Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 6
Текст из файла (страница 6)
На самом деле, эти составляющие можно использовать как орбитальные элементы, и в некоторых случаях это будет наиболее естественный выбор. Покажем теперь, как эти элементы связаны с описанными ранее орбитальными элементами. Момент количества движения выражается следующим образом: Б=гоХэо Тем самым определяется единичный вектор юю, так как он имеет то же самое направление, что и вектор И. Кроме того, зная модуль вектора Л, по уравнению (1. 34) получим параметр орбиты. зо 1.8.
Определение орбиты С точки зрения астронома, задача определения орбиты заключается в вычислении орбитальных элементов небесного тела по данным наблюдений, произведенных с поверхности Земли. В этом разделе будут рассмотрены две тесно связанные между собой задачи. Для каждой мы выведем общепринятую систему орбитальных элементов не непосредственно из данных наблюдений, а нз некоторых очевидных геометрических и динамических условий.
Элементы, которые позволяют связать положение тела на орбите со временем, будут рассматриваться ниже. Из последнего уравнения, а также из уравнения орбиты (1. 33) получим а— раз1пЛ= — г, ~,, го ах ресоз 7,= — — р. го Найдем теперь соотношение для эксцентриситета, возведя каждое уравнение в квадрат и складывая: (1.40) Единичный вектор ц в направлении перицентра равен ц = — (У'о соз уо — (К Х го) з1п,Я го или, иначе, Й = — [(пΠ— — ) 'о ('о '%~) оо~ . (1.41) Единичный вектор 1з получаем из уравнения 1х = сс Х Уь и, таким образом, геометрия орбиты определена полностью. Когда эксцеитриситет орбиты очень мал, направление на пери- центр слабо выражено.
Эту трудность можно обойти, если выбрать другие единичные векторы в плоскости орбиты: 1„— в направлении восходящего узла, а ~, равным 1 =юсХ с, как показано на рис. 1. 5. Если в качестве орбитальных элементов использовать векторы начального положения га и скорости йо, то можно вывести зависимости г и р от этих элементов. Прежде всего отметим, что вектор положения тела на орбите как функцию угла 1, измеряемого от направления на перицентр, можно выразить через проекции этого вектора на направления $ и т1: г=г соз у' и ~-гз1пу'7,.
(1.42) Дифференцируя это уравнение и принимая во внимание уравнения 31 Если уравнение орбиты (1.33) продифференцировать, то, используя уравнение (1. 35), найдем выражение для радиальной составляющей скорости — з!п у'. (1.39) а (1. 35), (1. 34) и (1. 39), получим выражение для вектора текущей скорости о=1/ — ' ( — з!п У !о+(а+сову)ео]. 1' р (1.43) ' Два последних уравнения, конечно, справедливы и в начальной точке с векторами положения и скорости го и йо. Тогда, преобразуя эти уравнения, запишем единичные векторы через векторы началь- н го положения и скорости г— Р 1 + е сооУо соо (У вЂ” Уо) — ' е о!пУо о!п(У вЂ” Уо) Тогда, исключая есоз!о и ез(п(о с помощью уравнения орбиты и уравнения для радиальной скорости в начальной точке, будем иметь (1.46) Ур Гр +! 1)соо(,У Уо) 1I го'ооо!П(Г Уо) го го )г и Полученные ур авнения ( 1 . 44 ) — ( 1 .
46) будут иметь в дальнейшем весьма важное значение. Определение орбиты по трем векторам положения Если три заданных вектора последовательных положений тела на орбите гь го, г, компланарны, т. е. г!Хге ° го=О, то элементы — е+ сооУо- го !о= го — з!п Уо оо ]Увр о!пУо !'о !о= ! о+ — соз Уо т!о. ]Уэр Подставляя эти выражения обратно в уравнения (1. 42) и (1. 43), найдем следующие уравнения для векторов текущего положения и текущей скорости г и о в зависимости от го, оо и разности углов (1 — 10): г=(1 — — [1 — соз (У' — Уо)]~ го+ — '-з1п(У вЂ” Уо) оо (1 44) Р )Уир го'оо 1 ! Г о=~ — '' (1 — соз(у — Уо)~ — — !" з!и (у' — у'о)) г,+ ~ рго !о р + ~1 — — ' (1 — сов(У вЂ” уо)]~ оо. (1.45) Р Радиальное расстояние г в уравнении (1.
44) удобно вычислять следующим образом. Из уравнения орбиты легко получается Используя это уравнение при 1=1 и 1=3, а также очевидное равенство Уз=(У — Л)+Л получим есоз Р!= — —, Р е 51п )'!— «и (Р— ! !) ппз Чз — Л) — !'! (Р «з) «!«з 51п (Гз — Г!) Два последних уравнения позволяют определить е как функцию параметра р. Для того чтобы найти р, заметим, что последнее уравнение остается справедливым при замене индекса 3 на индекс 2. Отсюда, приравнивая друг другу два варианта правых частей последнего уравнения и разрешая полученное соотношение относительно р, найдем «1!2«з (51п ('2 Уз) + 51п («з У!) + 5!и (Л вЂ” Я) Р— гзгз Мп(УЗ вЂ” Ю+ «п«з Мп(уз — Л)+ «!«251п(Л вЂ” Л) ясно, что точность вычислений значительно ухудшается, когда глы между векторами положения становятся малыми.
Единичный вектор зз направления на перицентр можно выразить в виде линейной комбинации любой пары векторов положения. например, !З=ПГ,+РГ . множая скалярно единичный вектор олучим поочередно на Р! и гз 2 ЗЗ Г!е НГ!+РГ!ГЗСОЗ(75 — !!), !юг =аг,г,соз(уз — у!)+ргз. з, о из уравнения орбиты следует 1 зз г,=г,соз !'1= — (р — г,), 1 юз «з — — гз сов 75= (,0 гз). Отсюда, разрешая относительно а и р, получим а= [( Р— 1) — ( Р— 1) соз (уз — г!)], 2 397 33 этой орбиты могут быть определены следующим образом. Из уравнения орбиты имеем г,=, з'=1, 2, 3.
1+ Е соЗУ! Наконец, направление вектора момента количества движения можно определить из выражения 1Ч '1Хг» ( Г1 Х Г1 ~ Третий единичный вектор находится как векторное произведение 1< н 1е. Напомним, что пр и малом эксцентр иситете направление на перицентр слабо выражено. В этом случае можно, ка к и ранее, вместо единичных векторов 1< и 1, использовать 11 и 1 . Задачи 1. 1. Функция (1 — 2тх+х») ' называется производящей функцией для полиномов Лежандра Рд(т). Действительно, функции Р»Я можно определить как коэффициенты степенного ряда 1 (1 — 2»Х+Х1) ' =~Ч~~ Р„(») х'. »-о а) Из тождества (1 — 2 ( — ») х+ х') = [1 — 2»( — х)+ ( — х)') вывести свойство полиномов Лежандра Р» ( — «) =( — 1)'Р» (»).
б) Показать, что Р»(1) =1. в) Дифференцируя обе части разложения производящей функции по х, умножая на (1 — 2тх+х') и приравнивая коэффициенты при х», вывести рекуррентную формулу для полиномов Лежандра, используемую в равд. 1. 2. г) Используя промежуточные результаты, полученные в п. «в», и дифференцируя обе части разложения в ряд производящей функции по т, вывести рекуррентную формулу, которая применялась при выводе уравнения (1. 7) . д) Дифференцируя формулу, полученную в п. «в», и используя формулу, полученную в п. «г», вывести рекуррентную формулу для производных от полиномов Лежандра.
1. 2. Используя формулу Родрига, вычислить первые четыре по. линома Лежандра. 1. 3. Используя формулу Родрига, показать, что к 1 '1 Р,(совр)з1п рйр= '1 Р,(»)й»=0. 1.4. Рассмотрим сферу единичного радиуса и три единичных вектора рл, с~, Тс, направленных из центра сферы к трем вершинам сферического треугольника на ее поверхности. Пусть А, В. С вЂ” углы при вершинах, а, Ь, с — противолежащие им стороны. Тогда, раскрывая надлежащим образом обе части векторного равенства (сл Х ев)'(ел Х юс)=(са сс) — (1л" сс)'(ел'юв)~ вывести правило косинусов сферической тригонометрии сов а= сов Ь сов с+ в1п Ь в1п с сов А 1. 5. Из равенства 2 7(и.
'о) = (и ~3 ) и+ (и с7) и+ и Х ( ~7 Х ю)+ и Х (с7 Х и) установить векторное тождество, использованное при выводе уравнения (1. 7). 1.6. Если расстояние г от центра притяжения велико по сравнению с размерами притягивающего тела„то потенциал можно приближенно выразить в виде )7= — ~ ~ ~ ~' Я Рл (сов т) йи. ь-о а) Показать, что потенциал можно записать следующим образом: 17= — + — (А+В+С вЂ” 37), 2гз где и — полная масса тела; А, В, С вЂ” три главных момента инер.
цни; 7 — момент инерции тела относительно прямой, соединяющей центр притяжения с точкой, в которой вычисляется потенциал. Это уравнение известно как формула Маккаллаха. Форма Луны хорошо моделируется трехосным эллипсоидом, а экспериментально определенные значения моментов инерции А, В, С даны в приложении. Отметим, что А = ~ Ц Щ+ ~в) 4т, В= 1~~(1в+й2>г(т, С = ~ ~ ~ (Р+.4') йт I= Ц Р'в1п'7Ыт, А+В+С=2 Щ рот. б) Показать, что если оси декартовой системы координат совпадают с главными осями инерции, то 1=~4,.(„)тА+(1„4)тВ+((, (,)т С. Вычислить т7 У. 1.7. Вывести уравнение движения тела Р, относительно общего центра масс Р, и Ра в виде ~ а — + ~ г=О, 4ггт (т4 + тт)ага где г=г,— г,„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
