП! = р - ам(аь т- т> — (вь 4- ац, 4а (з — г,) (в — г«) ! 4- 4 Р= вп'— св 2 вп — вр —,зп — = вг —. >>а>о 2 — 2а 2 — 2« ской траектории необходимо использовать дополнительную форму уравнения (3.21), полученную вычитанием ~ из периода обращения Р.
На рис, 3. 7 и 3. 8 для удобства читателя приведены все рассмотренные частные случаи. Примем здесь условие а)0 для зл- аг РУ' 'ь Р" г) Рис. 8.8 Конические траектории лля углов перелета больше 180'! а — аллппс, ! > ! )/П! )'ав [2» — (» — в(п»)+(З вЂ”.в(пя1 4 а (л -г,) (л — г,) « + б Р= ' в(па —: св 2 б — эллипс, ! ( ! !'г*! Кав 1(» — а)п»)е(З вЂ” а!и б)1, 4 а (в — г,)(а — гв) » — З Р- а)о' —; с' 2 а †парабо )гп(- — [в (в+(в-с) П[, ,Гзз 2 (в г,) (в — г,) г,— — а. Р [г'в — г'а — с) ' с' с — гипербола эга(=)г:а» 1(вп ! — !)+(вв  — ВП, Р 4а (в — гв) (а — гв) ! — В 4 вш с' 2 ! 88 липса и а(0 для гиперболы, которое будет использоваться в дальнейшем. Следует, однако, помнить, что полуфокальный параметр нли просто параметр конического сечения р — всегда величина положительная. Во всех случаях через Р и Р* обозначены соответственно занятый и свободный фокусы, а через [с — гравитационная постоянная, соответствующая притягивающей массе в точке Р.
Остальные обозначения ясны из рисунков. 3.4. Определение траектории космического корабля* Материал, изложенный в предыдущих разделах этой главы, можно положить в основу метода вычисления номинальной орбиты космического корабля, Рассмотрим, в частности, ту часть межпла. нетного перелета, когда предполагается, что на движение корабля влияет только притяжение Солнца. Такая траектория будет хоро. шим первым приближением к действительной траектории, за исключением, возможно, участков внутри сфер влияния планеты отправления и планеты назначения.
Влияние этих планет будет полностью рассмотрено в гл. Ъ'1, а здесь оно не учитывается, Вектор положения г, планеты отправления известен, если задано время запуска, Если далее считать заданным время полета 1, то известен также вектор положения рв планеты назначения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
