Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 45
Текст из файла (страница 45)
00 0,325 0,350 0,375 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,0022 2999 3155 5870 4723 Таблица 1.8 Ошибки при выполненин астрономнческнх засечек в положеннн н времени для 4-8 траекторнн полета на Венеру Средне- квадратичная ошибка в положения км Средне- квадратячная ошибка в положении км Средне- квадратвчная ошибка во времени час Средне- квадратичная ошибка во времени час Время годы Время годы 277 0,007 О, 008 0,009 0,010 0,025 0,050 0,075. О, 100 0,125 О, 150 0,175 0,200 0,225 0,250 , 0,275 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,010 0,025 53 71 88 109 971 3202 6974 8895 11750 20540 34600 3654 3008 2840 2884 16 23 35 55 79 109 146 187 233 285 2692 0,0066 0,0088 0,0109 0,0131 0,0149 0,0170 0,0190 0,0208 0,0224 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,0022 0,400 0,425 0,440 0,441 0,442 0,443 0,444 0,445 0,446 0,447 0,448 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0,290 3787 3447 4582 4672 4590 4388 3997 3381 2583 1754 1074 6138 3189 2484 2054 1770 1650 1695 2163 3014 4172 Зо42 0,0238 0,0249 0,0285 0,0259 0,0277 0,0239 0,0329 0,0329 0,0330 0,0310 0,0328 0,0325 0,0321 0,0317 0,0300 0,0044 0,0066 0,0087 0,0109 0,0129 0,0150 0,0170 0,0188 0,0203 0,0219 0,0241 П одолжение Средне- квадратичная ошибка во времени час Средне- квадратичная ошибка в положении клг Средне- квадратичная ошибка в положении км Средне- квадратичная ошибка во времени чое Время годы Время годы 0,0241 0,0241 0,0241 0,0240 0,295 0,296 0,297 0,298 0,0240 0,0239 0,0240 0,0241 3641 3263 2788 2235 0,291 0,292 0,293 0,294 1659 1128 706 445 Задачи 7.
1. Космический корабль и два ближайших к нему небесных тела соответственно расположены в точках 3, Р, и Р,, Система координат ху образована таким образом, что ее начало совпадает с Рь ось х направлена вдоль линии, соединяющей Р, и Рш а ось у лежит в плоскости, содержащей 5, Р, и Ря. Показать, что уравнение геометрического места точек в плоскости ху, для которых угол А= ~Р~ЗРг постоянен, имеет вид (х — с) т+ (у — с с1д А) ' = (с созес А) -', где 2с — расстояние между Р~ и Р,. Поверхности навоидов, описываемые в разд. 7.
1, образуются врашением этих кривых вокруг линии, соединяющей Р~ и Рг. 7. 2. Делается засечка с помощью планеты и двух звезд. Одним из измерений является видимый диаметр планеты. В качестве двух других измерений можно использовать: 1) угол между звездами и центром планеты, 2) высоту звезд над горизонтом планеты или 3) углы между звездами и ориентиром на поверхности планеты. Сравнить эффективность каждого из трех вариантов.
7. 3. Используя способ, изложенный во втором и третьем подразделе разд. 7. 3, исследовать эффективность засечек, получаемых 278 3. Анализ количественного влияния избыточных измерений на уменьшение среднеквадратичных ошибок положения может существенно помочь определить, какие измерения имеют наиболее важное значение. Прежде чем окончательно остановиться на какой-то системе измерений, кажется целесообразным тщательно выяснить влияние каждого отдельного измерения на точность засечки.
4. Если космический корабль находится в окрестности Земли в то время, когда видима Луна, то измерение углового диаметра Земли практически не дает информации Поэтому при подготовке данных для навигационной программы в таких случаях измерение диаметра Земли заменялось на другое возможное измерение, указанное в списке стратегий. измерением углов между двумя звездами и планетой и наблю. дением затмения звезд той же планетой. Как должны быть ориентированы звезды, чтобы минимизировалась среднеквадратичная ошибка засечки? 7.4. Определить геометрическое место точек в плоскости р — А, для которых системы измерений «планета — звезда, планета — звезда, Солнце — звезда» и «планета — звезда, планета — звезда, плане га — Солнце» дают одинаковые среднеквадратичные ошибки.
Инымн словами, определить соотношение между р и А, для которого ш1пею, вычисленные по уравнениям (7. 15) и (7. 16), равны между собой. В какой части плоскости р — А одна система измерений лучше другой? 7. 5. Для измерения углового диаметра, когда бю,— ошибка часов, а 61« — запаздывание по сравнению с номинальным временем засечки, показать, что вариация угла 77м ' (Юг + ор ЮЮ» + ююМй) 6А= А гю СОВ— 2 где 6„— вектор скорости планеты относительно Солнца; и„— скорость космического корабля относительно планеты. 7.6. Показать, что, когда ошибки измерений являются независимыми случайными переменными с нулевыми математическими ожиданиями, оценка методом максимума правдоподобия эквивай лентна определению бг из условия, при котором взвешенная сумма квадратов невязок ~(': ) где пь — среднеквадратичная ошибка юю-го измерения, была мини- мальной.
7. 7. Космический корабль летит к Марсу и через одну десятую года после отправления с Земли векторы положения корабля и обеих планет составляют (в астрономических единицах): г= 0,104 ю'„+ 0,998ю„+ 0,018ю„ гл = 0,155 ю', + 0,972 К„, гм = 1,076 ю»+ 1,251ююю+ 0,053 ю, в гелиоцентрической эклиптической системе координат. а) Выполняется навигационная засечка измерением следующих углов: !) угла между линиями визирования Марса и Сириуса; 279 2) угла между линиями визирования Марса и Бэта Центавра; 3) угла между линиями визирования Земли и Бэта Центавра. Определить среднеквадратичную ошибку по положению в километрах при допущении о том, что среднеквадратичная ошибка измерений составляет 0,05 миллирадиан. Для простоты будем полагать, что все измерения производятся одновременно и строго в номинальный момент времени.
Линии визирования Сириуса и Бэта Центавра заданы следующей системой направляющих косинусов: Сириус: ( — О,!800; 0,749; — 0,637), Бэта Центавра: ( — 0,430; — 0,575; — 0,696) . б) Определить уменьшение среднеквадратичной ошибки по положению, когда дополнительно к основным измерениям делается измерение угла между линиями визирования Солнца и Марса. 7. 8. Совместная характеристическая функция Ф(е ) системы т случайных переменных а, определяется соотношением Ф(е )=ехр((з'„'а„)= = ) р(п„)ехр(й'„'а )иа„„ где (= ~' — 1, а обозначение с(а соответствует даь с(аь..., йа, гак что берется по сути дела т-кратный интеграл.
Показать, что совместная характеристическая функция т-мерного нормального распределения с нулевым математическим ожиданием имеет вид Ф ~зт)==ехр( — — е" Аттеиг) где А — корреляционная матрица случайных переменных а„,. У к а з а н и е: так как А — положительно определенная матрица, то существует такое ортогональное преобразование Р„,, при котором выполняется соотношение Р А Рг =О где  — диагональная матрица; 0...0 О р,...о 0 0...~.„ Кроме того, )А (=р1р2.. и . Следовательно, заменой переменных ии Решит можно разделить переменные интегрирования.
280 7 9, Используя результат решения задачи 7. 8, показать, что совокупность случайных переменных е будет иметь нормальное распределение с корреляционной матрицей ОьиЛтт77тз если е=Й, а, где а — система случайных переменных с нормальным совместным распределением. Указание: покажите, что Ф (1) =-ехр (Йе ) = ехр ~ — — $" ЕР~, 2 производя следующую замену переменных: 7.
1О. Согласно теореме, доказываемой при решении задачи 7. 9, плотность распределения ошибок оценки при засечке имеет вид р1,) — ехр1 — — гтЕ ') ),т(2и)з ПЕ ~ 2 Поверхности равной вероятности получаются из выражения — т=1— - Е е=я2, где я — постоянная. Такие поверхности называются эллиисоидами вероятности. а) Показать, что три главные полуоси эллнпсоида вероятности равны ЙХь ЙХь ЙХм где >. — корни уравнения ~Š— ~т7)=0. б) Показать, что для любой засечки вероятность нахождения вектора ошибки е внутри эллипсоида вероятности равна т Г' / — ~ т'е — "'"Ыт 2 о и определяется интегрированием плотности распределения р(е) по всему объему эллипсоида. Показать далее, что вероятности попадания оценки внутрь эллипсоида, чьи главные оси равны одной, двум и трем главным среднеквадратичным ошибкам оценки, составят 0,20;.
0,79 и 0,97 соответственно. 7. 11 Показать, что объем эллипсоида вероятности равен — пн Ъ ~Е~. 3 281 Используя этот результат, показать, что для засечки, состоящей из трех измерений, минимальный объем эллипсоида достигается при максимальном значении определителя [Й[. Этот определитель вычисляется просто как тройное скалярное произведение векторов- строк вь Ьэ и вм Таким образом, если длины векторов Ж заданы, то объем эллипсоида вероятности можно минимизировать, выбирая направления векторов как можно ближе к ортогональным. Библиография Навигационная засечка, получаемая с помощью астрономических наблюдений на борту космического корабля, во многих отношениях аналогична задаче, решаемой морскими и авиационными штурманами, Главные отличия состоят в следующем: 1) для космического корабля задача всегда является трехмерной и 2) силы, влияющие на движение космического корабля, гораздо лучше известны, чем перемещения масс морской воды или воздуха.
Таким образом, хотя первое различие усложняет задачу, однако второе делает ее более легко разрешимой и позволяет выполнять окончательные расчеты и экстраполяцию с ббльшей точностью. Дополнительную информацию о геометрии астрономических засечек, которая является предметом изучения в равд. 7.1, читатель найдет в работах Лэнинга, Фрея и Трегезера [36), Хоака и Уэлча [26), а также Штерна [60[. Анализ возмущений для различных типов навигационных измерений, приводящий к линейным соотношениям между отклонениями измеренных величин и вектором отклонений от номинального положения, взят из статьи автора [9[ Материал равд. 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
