Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Затем мы выведем как аналитическим, так и геометрическим способами уравнение Кеплера и покажем различные методы решения этого фундаментального уравнения. В заключение весь материал данной главы будет обобщен путем вывода универсальных формул, применяемых ко всем типам конических сечений. Эти формулы имеют преимущество по сравнению со своим классическим первоисточником, так как при их применении вовсе не обязательно знать тип конического сечения. К тому же переход от одного типа конического сечения к другому становится непрерывным без неопределенностей и особых случаев. 2.1.
Конические сечения Окружность, эллипс, параболу и гиперболу часто называют коническими сечениями, поскольку все эти кривые могут быть получены как результат пересечения правильного кругового конуса с плоскостью. Тип конического сечения зависит от угла между секущей плоскостью и основанием конуса. Так, если секущая плоскость параллельна основанию, то получаем окружность. Если секущая плоскость наклонена к основанию конуса, а угол наклона меньше угла между образующими конуса и его основанием, то сечение есть эллипс. Если секущая плоскость параллельна одной из образующих, то в результате пересечения получится парабола.
И, наконец, если секущая плоскость наклонена к основанию под еще большим углом, то она будет также пересекать и ту часть конуса, которая получится, если продлить образующие. В результате будем иметь сечение, состоящее из двух частей и называемое гиперболой. Уравнение кривых второго порядка в прямоугольной системе координат имеет вид Ах»+ Вху+ Су'+ Рх+ Еу+Е = О. Путем параллельного переноса и поворота осей координат это уравнение можно свести к одному из следующих видов: А,х'+В,у»+С,=О, у»+Р,х=О. Если С, не равно нулю, а Аь Вь С1 имеют различные знаки, то геометрическое место точек, определяемых первым уравнением, представляет собой окружность, эллипс или гиперболу.
Начало системы координат называется центром конического сечения, а оси координат — осями симметрии. С другой стороны, если Р, не равно нулю, то второе уравнение дает параболу. В этом случае начало системы координат носит название вершины, а ось х есть ось параболы. Уравнение эллипса или гиперболы с центром в начале координат в нормальной форме записывается следующим образом: — "+ — '=1, а» ь2 (2.1) где а и Ь вЂ” положительные константы (а)Ь), которые соответственно называются большой полуосью и малой полуосью. Знак «плюс» характеризует эллипс, при знаке «минус» получаем гиперболу. Окружность — частный случай эллипса, когда а равно Ь. Если аналогичный случай, т.
е. а равно Ь, имеет место для гиперболы, то она называется равнобочной. Можно дать и такое определение эллипса: эллипс есть геометрическое место точек, для которых сумма их расстояний от двух фиксированных точек постоянна. Две указанные фиксированные точки называются фокусами эллипса. Если с — расстояние от одного из фокусов до центра, то отношение с/а называется зксцентриситетом. 'с 3~ ае Ьз а а Эксцентриситет эллипса всегда меньше единицы и равен нулю, когда эллипс вырождается в окружность.
По мере увеличения е увеличивается отношение большой оси эллипса к малой и эллипс принимает все более и более вытянутую форму. Рис, 2. 1. Эллипс: РР+РР'=2а Рис. 2. 2. Гипербола: РРе — РР=2 а; РеР— Р*Ре=2а Гиперболу можно определить как геометрическое место точек, для которых постоянна разность расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами. Снова обозначая через с расстояние от фокуса до центра, назовем отношение с 1' аз+ Ье а а эксцентриситетом гиперболы. Эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы.
Прямая, проходящая через оба фокуса гиперболы, называется действительной осью; она пересекает гиперболы в двух точках — вершинах, отстоящих от центра на величину а. Вторая ось, проходящая через центр и не пересекающая гиперболу, называется мнимой. Проходящие через центр две прямые, определяемые уравнением Ь у=+ — х, а 44 называются асимптотами гиперболы. Можно иначе определить конические сечения как геометрическое место точек, для которых отношение расстояний от фиксированной точки до заданной прямой линии постоянно.
Это определение непосредственно приводит к уравнению конических сечений в полярных координатах. Фиксированная точка в данном опреде- ленин есть фокус, заданная прямая — директриса, а постоянное отношение представляет собой эксцентриситет. Помещая фокус в начало координат, легко вывести 'общее уравнение конических сечений в виде Р г= > 1+ есоау (2.2) где г и 1 — обычные полярные координаты, а р — так называемый параметр. Если й — расстояние от фокуса до директрисы, то а2 р =йе.
Хорда, проходящая через начало координат, перпендикулярная к большой оси и равная по величине 2р, называется фокальным параметром конического сечения. Поэтому величину р часто называют полуфокальным параметром. Нетрудно показать, что а а (1 — еа) 2~у а (е' — 1) для окружности, для эллипса, для параболы, для гиперболы, Рвс, 2.3. Парабола: (2.3) РР=РИ 2.2. Большая полуось и интеграл энергии Нетрудно показать, что при движении тела по конической орби. те его радиус-вектор г ометает площадь А с секторной скоростью ыА 1 ау /-2 йе 2 ес Сравнивая последнее уравнение с уравнением (1.
35), найдем, что момент количества движения й равен удвоенной секторной скорости. Поскольку й — постоянная величина, это справедливо и для йА/Л. Тем самым доказывается второй закон Кеплера, сформулированный во введении к гл. 1. 45 где д — расстояние между фокусом и вершиной параболы. Эллипс, гипербола и парабола показаны на рис. 2.
1 — 2. 3. В предельных случаях для эллипса или гиперболы, когда эксцентриситет равен единице, орбита превращается в прямые линии. Вырожденный эллипс представляет собой просто отрезок, соединяющий оба фокуса, Вырожденная гипербола состоит из двух полупрямых, идущих из фокусов в бесконечность. Вырожденная парабола (у=о) — линия вдоль действительной оси, идущая из фокуса в бесконечность. Период эллиптического движения можно определить как время, необходимое для того, чтобы радиус-вектор описал всю площадь, ограниченную эллипсом.
Отсюда следует, что Р Здесь Р— период обращения, а и Ь вЂ” большая и малая полуоси эллипса. Так как Ь= а )/1 — е' то Ь = иа'~/1 — е', (2.4) где (2.5) так называемое среднее угловое движение. Кроме того, из уравне- ния (1. 34) имеем й'=рр=ра(1 — е'). (2.
6) Комбинируя уравнения (2. 4) и (2. 6), получим очень важный результат, известный под названием третьего закона Кеплера: )ь — лгаз (2. 7) Преобразуя уравнение (2. 7), получим период обращения тела по эллиптической орбите. (2.8) Таким образом, период обращения не зависит от элементов орбиты, кроме большой полуоси. По исторически сложившейся традиции большую полуось орбиты называют средним расстоянием, хотя она не равна средней длине радиуса-вектора за определенный пе. риод времени (см. задачу 2. 5). В астрономии большая полуось земной орбиты часто выбирается в качестве единицы длины и называется астрономической единицей (а.
е.). Интеграл энергии (иногда его называют интегралом живой силы) можно получить следующим образом. Запишем сначала уравнение относительного движения (1. 30) в виде — „„' =Ю( — '). Затем, принимая во внимание соотношения ЛЬ Ла 2 ЛГ ( Ж Лт ) лЧ ( г ) и интегрируя уравнение относительного движения, получим 1 и — пФ= ' +с, 2 где с — постоянная интегрирования. Выразим постоянную интегрирования через элементы орбиты.
Для этого продифференцируем общее уравнение орбиты (2.2), а затем, используя уравнение (1. 35), получим выражения для составляющих вектора скорости в полярных координатах ег и — = — е з1пу, р г — = — = — (1+есоз 7). ег и ь г р Тогда и'=~ — ) +(г — ) = — (1+2есозу+ет). 7нг~2 / еу'12 а2 (, Ег ) рэ Следовательно, при у"=0 имеем пэ=~ — (1+е)1 . 1+е 1р Отсюда найдем постоянную интегрирования (1 — е2) 2р Таким образом, в зависимости от типа конического сечения интеграл энергии выражается следующим образом: /2 1 — ) для эллипса„ г а ) 2 для параболы, (2.9) 72 11 р ~ — + — ) для гиперболы, Отметим, что энергия орбиты, так же как и период обращения, зависит только от большой полуоси.
Уравнение (2. 9) позволяет утверждать следующее: если теле Р, начало двигаться из точки на расстоянии г от Р„то большая полуось орбиты результирующего движения зависит только от начального взаиморасположения тел Р1 и Рз и начальной скорости и не зависит от направления движения. Сравнивая численные значения о' и 2р/», определяют тип конической орбиты.
Для этой цели, а также для некоторых других задач, удобно приписывать большой 47 (2.10) 2.3. Положение и скорость на параболической орбите Задача определения положения тела ыа орбите в заданный момент времени наиболее проста в случае параболической траектории. Уравнение параболы в полярных координатах имеет вид =-'-(1+М' — '1.
1+созУ 2 2 ) (2.11) Отсюда с учетом закона сохранения момента количества движения гз — )/ ~р Н следует 41~ — -=за рз 2 Интегрируя, получим 21 г -' — (1 — с)=1и — + — 1дз —, з' И Г 1 р' 2 3 2 (2.12) где т — момент времени, когда тело проходит через вершину параболы. Для того чтобы разрешить уравнение (2.12) относительно 1 при заданном й требуется решить кубическое уравнение относительно (п (1/2). Легко показать, что при этом существует один и только один действительный корень, Для нахождения решения сравним уравнение (2. 12) с равенством 1 (Лз 1 ) Л 1 + 1 (Л 1 ) Тогда, если записать (п — =Л вЂ” —, У 1 2 Л то будем иметь 21( — (г — с)= — 1(Л вЂ” — ). ~з )з/ рз З ~ Лз )' полуоси гиперболы отрицательное значение. Имея это в виду, можно записать единую формулу для ас а=( — — — ) а тип конической орбиты определять по знаку результата.
Полученное соотношение будет использоваться в дальнейшем там, где это целесообразно для вывода необходимых положений. Обозначим лз= — 1а 8. Отсюда следует с(я2з=31~ Р (1 — т), Рз (з, (,н 1я — = 2с1п 2тв. 1 2 — 1 — (нз — Ь+Р 1п — Т 2 ~ 2!" 2 (2.13) (2.14) причем 1Н(~/2) определяется так, как было показано выше. 2.4. Орбитальные аномалии и уравнение Кеплера За исключением окружности нлн параболы, для которых а=О н а=1, непосредственное интегрирование уравнения (1. 36) не прн. водит к удобному выражению, связывающему время н угловое поло- 0 жение на орбите.
Угол 1 обычно заменяют новой переменной, а пояснять геометрический смысл этой вспомогательной переменной можно 1 с помошью следующего построения Е для эллиптической орбиты. с Пусть С вЂ” центр, а Р— фокус -ае— эллипса, который изображен на рис. 2.4. Из центра С проведем вспомогательную окружность раднуса а. Пусть Р— положение тела на эллиптической орбите, а Я вЂ” р Рис, 2.4. Орбитальные анена. точка, в кОторой перпендикуляр к лии длн аллинтического ннижебольшой оси эллнпса, проходящнй нии 49 Последние три уравнения позволяют без труда вычислить 1 с помощью тригонометрических таблиц.
Векторы положения н скорости можно определить тем же способом, что применялся прн выводе уравнений (1. 42) н (1. 43). Пусть 1з н з„— единичные векторы в плоскости параболической орбиты в соответствии с обозначениями, принятыми в равд. 1.7. Начало координат поместим в фокусе, а единичный вектор ге направим к вершине параболы. Отсюда г=а(1 — е сов Е). (2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
