Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 4
Текст из файла (страница 4)
— =~' с7,(/. !г!г! Ф'~ — Й ! !гс! !й! !!! !!! ц! ! 1 !-! тв ~!и! ~! =О~~Ч~~ ' (г — г)=0, 1-! 1-! з-! ! г;. откуда после интегрирования ~ !и! г! = с, 1+ с,. (1.11) !=1 Так как радиус-вектор центра масс системы г, равен ~~~ ~!!!!7! !=! и д ~ч~~ ~!!!! ! ! то уравнение (1. 11) показывает, что центр масс системы движется с постоянной скоростью. В результате интегрирования найдем т — и=с, (1.14) Т= — ~1 и!в 1 Лг1 Лгз 2 И Ж (1.15) где — кинетическая энергия системы, а с — постоянная, Таким образом, сумма полной кинетической энергии системы Т и полной потенциальной энергии — У остается постоянной.
Как известно, другие интегралы для задачи п-тел получить невозможно. Компоненты тРех вектоРов 81, см сз и скалЯРнаЯ постоянная с составляют десять постоянных интегрирования. 1.4. Возмущенное движение двух тел Во многих задачах небесной механики требуется знать движение одного тела относительно другого, причем было бы неудобно находить результат, вычисляя разность двух движений, когда каждое из них задано относительно фиксированной инерциальной системы отсчета. В этом разделе мы выведем уравнения относительного движения двух тел в форме, удобной для его изучения численными или аналитическими методами.
На основании уравнения (1. 8) при 1=1 и 1=2 можно записать еРг1 шз И1 =С вЂ”.2 (г,— г1)+Π— (г — г,); з 2 1 х з / 12 11 1-з Г21 1-3 "21 Обозначив Г=Г,— Г,, Р,=Г7 — Г„а',=à — Р,, после вычитания первого дифференциального уравнения из второго будем иметь (1.16) Л1 21 — Г 1 1 з+ з ~ . з ~1)' Нз з ~,у,. з 2) ' 19 где 1 =-С(и1+и2). (1.18) Правую часть уравнения (1, 17) часто записывают в иной, более удобной форме. Легко проверить справедливость соотношения где ту — оператор градиента по компонентам вектора г.
Поэтому, если ввести обозначение (1.19) то получим следующее уравнение: атзг, и — — кз -г — г = ~ 1~ тс . Н~ гз Р 3 (1.20) зЦ буту- — ф а~~ "уммаднае биту уел оРениа АР~ $ Рис. !. 2. Геометрия .образования возмущаю- щего ускорения: а †схе векторов положения; 6 †схе векто- ров ускорения Скалярная величина тсз называется возмуи(аюи!ей функ!(иед, связанной с возмущающим телом Р;.
Для описания движения тела Рз относительно тела Р, можно использовать либо уравнение (1. 17), либо уравнение (1. 20). Однако, если г«оя ни одно из этих уравнений не подходит для интегрирования численными или аналитическими методами. Этот случай -показан на рис. 1. 2. Из рисунка видно, что возмущающее действие тела Р! на движение тела Рз относительно Р, определяется раз. постыл двух почти равных векторов. Существуют различные методы, позволяющие обойти эту трудность и получить необходимые результаты без потери точности. Два из них описываются ниже. 20 Разложение возмущающей функции Используя результаты равд.
1. 2, можно разложить г1 —.' в ряд т по степеням г/ОР 1 — = — ~1 — 2 — сова,.+( — ) ~ = — — '1 ( — ) Р«(совах), «-о где а; — угол между векторами г н Оь т. е. г Г7 СОЗ ау= —. Р'гт Следовательно, возмущающую функцию можно выразить в виде (1.21) «-« (1.22) Наконец, подставляя последнее выражение в уравнение (1.20), получим л ФР И вЂ” ~ бму ~ г ~«-1 — + — г = У' — 'Г ~ — ) (Р«(соз ат) 1,— л««г« ~ « ~ ~г~) 7 «г з-з гз «зг — Р« ~(совах)Т), (1.23) где Х и ю',.— единичные векторы в направлениях г и ~,-.
l Если (г/й;) «1, то бесконечный ряд (1. 23) сходится довольно быстро, поэтому во многих случаях требуется всего несколько членов для обеспечения удовлетворительной точности. Непосредственный расчет возмущающего ускорения Следующий метод может служить средством разрешения трудностей, возникающих при вычислении правой части уравнения (1. 17) без разложения ее в ряд. Если записать з+ з „г+ 1 ру то становится очевидным, что потенциальная опасность таится в вычислении разности, заключенной в круглые скобки. Эту разность можно выразить следующим образом: ,гз — ', — 1=1(77), з г !г д = — ( — — 2соз а,1, Р! Ру где 7.(д,)=(1+17) ' — 1. (1.24) При вычислении ~(д;) применяется обычный способ, заключаюз щийся в разложении в ряд (1+г);) по степеням д,; однако воз- 2 можна и конечная схема расчета.
Для этой цели запишем )(г);) в виде [1+ Ру)з — ! У (~7)) = 1+ (! + 67)2 (1.25) отсюда У(77)= ',' 7Р 1+(1+ )2 При такой записи схема вычисления )(д;) явно нечувствительна к величине д; и, следовательно, не приводит к потере точности ре. зультатов. Итак, уравнение (1. 17), описывающее относительное движение двух тел, можно окончательно записать в виде (1.26) В гл. тг[ будут рассмотрены некоторые методы, важные с точки зрения численного интегрирования уравнения (1. 2б). 1.52 Сфера влияииям При рассмотрении возмущенного движения тела Р, относительно тела Р, может представлять интерес величина радиуса-вектора г, при которой возмущающее ускорение, вызываемое присутствием тел Р,, Р„..., Р„, становится равным ускорению от тела Рь Для простоты рассмотрим одно возмущающее тело Р, и запишем уравнение (1.
23) в виде г)зг 0 [шз' глз) Оглз огз гз ' г з' + — ' — (3 соз а[ — з ). Р г ' 22 * Далее всюду сохранен применяемый автором термин «сфера влияния». Однако в отечественной литературе в данном случае обычно употребляется термин «сфера действия» [661 [67]. Сферой влияния в работе [66] предлагается называть сферу вокруг планеты, величина радиуса которой выбирается из условия минимизации некоторой средней ошибки вычисления константы интеграла Якоби и ограниченной круговой задаче трем тел (призе ред.).
Эдесь все члены, содержащие степени г/р выше первой, отброшены и опущены индексы при о и а. Приравнивая далее величины основ. ного и возмущающего ускорений, найдем 1 — =(1+Зсозза) ' ( ' т') Р тз ) (1.27) — + йзг б(т1+ тз) — l сТ Р г= — О ьз( — +- — ), лФ (йз ' Рз~' в то время как движение тела Р, относительно Р, определяется уравнением Вза б(тз+ тз) — / г 2 з,~ Опт нзз вз 1( „з Рз) Согласно Лапласу, предпочтение одному из этих уравнений отдается в зависимости от отношения возмущающей силы к соответствующей центральной силе притяжения. Выбирается то из уравнений, которое обеспечивает наименьшую величину указанного отношения. Оказывается, что при г«о граничная поверхность, на которой два отношения сил равны между собой, является почти сферической. В случае движения тела Р, относительно Р, (первое уравнение) отношение возмущающей силы к основной силе притяжения легка находится и равно — ~1 — 2( — )(1 — — соз а)+( — ) ~ Р 1 — =~1 — 2 — соз а+( — ) ~ тз где 23 Этот результат справедлив при условии (т1+тз) «тз.
Уравнение (1. 27) определяет поверхность вокруг тела Рь на границе которой возмущающее ускорение равно основному ускорению. В несколько более общем смысле понятие границы, называемой сферой влияния, было предложено Лапласом. При рассмотрении движения одного тела Р, в присутствии двух других тел Р, и Рз для вычислений важно уметь выбрать одно из тел, по отношению к которому следует описывать движение Рз. Иными словами; возникает вопрос: какое из двух движений, уравнения которых приводятся ниже, является преобладающим и когда нужно переходить к другому началу координат.
Движение тела Р, относительно Р, описывается уравнением Во втором случае это отношение равно 1 — — [1 — 2 — сова+( — ") 1[1 — 2( — ) сова+( г ) ~ Приравнивая эти отношения, получим неявное выражение, определяющее переменную г/о как функцию масс и угла си 1 — 2( — ) соаа+( — ) ( г' 1 т1(т1 + 010) ( и )4 1 — 2( — ) [1 — — соа а|+ ( — ) В предположении, что г«й, можно получить явное выражение для г/о, если отбросить члены, содержащие высокие степени г/о. Если в биномиальном разложении знаменателя последнего множителя оставить члены с (г/о)з, то члены нулевого и первого порядка взаимно уничтожаются; остается произведение (г/о)1 на множитель, содержащий член нулевого порядка и член первого порядка. Отбрасывая далее члены выше первого порядка, получим 1 1 — 4( )соаа 4( )соаа (1 + 3 со51 а) Разложим теперь в биномиальный ряд последний множитель, сохранив при атом только члены первого порядка: 1 1 р (и (га +01 ) [ (1+Зсоаоа)1 Снова разложим последний множитель в биномиальный ряд и отбросим члены с г/о выше первого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
